| 4. Aplicaciones de la derivada | Ejercicios propuestos para el Capítulo 4.9 |

4.9 MÉTODO DE NEWTON

Objetivos de aprendizaje:

4.9.1. Describir los pasos del método de Newton.
4.9.2. Explicar qué significa un proceso iterativo.
4.9.3. Reconocer cuándo el método de Newton no funciona.
4.9.4. Aplicar procesos iterativos a diversas situaciones.

En muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas, estamos interesados en encontrar soluciones a una ecuación de la forma f (x) = 0. Para la mayoría de las funciones, sin embargo, es difícil, si no imposible, calcular sus ceros explícitamente. En esta sección, veremos una técnica que proporciona una forma muy eficiente de aproximar los ceros de las funciones. Esta técnica hace uso de aproximaciones de rectas tangentes y está detrás del método utilizado a menudo por calculadoras y computadoras para encontrar ceros.

Describiendo el método de Newton

Considere la tarea de encontrar las soluciones de f (x) = 0. Si f es el polinomio de primer grado f (x) = ax + b, entonces la solución de f (x) = 0 viene dada por la fórmula x = −b/a.

Si f es el polinomio de segundo grado f (x) = ax² + bx + c, las soluciones de f (x) = 0 se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática. Sin embargo, para polinomios de grado 3 o mayor, encontrar raíces de f se vuelve más complicado. Aunque existen fórmulas para polinomios de tercer y cuarto grado, son bastante complicadas. Además, si f es un polinomio de grado 5 o mayor, se sabe que no existen tales fórmulas. Por ejemplo, considere la función

No existe una fórmula que nos permita encontrar las soluciones de f (x) = 0. Existen dificultades similares para las funciones no polinómicas. Por ejemplo, considere la tarea de encontrar soluciones de tan(x) − x = 0. No existe una fórmula simple para las soluciones de esta ecuación. En casos como estos, podemos usar el método de Newton para aproximar las raíces.

Método numérico de Newton

El método de Newton utiliza la siguiente idea para aproximar las soluciones de f (x) = 0. Al trazar la gráfica de f, podemos estimar una raíz de f (x) = 0. Llamemos a esta estimación x₀. Luego dibujamos la recta tangente a f en x₀. Si f ′ (x₀) ≠ 0, esta recta tangente intersecta el eje x en algún punto (x₁, 0). Ahora dejemos que x₁ sea la próxima aproximación a la raíz real. Normalmente, x₁ está más cerca que x₀ de una raíz real. Luego dibujamos la recta tangente a f en x₁. Si f ′ (x₁) ≠ 0, esta recta tangente también se cruza con el eje x, produciendo otra aproximación, x₂. Continuamos de esta manera, derivando una lista de aproximaciones: x₀, x₁, x₂,… .Típicamente, los números x₀, x₁, x₂,….se acercan rápidamente a una raíz real x*, como se muestra en la siguiente figura

Ahora veamos cómo calcular las aproximaciones x₀, x₁, x₂,…  .Si x₀ es nuestra primera aproximación, la aproximación x₁ se define dejando que (x₁, 0) sea la intersección x de la recta tangente a f en x₀. La ecuación de esta recta tangente viene dada por

Por lo tanto, x₁ debe satisfacer

Resolviendo esta ecuación para x₁, concluimos que

De manera similar, el punto (x₂, 0) es la intersección x de la línea tangente a f en x₁. Por lo tanto, x₂ satisface la ecuación

En general, para n > 0, x_n satisface

        (4.9.1)

     A continuación, veremos cómo utilizar esta técnica para aproximar la raíz del polinomio f (x) = x³ − 3x + 1.

Ejemplo ilustrativo 4.9.1: Encontrando una raíz de un polinomio

Use el método de Newton para aproximar una raíz de \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \) en el intervalo [1, 2]. Sea \( x_0 = 2 \) y encuentre \( x_1, x_2, x_3, x_4, \) y \( x_5 \).

Solución:

De la Figura 4.9.2, vemos que \( f \) tiene una raíz en el intervalo (1, 2). Por lo tanto, \( x_0 = 2 \) parece una primera aproximación razonable. Para encontrar la siguiente aproximación, usamos la Ecuación 4.9.1. Dado que \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \), la derivada es \( f'(x) = 3x^2 – 3 \). Usando la Ecuación 4.9.1 con \( n = 1 \) (y una calculadora que muestra 10 dígitos), obtenemos

\( x_1 = x_0 – \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 – \frac{f(2)}{f'(2)} = 2 – \frac{3}{9} \approx 1.666666667. \)

Para encontrar la siguiente aproximación, \( x_2 \), usamos la Ecuación 4.9.1 con \( n = 2 \) y el valor de \( x_1 \) almacenado en la calculadora. Encontramos que

\( x_2 = x_1 – \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx 1.548611111. \)

Continuando de esta manera, obtenemos los siguientes resultados:

\( x_1 \approx 1.666666667 \)
\( x_2 \approx 1.548611111 \)
\( x_3 \approx 1.532390162 \)
\( x_4 \approx 1.532088989 \)
\( x_5 \approx 1.532088886 \)
\( x_6 \approx 1.532088886 \)

Observamos que obtuvimos el mismo valor para \( x_5 \) y \( x_6 \). Por lo tanto, cualquier aplicación posterior del método de Newton probablemente dará el mismo valor para \( x_n \).

Figura 4.9.2. La función f (x) = x³ − 3x + 1 tiene una raíz en el intervalo [1, 2]. ♦

Ejercicio de control 4.9.1

Tomando \( x_0 = 0 \), usemos el método de Newton para aproximar la raíz de \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \) en el intervalo [0, 1] calculando \( x_1 \) y \( x_2 \). ♦

        El método de Newton también se puede utilizar para aproximar raíces cuadradas. Aquí mostramos cómo aproximar √2. Este método se puede modificar para aproximar la raíz cuadrada de cualquier número positivo.

Ejemplo ilustrativo 4.9.2: Encontrando una raíz cuadrada

Use el método de Newton para aproximar \( \sqrt{2} \) (Figura 4.9.3). Sea \( f(x) = x^2 – 2 \), sea \( x_0 = 2 \) y calcule \( x_1, x_2, x_3, x_4, \) y \( x_5 \). (Nótese que dado que \( f(x) = x^2 – 2 \) tiene un cero en \( \sqrt{2} \), el valor inicial \( x_0 = 2 \) es una elección razonable para aproximar \( \sqrt{2} \).)

Solución:

Para \( f(x) = x^2 – 2 \), \( f'(x) = 2x \). De la Ecuación 4.9.1, sabemos que

\( x_n = x_{n-1} – \frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})} = x_{n-1} – \frac{x_{n-1}^2 – 2}{2x_{n-1}} = \frac{1}{2}x_{n-1} + \frac{1}{x_{n-1}} = \frac{1}{2} \left( x_{n-1} + \frac{2}{x_{n-1}} \right). \)

Por lo tanto,

\( x_1 = \frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{2}{x_0} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 + \frac{2}{2} \right) = 1.5 \)

\( x_2 = \frac{1}{2} \left( x_1 + \frac{2}{x_1} \right) = \frac{1}{2} \left( 1.5 + \frac{2}{1.5} \right) \approx 1.416666667. \)

Continuando de esta manera, encontramos que

\( x_1 = 1.5 \)
\( x_2 \approx 1.416666667 \)
\( x_3 \approx 1.414215686 \)
\( x_4 \approx 1.414213562 \)
\( x_5 \approx 1.414213562 \)

Dado que obtuvimos el mismo valor para \( x_4 \) y \( x_5 \), es poco probable que el valor \( x_n \) cambie en cualquier aplicación posterior del método de Newton. Concluimos que \( \sqrt{2} \approx 1.414213562 \).

Figura 4.9.3 Podemos usar el método de Newton para encontrar √2. ♦

Ejercicio de control 4.9.2

Use el método de Newton para aproximar \( \sqrt{3} \) haciendo que \( f(x) = x^2 – 3 \) y \( x_0 = 3 \). Encuentre \( x_1 \) y \( x_2 \). ♦

       Cuando se utiliza el método de Newton, cada aproximación después de la conjetura inicial se define en términos de la aproximación anterior utilizando la misma fórmula. En particular, al definir la función

podemos reescribir la ecuación 4.9.1 como x_n = F (x_n − 1).

Este tipo de proceso, donde cada x_n se define en términos de x_n − 1 repitiendo la misma función, es un ejemplo de un proceso iterativo. En breve, examinamos otros procesos iterativos. Primero, veamos las razones por las cuales el método de Newton podría no encontrar una raíz.

Fracasos del método de Newton

Por lo general, el método de Newton se usa para encontrar raíces con bastante rapidez. Sin embargo, las cosas pueden salir mal. Algunas razones por las cuales el método de Newton podría fallar incluyen las siguientes:

1.  En una de las aproximaciones x_n, la derivada f ‘ es cero en x_n, pero f (x_n) ≠ 0. Como resultado, la recta tangente de f en x_n no intersecta el eje x. Por lo tanto, no podemos continuar el proceso iterativo.

2.  Las aproximaciones x₀, x₁, x₂,… pueden acercarse a una raíz diferente. Si la función f tiene más de una raíz, es posible que nuestras aproximaciones no se aproximen a la que buscamos, sino que se acerquen a una raíz diferente (ver Figura 4.9.4). Este evento ocurre con mayor frecuencia cuando no elegimos la aproximación x₀ lo suficientemente cerca de la raíz deseada.

3.  Las aproximaciones pueden fallar al acercarse por completo a una raíz. Por ejemplo, para alguna función f y una conjetura inicial x₀ las aproximaciones sucesivas nunca se acercan a una raíz porque las aproximaciones sucesivas continúan alternando entre dos valores.

Ejemplo ilustrativo 4.9.3: Cuando el método de Newton falla

Considere la función \( f(x) = x^3 – 2x + 2 \). Sea \( x_0 = 0 \). Muestre que la secuencia \( x_1, x_2, … \) no logra acercarse a una raíz de \( f \).

Solución:

Para \( f(x) = x^3 – 2x + 2 \), la derivada es \( f'(x) = 3x^2 – 2 \). Por lo tanto,

\( x_1 = x_0 – \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0 – \frac{f(0)}{f'(0)} = 0 – \frac{2}{-2} = 1. \)

En el siguiente paso,

\( x_2 = x_1 – \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 1 – \frac{f(1)}{f'(1)} = 1 – \frac{1}{1} = 0. \)

Consecuentemente, los números \( x_0, x_1, x_2, … \) continúan rebotando de un lado a otro entre 0 y 1 y nunca se acercan a la raíz de \( f \), que está en el intervalo \([-2, -1]\) (ver Figura 4.9.5). Afortunadamente, si elegimos una aproximación inicial \( x_0 \) más cercana a la raíz real, podemos evitar esta situación.

Figura 4.9.5 Las aproximaciones continúan alternando entre 0 y 1 y nunca se acercan a la raíz de f.

Ejercicio de control 4.9.3

Para \( f(x) = x^3 – 2x + 2 \), sea \( x_0 = -1.5 \) y encuentre \( x_1 \) y \( x_2 \). ♦

      Hemos mostrado en el Ejemplo 4.9.3 que el método de Newton no siempre funciona. Sin embargo, cuando funciona, la secuencia de aproximaciones se acerca a la raíz muy rápidamente. Las discusiones sobre la rapidez con que la secuencia de aproximaciones se aproxima a una raíz encontrada usando el método de Newton se incluyen en textos sobre análisis numérico.

Otros procesos iterativos

Como se mencionó anteriormente, el método de Newton es un tipo de proceso iterativo. Ahora veamos un ejemplo de un tipo diferente de proceso iterativo.

Considere una función F y un número inicial x₀. Defina los números subsiguientes x_n mediante la fórmula x_n = F (x_n-1). Este proceso es un proceso iterativo que crea una lista de números x₀, x₁, x₂, …, x_n, … .Esta lista de números puede acercarse a un número finito x* a medida que n aumenta, o puede que no. En el Ejemplo 4.9.4, vemos un ejemplo de una función F y una aproximación inicial x₀ tal que la lista resultante de números se acerca a un valor finito.

Ejemplo ilustrativo 4.9.4: Encontrando un límite para un proceso iterativo

Sea \( F(x) = \frac{1}{2}x + 4 \) y sea \( x_0 = 0 \). Para todo \( n \geq 1 \), sea \( x_n = F(x_{n-1}) \). Encuentre los valores \( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \). Haga una conjetura acerca de qué sucede con esta lista de números \( x_1, x_2, x_3, …, x_n, … \) cuando \( n \to \infty \). Si la lista de números \( x_1, x_2, x_3, … \) se acerca a un número finito \( x^* \), entonces \( x^* \) satisface \( x^* = F(x^*) \) y \( x^* \) se llama un punto fijo de \( F \).

Solución:

Si \( x_0 = 0 \), entonces

\( x_1 = \frac{1}{2}(0) + 4 = 4 \)
\( x_2 = \frac{1}{2}(4) + 4 = 6 \)
\( x_3 = \frac{1}{2}(6) + 4 = 7 \)
\( x_4 = \frac{1}{2}(7) + 4 = 7.5 \)
\( x_5 = \frac{1}{2}(7.5) + 4 = 7.75 \)
\( x_6 = \frac{1}{2}(7.75) + 4 = 7.875 \)
\( x_7 = \frac{1}{2}(7.875) + 4 = 7.9375 \)
\( x_8 = \frac{1}{2}(7.9375) + 4 = 7.96875 \)
\( x_9 = \frac{1}{2}(7.96875) + 4 = 7.984375 \)

De esta lista, conjeturamos que los valores \( x_n \) se acercan a 8.

La Figura 4.9.6 proporciona un argumento gráfico de que los valores se acercan a 8 cuando \( n \to \infty \). Comenzando en el punto \( (x_0, x_0) \), dibujamos una línea vertical hasta el punto \( (x_0, F(x_0)) \). El siguiente número en nuestra lista es \( x_1 = F(x_0) \). Usamos \( x_1 \) para calcular \( x_2 \). Por lo tanto, dibujamos una línea horizontal que conecta \( (x_0, x_1) \) al punto \( (x_1, x_1) \) en la línea \( y = x \), y luego dibujamos una línea vertical que conecta \( (x_1, x_1) \) al punto \( (x_1, F(x_1)) \). La salida \( F(x_1) \) se convierte en \( x_2 \). Continuando de esta manera, podríamos crear un número infinito de segmentos de línea. Estos segmentos de línea están atrapados entre las líneas \( F(x) = \frac{x}{2} + 4 \) e \( y = x \). Los segmentos de línea se acercan al punto de intersección de estas dos líneas, que ocurre cuando \( x = F(x) \). Al resolver la ecuación \( x = \frac{x}{2} + 4 \), concluimos que se cruzan en \( x = 8 \). Por lo tanto, nuestra evidencia gráfica concuerda con nuestra evidencia numérica de que la lista de números \( x_0, x_1, x_2, … \) se acerca a \( x^* = 8 \) cuando \( n \to \infty \).

Figura 4.9.6. Este proceso iterativo se aproxima al valor x* = 8. ♦

Ejercicio de control 4.9.4

Considere la función \( F(x) = \frac{1}{3}x + 6 \). Sea \( x_0 = 0 \) y sea \( x_n = F(x_{n-1}) \) para \( n \geq 2 \). Encuentre \( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \). Haga una conjetura sobre qué sucede con la lista de números \( x_1, x_2, x_3, …, x_n, … \) cuando \( n \to \infty \). ♦