APLICACIONES FÍSICAS DE LA INTEGRAL: Objetivos de aprendizaje 6.5.1. Determinar la masa de un objeto unidimensional a partir de su función de densidad lineal. 6.5.2. Determinar la masa de un objeto circular bidimensional a partir de su función de densidad radial. 6.5.3. Calcular el trabajo realizado por una fuerza variable que actúa a lo largo de una recta. 6.5.4. Calcular el trabajo realizado al bombear un líquido de una altura a otra. 6.5.5. Encuentrar la fuerza hidrostática contra una placa vertical sumergida. En esta sección, examinamos algunas aplicaciones físicas de la integración de funciones. Comenzamos con el cálculo de la masa de un objeto a partir de una función de…
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Longitud del arco de una curva y área de una superficie
LONGITUD DEL ARCO DE UNA CURVA Y ÁREA DE UNA SUPERFICIE: Objetivos de aprendizaje 6.4.1. Determinar la longitud de una curva, y = f (x), entre dos puntos. 6.4.2. Determinar la longitud de una curva, x = g (y), entre dos puntos. 6.4.3. Encontrar el área de superficie de un sólido de revolución. En esta sección, usamos integrales definidas para encontrar la longitud del arco de una curva. Podemos pensar en la longitud del arco como la distancia que viajarías si estuvieras caminando por el camino de la curva. Muchas aplicaciones del mundo real implican la longitud del arco. Si se lanza un cohete a lo largo de una trayectoria…
- Aplicaciones de la integral, El cálculo, La integral, Problemas de aplicación, Volúmenes de revolución: Capas cilíndricas
Volúmenes de revolución: capas cilíndricas
VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN. CAPAS CILÍNDRICAS: Objetivos de aprendizaje 6.3.1. Calcular el volumen de un sólido de revolución utilizando el método de las capas cilíndricas. 6.3.2. Comparar los diferentes métodos para calcular un volumen de revolución. En esta sección, examinamos el método de capas cilíndricas, el último método que vamos a estudiar para calcular la medida del volumen de un sólido de revolución. Podemos usar este método en los mismos tipos de sólidos que el método de disco o el método de las arandelas; sin embargo, con los métodos de disco y arandela, nosotros integramos a lo largo del eje de coordenadas paralelo al eje de revolución. Con el método de…
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Determinación de volúmenes por rebanadas
DETERMINACIÓN DE VOLÚMENES POR REBANADAS: Objetivos de aprendizaje 6.2.1. Determine el volumen de un sólido integrando una sección transversal (el método de rebanado). 6.2.2. Encontrar el volumen de un sólido de revolución usando el método del disco. 6.2.3. Encontrar el volumen de un sólido de revolución con una cavidad utilizando el método de arandelas. En la sección anterior, usamos integrales definidas para encontrar el área entre dos curvas. En esta sección, usamos integrales definidas para encontrar volúmenes de sólidos tridimensionales. Consideramos tres enfoques (corte, discos y arandelas) para encontrar estos volúmenes, dependiendo de las características del sólido. Volumen y el método de corte Así como el área es la medida…
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Áreas entre curvas
ÁREAS ENTRE CURVAS: Objetivos de aprendizaje 6.1.1. Determinar el área de una región entre dos curvas integrando con respecto a la variable independiente.6.1.2. Encontrar el área de una región compuesta.6.1.3. Determinar el área de una región entre dos curvas integrando con respecto a la variable dependiente. En Introducción a la integración, desarrollamos el concepto de integral definida para calcular el área debajo de una curva en un intervalo dado. En esta sección, ampliamos esa idea para calcular el área de regiones más complejas. Comenzamos por encontrar el área entre dos curvas que son funciones de x, comenzando con el caso simple en el que el valor de una función siempre…
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Método de Newton
MÉTODO DE NEWTON: Objetivos de aprendizaje 4.9.1. Describir los pasos del método de Newton.4.9.2. Explicar qué significa un proceso iterativo.4.9.3. Reconocer cuándo el método de Newton no funciona.4.9.4. Aplicar procesos iterativos a diversas situaciones. En muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas, estamos interesados en encontrar soluciones a una ecuación de la forma f (x) = 0. Para la mayoría de las funciones, sin embargo, es difícil, si no imposible, calcular sus ceros explícitamente. En esta sección, veremos una técnica que proporciona una forma muy eficiente de aproximar los ceros de las funciones. Esta técnica hace uso de aproximaciones de rectas tangentes y está detrás del método utilizado a…
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La regla de L’Hôpital
LA REGLA DE L’HÔPITAL: Objetivos de aprendizaje 4.8.1. Reconocer cuándo aplicar la regla de L’Hôpital.4.8.2. Identificar formas indeterminadas producidas por cocientes, productos, sustracciones y potencias, y aplicar la regla de L’Hôpital en cada caso.4.8.3. Describir las tasas de crecimiento relativo de las funciones. En esta sección, examinamos una herramienta poderosa para evaluar límites. Esta herramienta, conocida como la regla de L’Hôpital, utiliza derivadas para calcular los límites. Con esta regla, podremos evaluar muchos límites que aún no hemos podido determinar. En lugar de confiar en la evidencia numérica para conjeturar que existe un límite, podremos demostrar definitivamente que existe un límite y determinar su valor exacto. Aplicando la regla de…
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Problemas de optimización
Problemas de optimización: Objetivos de aprendizaje 4.7.1. Configurar y resolver problemas de optimización en varios campos de aplicación. Una aplicación común en cálculo es hallar el valor mínimo o máximo de una función. Por ejemplo, las empresas a menudo quieren minimizar los costos de producción o maximizar los ingresos. En la fabricación, a menudo es deseable minimizar la cantidad de material utilizado para empaquetar un producto con un cierto volumen. En esta sección, mostramos cómo configurar estos tipos de problemas de minimización y maximización y resolverlos utilizando las herramientas desarrolladas en este capítulo. Solución de problemas de optimización en un intervalo cerrado y acotado La idea básica que siguen los…
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Límites en el infinito y asíntotas
LÍMITES EN EL INFINITO Y ASÍNTOTAS : Objetivos de aprendizaje 4.6.1. Calcular el límite de una función a medida que x aumenta o disminuye sin límite.4.6.2. Reconocer una asíntota horizontal en la gráfica de una función.4.6.3. Estimar el comportamiento final de una función a medida que x aumenta o disminuye sin límite.4.6.4. Reconocer una asíntota oblicua en la gráfica de una función.4.6.5. Analizar una función y sus derivados para dibujar su gráfica. Hemos mostrado cómo usar las derivadas primera y segunda de una función para describir la forma de su gráfica. Para graficar una función f definida en un dominio ilimitado, también necesitamos conocer el comportamiento de f cuando x…
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Derivadas y la forma de una gráfica
DERIVADAS Y LA FORMA DE UNA GRÁFICA: Objetivos de aprendizaje 4.5.1 Explicar cómo el signo de la primera derivada afecta la forma de la gráfica de una función. 4.5.2. Mostrar la primera prueba de la derivada para puntos críticos. 4.5.3. Utilizar los puntos de concavidad e inflexión para explicar cómo el signo de la segunda derivada afecta la forma de la gráfica de una función. 4.5.4. Explicar la prueba de concavidad para una función durante un intervalo abierto. 4.5.5. Explicar la relación entre una función y su primera y segunda derivada. 4.5.6. Mostrar la prueba de la segunda derivada para extremos locales. Anteriormente en este capítulo declaramos que si una…