| 6. Aplicaciones de la integral | Ejercicios propuestos del Capítulo 6.6 |
6.6 Momentos y centros de masa
Objetivos de aprendizaje:
6.6.1 Encuentre el centro de masa de objetos distribuidos a lo largo de una línea.
6.6.2 Localice el centro de masa de una placa delgada.
6.6.3 Use la simetría para ayudar a localizar el centroide de una placa delgada.
6.6.4 Aplique el teorema de Pappus para el volumen.
En esta sección, consideramos los centros de masa (también llamados centroides, bajo ciertas condiciones) y los momentos. La idea básica del centro de masa es la noción de un punto de equilibrio. Muchos de nosotros hemos visto artistas que hacen girar platos en los extremos de palos. Los artistas intentan mantener varios de ellos girando sin permitir que ninguno se caiga. Si observamos un solo plato (sin hacerlo girar), hay un punto dulce en el plato donde se equilibra perfectamente en el palo. Si colocamos el palo en cualquier lugar que no sea ese punto dulce, el plato no se equilibra y cae al suelo. (Es por eso que los artistas hacen girar los platos; el giro ayuda a evitar que los platos se caigan, incluso si el palo no está exactamente en el lugar correcto). Matemáticamente, ese punto dulce se llama el centro de masa del plato.
En esta sección, primero examinamos estos conceptos en un contexto unidimensional, luego ampliamos nuestro desarrollo para considerar los centros de masa de regiones bidimensionales y la simetría. Por último, utilizamos los centroides para encontrar el volumen de ciertos sólidos aplicando el teorema de Pappus.
Centro de Masa y Momentos
Comencemos por observar el centro de masa en un contexto unidimensional. Considere un alambre o varilla largo y delgado de masa despreciable que descansa sobre un punto de apoyo, como se muestra en la Figura 6.6.1(a). Ahora suponga que colocamos objetos que tienen masas m1 y m2 a distancias d1 y d2 del punto de apoyo, respectivamente, como se muestra en la Figura 6.6.2(b).
Figura 6.6.1 (a) Una varilla delgada descansa sobre un punto de apoyo. (b) Se colocan masas en la varilla.
El ejemplo más común en la vida real de un sistema como este es un balancín de parque infantil, con niños de diferentes pesos sentados a diferentes distancias del centro. En un balancín, si un niño se sienta en cada extremo, el niño más pesado se hunde y el niño más ligero se eleva en el aire. Sin embargo, si el niño más pesado se desliza hacia el centro, el balancín se equilibra. Aplicando este concepto a las masas en la varilla, observamos que las masas se equilibran entre sí si y solo si m1d1 = m2d2.
En el ejemplo del balancín, equilibramos el sistema moviendo las masas (niños) con respecto al fulcro. Sin embargo, estamos realmente interesados en sistemas en los que las masas no pueden moverse y, en cambio, equilibramos el sistema moviendo el fulcro. Suponga que tenemos dos masas puntuales, \(m_1\) y \(m_2\), ubicadas en una recta numérica en los puntos \(x_1\) y \(x_2\), respectivamente (Figura 6.6.2). El centro de masa, \(\bar{x}\), es el punto donde se debe colocar el fulcro para que el sistema se equilibre.
Figura 6.6.2 El centro de masa \(\bar{x}\) es el punto de equilibrio del sistema.
Por lo tanto, tenemos
\[ \begin{aligned} m_1 |\bar{x} – x_1| &= m_2 |x_2 – \bar{x}| \\ m_1 (\bar{x} – x_1) &= m_2 (x_2 – \bar{x}) \\ m_1 \bar{x} – m_1 x_1 &= m_2 x_2 – m_2 \bar{x} \\ \bar{x} (m_1 + m_2) &= m_1 x_1 + m_2 x_2 \\ \bar{x} &= \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}. \end{aligned} \]La expresión en el numerador, \(m_1 x_1 + m_2 x_2\), se llama el primer momento del sistema con respecto al origen. Si el contexto es claro, a menudo omitimos la palabra primer y simplemente nos referimos a esta expresión como el momento del sistema. La expresión en el denominador, \(m_1 + m_2\), es la masa total del sistema. Por lo tanto, el centro de masa del sistema es el punto en el que la masa total del sistema podría concentrarse sin cambiar el momento.
Esta idea no se limita solo a dos masas puntuales. En general, si \(n\) masas, \(m_1, m_2, \dots, m_n\), se colocan en una recta numérica en los puntos \(x_1, x_2, \dots, x_n\), respectivamente, entonces el centro de masa del sistema está dado por
\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}. \]Teorema 6.6.1: Centro de Masa de Objetos en una Línea
♦
Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ilustrativo 6.6.1: Encontrar el Centro de Masa de Objetos a lo Largo de una Línea
Supongamos que cuatro masas puntuales están colocadas en una línea numérica de la siguiente manera:
\(\mathit{m}_1 = 30\) kg, colocada en \(\mathit{x}_1 = -2\) m \(\mathit{m}_2 = 5\) kg, colocada en \(\mathit{x}_2 = 3\) m
\(\mathit{m}_3 = 10\) kg, colocada en \(\mathit{x}_3 = 6\) m \(\mathit{m}_4 = 15\) kg, colocada en \(\mathit{x}_4 = -3\) m.
Encuentra el momento del sistema con respecto al origen y encuentra el centro de masa del sistema.
Solución:
Primero, necesitamos calcular el momento del sistema:
\(\mathit{M} = \sum_{i=1}^{4} \mathit{m}_i \mathit{x}_i\)
\(= -60 + 15 + 60 – 45 = -30\).
Ahora, para encontrar el centro de masa, necesitamos la masa total del sistema:
\(\mathit{m} = \sum_{i=1}^{4} \mathit{m}_i\)
\(= 30 + 5 + 10 + 15 = 60\) kg.
Entonces tenemos
\(\overline{\mathit{x}} = \frac{\mathit{M}}{\mathit{m}} = \frac{-30}{60} = -\frac{1}{2}\).
El centro de masa está ubicado a 1/2 m a la izquierda del origen. ♦
Ejercicio de control 6.6.1
Supongamos que cuatro masas puntuales están colocadas en una línea numérica de la siguiente manera:
\(\mathit{m}_1 = 12\) kg, colocada en \(\mathit{x}_1 = -4\) m \(\mathit{m}_2 = 12\) kg, colocada en \(\mathit{x}_2 = 4\) m
\(\mathit{m}_3 = 30\) kg, colocada en \(\mathit{x}_3 = 2\) m \(\mathit{m}_4 = 6\) kg, colocada en \(\mathit{x}_4 = -6\) m.
Encuentra el momento del sistema con respecto al origen y encuentra el centro de masa del sistema. ♦
Podemos generalizar este concepto para encontrar el centro de masa de un sistema de masas puntuales en un plano. Sea \(\mathit{m}_1\) una masa puntual ubicada en el punto \((\mathit{x}_1, \mathit{y}_1)\) en el plano. Entonces, el momento \(\mathit{M}_{\mathit{x}}\) de la masa con respecto al eje \(\mathit{x}\) está dado por \(\mathit{M}_{\mathit{x}} = \mathit{m}_1 \mathit{y}_1\). Similarmente, el momento \(\mathit{M}_{\mathit{y}}\) con respecto al eje \(\mathit{y}\) está dado por \(\mathit{M}_{\mathit{y}} = \mathit{m}_1 \mathit{x}_1\). Note que la coordenada \(\mathit{x}\) del punto se usa para calcular el momento con respecto al eje \(\mathit{y}\), y viceversa. La razón es que la coordenada \(\mathit{x}\) da la distancia de la masa puntual al eje \(\mathit{y}\), y la coordenada \(\mathit{y}\) da la distancia al eje \(\mathit{x}\) (vea la siguiente figura).
Figura 6.6.3 La masa puntual m1 se encuentra en el punto (x1, y1) en el plano.
Si tenemos varias masas puntuales en el plano \(\mathit{xy}\), podemos usar los momentos con respecto a los ejes \(\mathit{x}\) e \(\mathit{y}\) para calcular las coordenadas \(\mathit{x}\) e \(\mathit{y}\) del centro de masa del sistema.
Teorema 6.6.2: Centro de Masa de Objetos en un Plano
♦
El siguiente ejemplo demuestra cómo aplicar este teorema.
Ejemplo ilustrativo 6.6.2: Encontrando el Centro de Masa de Objetos en un Plano
Supongamos que tres masas puntuales están colocadas en el plano \(\mathit{xy}\) de la siguiente manera (asumimos que las coordenadas están dadas en metros):
\(\mathit{m}_1 = 2\) kg, colocada en \((-1, 3)\),
\(\mathit{m}_2 = 6\) kg, colocada en \((1, 1)\),
\(\mathit{m}_3 = 4\) kg, colocada en \((2, -2)\).
Encuentra el centro de masa del sistema.
Solución:
Primero calculamos la masa total del sistema:
\(\mathit{m} = \sum_{i=1}^{3} \mathit{m}_i = 2 + 6 + 4 = 12\) kg.
Luego encontramos los momentos con respecto a los ejes \(\mathit{x}\) e \(\mathit{y}\):
\(\mathit{M}_{\mathit{y}} = \sum_{i=1}^{3} \mathit{m}_i \mathit{x}_i = -2 + 6 + 8 = 12\),
\(\mathit{M}_{\mathit{x}} = \sum_{i=1}^{3} \mathit{m}_i \mathit{y}_i = 6 + 6 – 8 = 4\).
Entonces tenemos
\(\overline{\mathit{x}} = \frac{\mathit{M}_{\mathit{y}}}{\mathit{m}} = \frac{12}{12} = 1 \text{ y } \overline{\mathit{y}} = \frac{\mathit{M}_{\mathit{x}}}{\mathit{m}} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\).
El centro de masa del sistema es \((1, 1/3)\), en metros. ♦
Ejercicio de control 6.6.2
Supongamos que tres masas puntuales están colocadas en una línea numérica de la siguiente manera (asumimos que las coordenadas están dadas en metros):
\(\mathit{m}_1 = 5\) kg, colocada en \((-2, -3)\),
\(\mathit{m}_2 = 3\) kg, colocada en \((2, 3)\),
\(\mathit{m}_3 = 2\) kg, colocada en \((-3, -2)\).
Encuentra el centro de masa del sistema. ♦
Centro de Masa de Placas Delgadas
Hasta ahora hemos visto sistemas de masas puntuales en una línea y en un plano. Ahora, en lugar de tener la masa de un sistema concentrada en puntos discretos, queremos ver sistemas en los que la masa del sistema se distribuye continuamente a través de una lámina delgada de material. Para nuestros propósitos, asumimos que la lámina es lo suficientemente delgada como para que pueda tratarse como si fuera bidimensional. Tal lámina se llama lámina. A continuación, desarrollamos técnicas para encontrar el centro de masa de una lámina. En esta sección, también asumimos que la densidad de la lámina es constante.
Las láminas a menudo se representan mediante una región bidimensional en un plano. El centro geométrico de tal región se llama su centroide. Dado que hemos asumido que la densidad de la lámina es constante, el centro de masa de la lámina depende solo de la forma de la región correspondiente en el plano; no depende de la densidad. En este caso, el centro de masa de la lámina corresponde al centroide de la región delineada en el plano. Al igual que con los sistemas de masas puntuales, necesitamos encontrar la masa total de la lámina, así como los momentos de la lámina con respecto a los ejes x e y.
Primero consideramos una lámina con forma de rectángulo. Recuerde que el centro de masa de una lámina es el punto donde la lámina se equilibra. Para un rectángulo, ese punto es tanto el centro horizontal como el vertical del rectángulo. Con base en esta comprensión, está claro que el centro de masa de una lámina rectangular es el punto donde se intersecan las diagonales, lo cual es un resultado del principio de simetría, y se indica aquí sin prueba.
Teorema 6.6.3: El Principio de Simetría
Si una región R es simétrica con respecto a una línea l, entonces el centroide de R se encuentra en l. ♦
Pasemos a láminas más generales. Supongamos que tenemos una lámina acotada superiormente por la gráfica de una función continua \(\mathit{f}(\mathit{x})\), inferiormente por el eje \(\mathit{x}\), y a la izquierda y a la derecha por las líneas \(\mathit{x} = \mathit{a}\) y \(\mathit{x} = \mathit{b}\), respectivamente, como se muestra en la siguiente figura.
Figura 6.6.4 Una región en el plano que representa una lámina.
Al igual que con los sistemas de masas puntuales, para encontrar el centro de masa de la lámina, necesitamos encontrar la masa total de la lámina, así como los momentos de la lámina con respecto a los ejes \(\mathit{x}\) e \(\mathit{y}\). Como hemos hecho muchas veces antes, aproximamos estas cantidades dividiendo el intervalo \([\mathit{a}, \mathit{b}]\) y construyendo rectángulos.
Para \(\mathit{i} = 0, 1, 2, …, \mathit{n}\), sea \(\mathit{P} = \{\mathit{x_i}\}\) una partición regular de \([\mathit{a}, \mathit{b}]\). Recuerde que podemos elegir cualquier punto dentro del intervalo \([\mathit{x}_{\mathit{i}-1}, \mathit{x_i}]\) como nuestro \(\mathit{x_i}^*\). En este caso, queremos que \(\mathit{x_i}^*\) sea la coordenada \(\mathit{x}\) del centroide de nuestros rectángulos.
Por lo tanto, para \(\mathit{i} = 1, 2, …, \mathit{n}\), seleccionamos \(\mathit{x_i}^* \in [\mathit{x}_{\mathit{i}-1}, \mathit{x_i}]\) tal que \(\mathit{x_i}^*\) es el punto medio del intervalo. Es decir,
\(\mathit{x_i}^* = (\mathit{x}_{\mathit{i}-1} + \mathit{x_i}) / 2\).
Ahora, para \(\mathit{i} = 1, 2, …, \mathit{n}\), construimos un rectángulo de altura \(\mathit{f}(\mathit{x_i}^*)\) en \([\mathit{x}_{\mathit{i}-1}, \mathit{x_i}]\). El centro de masa de este rectángulo es \((\mathit{x_i}^*, (\mathit{f}(\mathit{x_i}^*)) / 2)\), como se muestra en la siguiente figura.
Figura 6.6.5 Un rectángulo representativo de la lámina.
A continuación, necesitamos encontrar la masa total del rectángulo. Sea \(\rho\) la densidad de la lámina (note que \(\rho\) es una constante). En este caso, \(\rho\) se expresa en términos de masa por unidad de área. Por lo tanto, para encontrar la masa total del rectángulo, multiplicamos el área del rectángulo por \(\rho\). Entonces, la masa del rectángulo está dada por \(\rho \mathit{f}(\mathit{x_i}^*) \Delta \mathit{x}\).
Para obtener la masa aproximada de la lámina, sumamos las masas de todos los rectángulos para obtener
\(\mathit{m} \approx \sum_{i=1}^{n} \rho \mathit{f}(\mathit{x_i}^*) \Delta \mathit{x}\).
Esta es una suma de Riemann. Tomando el límite cuando \(\mathit{n} \to \infty\) se obtiene la masa exacta de la lámina:
\(\mathit{m} = \lim_{\mathit{n} \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \rho \mathit{f}(\mathit{x_i}^*) \Delta \mathit{x} = \rho \int_{a}^{b} \mathit{f}(\mathit{x}) d\mathit{x}\).
A continuación, calculamos el momento de la lámina con respecto al eje \(\mathit{x}\). Volviendo al rectángulo representativo, recuerde que su centro de masa es \((\mathit{x_i}^*, (\mathit{f}(\mathit{x_i}^*)) / 2)\). Recuerde también que tratar el rectángulo como si fuera una masa puntual ubicada en el centro de masa no cambia el momento. Por lo tanto, el momento del rectángulo con respecto al eje \(\mathit{x}\) está dado por la masa del rectángulo, \(\rho \mathit{f}(\mathit{x_i}^*) \Delta \mathit{x}\), multiplicado por la distancia desde el centro de masa al eje \(\mathit{x}\): \((\mathit{f}(\mathit{x_i}^*)) / 2\). Por lo tanto, el momento con respecto al eje \(\mathit{x}\) del rectángulo es \(\rho ([\mathit{f}(\mathit{x_i}^*)]^2 / 2) \Delta \mathit{x}\). Sumando los momentos de los rectángulos y tomando el límite de la suma de Riemann resultante, vemos que el momento de la lámina con respecto al eje \(\mathit{x}\) es
\(\mathit{M_x} = \lim_{\mathit{n} \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \rho \frac{[\mathit{f}(\mathit{x_i}^*)]^2}{2} \Delta \mathit{x} = \rho \int_{a}^{b} \frac{[\mathit{f}(\mathit{x})]^2}{2} d\mathit{x}\).
Derivamos el momento con respecto al eje \(\mathit{y}\) de manera similar, notando que la distancia desde el centro de masa del rectángulo al eje \(\mathit{y}\) es \(\mathit{x_i}^*\). Entonces, el momento de la lámina con respecto al eje \(\mathit{y}\) está dado por
\(\mathit{M_y} = \lim_{\mathit{n} \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \rho \mathit{x_i}^* \mathit{f}(\mathit{x_i}^*) \Delta \mathit{x} = \rho \int_{a}^{b} \mathit{x} \mathit{f}(\mathit{x}) d\mathit{x}\).
Encontramos las coordenadas del centro de masa dividiendo los momentos por la masa total para obtener \(\overline{\mathit{x}} = \frac{\mathit{M_y}}{\mathit{m}}\) y \(\overline{\mathit{y}} = \frac{\mathit{M_x}}{\mathit{m}}\). Si observamos detenidamente las expresiones para \(\mathit{M_x}\), \(\mathit{M_y}\), y \(\mathit{m}\), notamos que la constante \(\rho\) se cancela cuando se calculan \(\overline{\mathit{x}}\) y \(\overline{\mathit{y}}\).
Resumimos estos hallazgos en el siguiente teorema.
Teorema 6.6.4: Centro de Masa de una Placa Delgada en el Plano xy
Sea \(\mathit{R}\) una región acotada superiormente por la gráfica de una función continua \(\mathit{f}(\mathit{x})\), inferiormente por el eje \(\mathit{x}\), y a la izquierda y a la derecha por las líneas \(\mathit{x} = \mathit{a}\) y \(\mathit{x} = \mathit{b}\), respectivamente. Sea \(\rho\) la densidad de la lámina asociada. Entonces podemos hacer las siguientes afirmaciones:
i. La masa de la lámina es
\[ \mathit{m} = \rho \int_{a}^{b} \mathit{f}(\mathit{x}) d\mathit{x}. \] (6.6.5)
ii. Los momentos \(\mathit{M_x}\) y \(\mathit{M_y}\) de la lámina con respecto a los ejes \(\mathit{x}\) e \(\mathit{y}\), respectivamente, son
\[ \mathit{M_x} = \rho \int_{a}^{b} \frac{[\mathit{f}(\mathit{x})]^2}{2} d\mathit{x} \quad \text{y} \quad \mathit{M_y} = \rho \int_{a}^{b} \mathit{x} \mathit{f}(\mathit{x}) d\mathit{x}. \] (6.6.6)
iii. Las coordenadas del centro de masa \((\overline{\mathit{x}}, \overline{\mathit{y}})\) son
\[ \overline{\mathit{x}} = \frac{\mathit{M_y}}{\mathit{m}} \quad \text{y} \quad \overline{\mathit{y}} = \frac{\mathit{M_x}}{\mathit{m}}. \] (6.6.7)
♦
En el siguiente ejemplo, utilizamos este teorema para encontrar el centro de masa de una lámina.
Ejemplo ilustrativo 6.6.3: Encontrando el Centro de Masa de una Lámina
Sea \(\mathit{R}\) la región acotada superiormente por la gráfica de la función \(\mathit{f}(\mathit{x}) = \sqrt{\mathit{x}}\) e inferiormente por el eje \(\mathit{x}\) sobre el intervalo \([0, 4]\). Encuentra el centroide de la región.
Solución:
La región se representa en la siguiente figura.
Figura 6.6.6 Encontrando el centro de masa de una lámina.
Dado que solo se nos pide el centroide de la región, en lugar de la masa o los momentos de la lámina asociada, sabemos que la constante de densidad ρ se cancela eventualmente en los cálculos. Por lo tanto, para mayor comodidad, asumamos que ρ = 1.
Primero, necesitamos calcular la masa total:
\(\mathit{m} = \rho \int_{a}^{b} \mathit{f}(\mathit{x}) d\mathit{x} = \int_{0}^{4} \sqrt{\mathit{x}} d\mathit{x} = \frac{2}{3} \mathit{x}^{3/2} \Big|_0^4 = \frac{2}{3} [8 – 0] = \frac{16}{3}\).
A continuación, calculamos los momentos:
\(\mathit{M_x} = \rho \int_{a}^{b} \frac{[\mathit{f}(\mathit{x})]^2}{2} d\mathit{x} = \int_{0}^{4} \frac{\mathit{x}}{2} d\mathit{x} = \frac{1}{4} \mathit{x}^2 \Big|_0^4 = 2\mathit{x}^2 \Big|_0^4=4 \)
y
\(\mathit{M_y} = \rho \int_{a}^{b} \mathit{x} \mathit{f}(\mathit{x}) d\mathit{x} = \int_{0}^{4} \mathit{x} \sqrt{\mathit{x}} d\mathit{x} = \int_{0}^{4} \mathit{x}^{3/2} d\mathit{x} = \frac{2}{5} \mathit{x}^{5/2} \Big|_0^4 = \frac{2}{5} [32 – 0] = \frac{64}{5}\).
Por lo tanto, tenemos
\(\overline{\mathit{x}} = \frac{\mathit{M_y}}{\mathit{m}} = \frac{64/5}{16/3} = \frac{64}{5} \cdot \frac{3}{16} = \frac{12}{5} \text{ y } \overline{\mathit{y}} = \frac{\mathit{M_x}}{\mathit{m}} = \frac{4}{16/3} = 4 \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{4}\).
El centroide de la región es \((12/5, 3/4)\). ♦
Ejercicio de control 6.6.3
Sea \(\mathit{R}\) la región acotada superiormente por la gráfica de la función \(\mathit{f}(\mathit{x}) = \mathit{x}^2\) e inferiormente por el eje \(\mathit{x}\) sobre el intervalo \([0, 2]\). Encuentra el centroide de la región. ♦
Podemos adaptar este enfoque para encontrar los centroides de regiones más complejas también. Supongamos que nuestra región está limitada superiormente por la gráfica de una función continua f (x), como antes, pero ahora, en lugar de que el límite inferior de la región sea el eje x, supongamos que la región está limitada inferiormente por la gráfica de una segunda función continua, g(x), como se muestra en la siguiente figura.
Figura 6.6.7 Una región entre dos funciones.
Nuevamente, particionamos el intervalo [a, b] y construimos rectángulos. Un rectángulo representativo se muestra en la siguiente figura.
Figura 6.6.8 Un rectángulo representativo de la región entre dos funciones.
Note que el centroide de este rectángulo es \((\mathit{x_i}^*, (\mathit{f}(\mathit{x_i}^*) + \mathit{g}(\mathit{x_i}^*)) / 2)\). No repasaremos todos los detalles del desarrollo de la suma de Riemann, pero veamos algunos de los pasos clave. En el desarrollo de las fórmulas para la masa de la lámina y el momento con respecto al eje \(\mathit{y}\), la altura de cada rectángulo está dada por \(\mathit{f}(\mathit{x_i}^*) – \mathit{g}(\mathit{x_i}^*)\), lo que lleva a la expresión \(\mathit{f}(\mathit{x}) – \mathit{g}(\mathit{x})\) en los integrandos.
En el desarrollo de la fórmula para el momento con respecto al eje \(\mathit{x}\), el momento de cada rectángulo se encuentra multiplicando el área del rectángulo, \(\rho [\mathit{f}(\mathit{x_i}^*) – \mathit{g}(\mathit{x_i}^*)] \Delta \mathit{x}\), por la distancia del centroide al eje \(\mathit{x}\), \((\mathit{f}(\mathit{x_i}^*) + \mathit{g}(\mathit{x_i}^*)) / 2\), lo que da \(\rho (1/2) \{[\mathit{f}(\mathit{x_i}^*)]^2 – [\mathit{g}(\mathit{x_i}^*)]^2\} \Delta \mathit{x}\). Resumiendo estos hallazgos, llegamos al siguiente teorema.
Teorema 6.6.5: Centro de Masa de una Lámina Limitada por Dos Funciones
Sea \(\mathit{R}\) una región acotada superiormente por la gráfica de una función continua \(\mathit{f}(\mathit{x})\), inferiormente por la gráfica de la función continua \(\mathit{g}(\mathit{x})\), y a la izquierda y a la derecha por las líneas \(\mathit{x} = \mathit{a}\) y \(\mathit{x} = \mathit{b}\), respectivamente. Sea \(\rho\) la densidad de la lámina asociada. Entonces podemos hacer las siguientes afirmaciones:
La masa de la lámina es
\[ \mathit{m} = \rho \int_{a}^{b} [\mathit{f}(\mathit{x}) – \mathit{g}(\mathit{x})] d\mathit{x}. \] (6.6.8)
Los momentos \(\mathit{M_x}\) y \(\mathit{M_y}\) de la lámina con respecto a los ejes \(\mathit{x}\) e \(\mathit{y}\), respectivamente, son
\[ \mathit{M_x} = \rho \int_{a}^{b} \frac{1}{2} ([\mathit{f}(\mathit{x})]^2 – [\mathit{g}(\mathit{x})]^2) d\mathit{x} \quad \text{y} \quad \mathit{M_y} = \rho \int_{a}^{b} \mathit{x} [\mathit{f}(\mathit{x}) – \mathit{g}(\mathit{x})] d\mathit{x}. \] (6.6.9)
Las coordenadas del centro de masa \((\overline{\mathit{x}}, \overline{\mathit{y}})\) son
\[ \overline{\mathit{x}} = \frac{\mathit{M_y}}{\mathit{m}} \quad \text{y} \quad \overline{\mathit{y}} = \frac{\mathit{M_x}}{\mathit{m}}. \] (6.6.10)
♦
Ilustramos este teorema en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ilustrativo 6.6.4: Encontrando el Centroide de una Región Limitada por Dos Funciones
Sea \(\mathit{R}\) la región acotada superiormente por la gráfica de la función \(\mathit{f}(\mathit{x}) = 1 – \mathit{x}^2\) e inferiormente por la gráfica de la función \(\mathit{g}(\mathit{x}) = \mathit{x} – 1\). Encuentra el centroide de la región.
Solución:
La región se representa en la siguiente figura.
Figura 6.6.9 Encontrando el centroide de una región entre dos curvas.
Las gráficas de las funciones se intersecan en \((-2, -3)\) y \((1, 0)\), por lo que integramos desde -2 hasta 1. Una vez más, por conveniencia, asumimos que \(\rho = 1\).
Primero, necesitamos calcular la masa total:
\(\mathit{m} = \rho \int_{a}^{b} [\mathit{f}(\mathit{x}) – \mathit{g}(\mathit{x})] d\mathit{x} = \int_{-2}^{1} [1 – \mathit{x}^2 – (\mathit{x} – 1)] d\mathit{x} = \int_{-2}^{1} (2 – \mathit{x}^2 – \mathit{x}) d\mathit{x} = [2\mathit{x} – \frac{1}{3}\mathit{x}^3 – \frac{1}{2}\mathit{x}^2] \Big|_{-2}^{1} = [2 – \frac{1}{3} – \frac{1}{2}] – [-4 + \frac{8}{3} – 2] = \frac{9}{2}\).
A continuación, calculamos los momentos:
\(\mathit{M_x} = \rho \int_{a}^{b} \frac{1}{2} ([\mathit{f}(\mathit{x})]^2 – [\mathit{g}(\mathit{x})]^2) d\mathit{x} = \frac{1}{2} \int_{-2}^{1} ((1 – \mathit{x}^2)^2 – (\mathit{x} – 1)^2) d\mathit{x} = \frac{1}{2} \int_{-2}^{1} (\mathit{x}^4 – 3\mathit{x}^2 + 2\mathit{x}) d\mathit{x} = \frac{1}{2} [\frac{\mathit{x}^5}{5} – \mathit{x}^3 + \mathit{x}^2] \Big|_{-2}^{1} = -\frac{27}{10}\)
y
\(\mathit{M_y} = \rho \int_{a}^{b} \mathit{x} [\mathit{f}(\mathit{x}) – \mathit{g}(\mathit{x})] d\mathit{x} = \int_{-2}^{1} \mathit{x} [(1 – \mathit{x}^2) – (\mathit{x} – 1)] d\mathit{x} = \int_{-2}^{1} \mathit{x} [2 – \mathit{x}^2 – \mathit{x}] d\mathit{x} = \int_{-2}^{1} (2\mathit{x} – \mathit{x}^3 – \mathit{x}^2) d\mathit{x} = [\mathit{x}^2 – \frac{\mathit{x}^4}{4} – \frac{\mathit{x}^3}{3}] \Big|_{-2}^{1} = -\frac{9}{4}\).
Por lo tanto, tenemos
\(\overline{\mathit{x}} = \frac{\mathit{M_y}}{\mathit{m}} = -\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{9} = -\frac{1}{2} \text{ y } \overline{\mathit{y}} = \frac{\mathit{M_x}}{\mathit{m}} = -\frac{27}{10} \cdot \frac{2}{9} = -\frac{3}{5}\).
El centroide de la región es \((-\frac{1}{2}, -\frac{3}{5})\). ♦
Ejercicio de control 6.6.4
Sea \(\mathit{R}\) la región acotada superiormente por la gráfica de la función \(\mathit{f}(\mathit{x}) = 6 – \mathit{x}^2\) e inferiormente por la gráfica de la función \(\mathit{g}(\mathit{x}) = 3 – 2\mathit{x}\). Encuentra el centroide de la región. ♦
El Principio de Simetría
Mencionamos el principio de simetría anteriormente, cuando estábamos observando el centroide de un rectángulo. El principio de simetría puede ser de gran ayuda al encontrar los centroides de regiones que son simétricas. Considere el siguiente ejemplo.
Ejemplo ilustrativo 6.6.5: Encontrando el Centroide de una Región
Sea \(\mathit{R}\) la región acotada superiormente por la gráfica de la función \(\mathit{f}(\mathit{x}) = 4 – \mathit{x}^2\) e inferiormente por el eje \(\mathit{x}\). Encuentra el centroide de la región.
Solución:
La región se representa en la siguiente
Figura 6.6.10 Podemos usar el principio de simetría para ayudar a encontrar el centroide de una región simétrica.
La región es simétrica con respecto al eje \(\mathit{y}\). Por lo tanto, la coordenada \(\mathit{x}\) del centroide es cero. Solo necesitamos calcular \(\overline{\mathit{y}}\). Una vez más, por conveniencia, asumimos que \(\rho = 1\).
Primero, calculamos la masa total:
\(\mathit{m} = \rho \int_{a}^{b} \mathit{f}(\mathit{x}) d\mathit{x} = \int_{-2}^{2} (4 – \mathit{x}^2) d\mathit{x} = [4\mathit{x} – \frac{\mathit{x}^3}{3}] \Big|_{-2}^{2} = \frac{32}{3}\).
A continuación, calculamos los momentos. Solo necesitamos \(\mathit{M_x}\):
\(\mathit{M_x} = \rho \int_{a}^{b} \frac{[\mathit{f}(\mathit{x})]^2}{2} d\mathit{x} = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} [4 – \mathit{x}^2]^2 d\mathit{x} = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} (16 – 8\mathit{x}^2 + \mathit{x}^4) d\mathit{x} = \frac{1}{2} [\frac{\mathit{x}^5}{5} – \frac{8\mathit{x}^3}{3} + 16\mathit{x}] \Big|_{-2}^{2} = \frac{256}{15}\).
Entonces tenemos
\(\overline{\mathit{y}} = \frac{\mathit{M_x}}{\mathit{m}} = \frac{256}{15} \cdot \frac{3}{32} = \frac{8}{5}\).
El centroide de la región es \((0, 8/5)\). ♦
Ejercicio de control 6.6.5
Sea \(\mathit{R}\) la región acotada superiormente por la gráfica de la función \(\mathit{f}(\mathit{x}) = 1 – \mathit{x}^2\) e inferiormente por el eje \(\mathit{x}\). Encuentra el centroide de la región. ♦
Teorema de Pappus
Esta sección termina con una discusión del teorema de Pappus para el volumen, que nos permite encontrar el volumen de ciertos tipos de sólidos utilizando el centroide. (También hay un teorema de Pappus para el área de la superficie, pero es mucho menos útil que el teorema para el volumen).
Teorema 6.6.6: Teorema de Pappus para el Volumen
Sea R una región en el plano y sea l una línea en el plano que no interseca a R. Entonces, el volumen del sólido de revolución formado al girar R alrededor de l es igual al área de R multiplicada por la distancia d recorrida por el centroide de R. ♦
Demostración:
Podemos probar el caso cuando la región está acotada superiormente por la gráfica de una función \(\mathit{f}(\mathit{x})\) e inferiormente por la gráfica de una función \(\mathit{g}(\mathit{x})\) sobre un intervalo \([\mathit{a}, \mathit{b}]\), y para la cual el eje de revolución es el eje \(\mathit{y}\). En este caso, el área de la región es \(\mathit{A} = \int_{a}^{b} [\mathit{f}(\mathit{x}) – \mathit{g}(\mathit{x})] d\mathit{x}\). Dado que el eje de rotación es el eje \(\mathit{y}\), la distancia recorrida por el centroide de la región depende solo de la coordenada \(\mathit{x}\) del centroide, \(\overline{\mathit{x}}\), que es
\(\overline{\mathit{x}} = \frac{\mathit{M_y}}{\mathit{m}}\),
donde
\(\mathit{m} = \rho \int_{a}^{b} [\mathit{f}(\mathit{x}) – \mathit{g}(\mathit{x})] d\mathit{x} \quad \text{y} \quad \mathit{M_y} = \rho \int_{a}^{b} \mathit{x} [\mathit{f}(\mathit{x}) – \mathit{g}(\mathit{x})] d\mathit{x}\).
Entonces,
\(\mathit{d} = \frac{2\pi \rho \int_{a}^{b} \mathit{x} [\mathit{f}(\mathit{x}) – \mathit{g}(\mathit{x})] d\mathit{x}}{\rho \int_{a}^{b} [\mathit{f}(\mathit{x}) – \mathit{g}(\mathit{x})] d\mathit{x}}\)
y por lo tanto
\(\mathit{d} \cdot \mathit{A} = 2\pi \int_{a}^{b} \mathit{x} [\mathit{f}(\mathit{x}) – \mathit{g}(\mathit{x})] d\mathit{x}\).
Sin embargo, utilizando el método de las capas cilíndricas, tenemos
\(\mathit{V} = 2\pi \int_{a}^{b} \mathit{x} [\mathit{f}(\mathit{x}) – \mathit{g}(\mathit{x})] d\mathit{x}\).
Entonces,
\(\mathit{V} = \mathit{d} \cdot \mathit{A}\)
y la prueba está completa.
\(\Box\)
Ejemplo ilustrativo 6.6.6: Usando el Teorema de Pappus para el Volumen
Sea R un círculo de radio 2 centrado en (4, 0). Use el teorema de Pappus para el volumen para encontrar el volumen del toro generado al girar R alrededor del eje y.
Solución:
La región y el toro se representan en la siguiente figura.
Figura 6.6.11 Determinando el volumen de un toro usando el teorema de Pappus. (a) Una región circular R en el plano; (b) el toro generado al girar R alrededor del eje y.
La región \(\mathit{R}\) es un círculo de radio 2, por lo que el área de \(\mathit{R}\) es \(\mathit{A} = 4\pi\) unidades2. Por el principio de simetría, el centroide de \(\mathit{R}\) es el centro del círculo. El centroide se desplaza alrededor del eje \(\mathit{y}\) en una trayectoria circular de radio 4, por lo que el centroide recorre \(\mathit{d} = 8\pi\) unidades. Entonces, el volumen del toro es \(\mathit{A} \cdot \mathit{d} = 32\pi^2\) unidades3. ♦
Ejercicio de control 6.6.6
Sea R un círculo de radio 1 centrado en (3, 0). Utilice el teorema de Pappus para el volumen para encontrar el volumen del toro generado al girar R alrededor del eje y. ♦