9.5.4 El método de coeficientes indeterminados I

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9.5.4 El método de coeficientes indeterminados I

En esta sección consideramos la ecuación de coeficientes constantes

ay′′ + by′ + cy = e^αxG(x), (9.5.4.1)

donde α es una constante y G es un polinomio.

Del Teorema 9.5.3.2, la solución general de (9.5.4.1) es y = y_p + c₁y₁ + c₂y₂, donde y_p es una solución particular de (9.5.4.1) y {y₁, y₂} es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria

ay′′ + by′ + cy = 0.

En la Sección 9.5.2 mostramos cómo encontrar {y₁, y₂}. En esta sección mostraremos cómo encontrar y_p. El procedimiento que usaremos se llama método de coeficientes indeterminados.

Nuestro primer ejemplo es similar a los Ejercicios 16 a 21.

Ejemplo ilustrativo 9.5.4.1

Encuentre una solución particular de

y′′ − 7y′ + 12y = 4e^2x. (9.5.4.2)

Luego encuentra la solución general.

Solución:

Sustituir y_p = Ae^2x por y en (9.5.4.2) producirá un múltiplo constante de Ae^2x en el lado izquierdo de (9.5.4.2), por lo que es posible elegir A para que y_p sea una solución de (9.5.4.2). Vamos a intentarlo; si y_p = Ae^2x entonces

y_p′′ − 7y_p′ + 12y_p = 4Ae^2x − 14Ae^2x + 12Ae^2x = 2Ae^2x = 4e^2x

si A = 2. Por lo tanto y_p = 2e^2x es una solución particular de (9.5.4.2). Para encontrar la solución general, notamos que el polinomio característico de la ecuación complementaria

y′′ − 7y′ + 12y = 0 (9.5.4.3)

es p(r) = r² − 7r + 12 = (r − 3)(r − 4), entonces {e^3x, e^4x} es un conjunto fundamental de soluciones de (9.5.4.3).
Por tanto, la solución general de (9.5.4.2) es

y = 2e^2x + c₁e^3x + c₂e^4x. ♦

Ejemplo ilustrativo 9.5.4.2

Encuentre una solución particular de

y′′ − 7y′ + 12y = 5e^4x. (9.5.4.4)

Luego encuentra la solución general.

Solución:

Recién llegado de nuestro éxito al encontrar una solución particular de (9.5.4.2), donde elegimos y_p = Ae^2x porque el lado derecho de (9.5.4.2) es un múltiplo constante de e^2x, puede parecer razonable probar y_p = Ae^4x como solución particular de (9.5.4.4). Sin embargo, esto no funcionará, ya que vimos en el ejemplo 9.5.4.1 que e^4x es una solución de la ecuación complementaria (9.5.4.3), por lo que sustituir y_p = Ae^4x en el lado izquierdo de (9.5.4.4) produce cero en el izquierdo, no importa cómo elijamos A. Para descubrir una forma adecuada para y_p, utilizamos el mismo enfoque que empleamos. en la Sección 9.5.2 para encontrar una segunda solución de

ay′′ + by′ + cy = 0

en el caso de que la ecuación característica tenga raíz real repetida: buscamos soluciones de (9.5.4.4) en la forma y = ue^4x, donde u es una función a determinar. Sustituyendo

y = ue^4x, y′ = u′e^4x + 4ue^4x, y y′′ = u′′e^4x + 8u′e^4x + 16ue^4x (9.5.4.5)

en (9.5.4.4) y cancelando el factor común e^4x se obtiene

(u′′ + 8u′ + 16u) − 7(u′ + 4u) + 12u = 5,

u′′ + u′ = 5.

Por inspección vemos que u_p = 5x es una solución particular de esta ecuación, por lo que y_p = 5xe^4x es una solución particular de (9.5.4.4). Por lo tanto

y = 5xe^4x + c₁e^3x + c₂e^4x

es la solución general. ♦

Ejemplo ilustrativo 9.5.4.3

Encuentre una solución particular de

y′′ − 8y′ + 16y = 2e^4x. (9.5.4.6)

Solución:

Dado que el polinomio característico de la ecuación complementaria

y′′ − 8y′ + 16y = 0 (9.5.4.7)

es p(r) = r² − 8r + 16 = (r − 4)², tanto y₁ = e^4x como y₂ = xe^4x son soluciones de (9.5.4.7). Por lo tanto (9.5.4.6) no tiene solución de la forma y_p = Ae^4x o y_p = Axe^4x. Como en el Ejemplo 9.5.4.2, buscamos soluciones de (9.5.4.6) en la forma y = ue^4x, donde u es una función a determinar. Sustituyendo de (9.5.4.5) en (9.5.4.6) y cancelando el factor común e^4x se obtiene

(u′′ + 8u′ + 16u) − 8(u′ + 4u) + 16u = 2,

u′′ = 2.

Al integrar dos veces y tomar las constantes de integración como cero, se muestra que u_p = x² es una solución particular de esta ecuación, por lo que y_p = x²e^4x es una solución particular de (9.5.4.4). Por lo tanto

y = e^4x(x² + c₁ + c₂x)

es la solución general. ♦

Los ejemplos anteriores ilustran los siguientes hechos relacionados con la forma de una solución particular y_p de una ecuación de coeficientes constantes de segundo orden de la forma

ay′′ + by′ + cy = ke^αx,

donde k es una constante distinta de cero:

(a) Si e^αx no es una solución de la ecuación complementaria

ay′′ + by′ + cy = 0, (9.5.4.8)

entonces y_p = Ae^αx, donde A es una constante. (Ver Ejemplo 9.5.4.1).

(b) Si e^αx es una solución de (9.5.4.8) pero xe^αx no lo es, entonces y_p= Axe^αx, donde A es una constante. (Ver Ejemplo 9.5.4.2.)

(c) Si tanto e^αx como xe^αx son soluciones de (9.5.4.8), entonces y_p = Ax²e^αx, donde A es una constante. (Ver Ejemplo 9.5.4.3.)

Véase el ejercicio 30 para las demostraciones de estos hechos.

En los tres casos, puede simplemente sustituir la forma apropiada de y_p y sus derivadas directamente en

ay_p′′ + by_p′ + cy_p = ke^αx,

y despeje la constante A, como hicimos en el Ejemplo 9.5.4.1. (Consulte los ejercicios 31 a 33). Sin embargo, si la ecuación es

ay_p′′ + by_p′ + cy_p = ke^αxG(x)

donde G es un polinomio de grado mayor que cero, le recomendamos que use la sustitución y = ue^αx como hicimos en los Ejemplos 9.5.4.2 y 9.5.4.3. La ecuación para u resultará ser

au′′ + p′(α)u′ + p(α)u = G(x), (9.5.4.9)

donde p(r) = ar² + br + c es el polinomio característico de la ecuación complementaria y p′(r) = 2ar + b (Ejercicio 30); sin embargo, no debes memorizar esto ya que es fácil derivar la ecuación para u en cualquier caso particular. Nótese, sin embargo, que si e^αx es una solución de la ecuación complementaria entonces p(α) = 0, entonces (9.5.4.9) se reduce a

au′′ + p′(α)u′ = G(x),

mientras que si tanto e^αx como xe^αx son soluciones de la ecuación complementaria entonces p(r) = a(r − α)² y p′(r) = 2a(r − α), entonces p(α) = p′(α) = 0 y (9.5.4.9) se reduce a

au′′ = G(x).

Ejemplo ilustrativo 9.5.4.4

Encuentre una solución particular de

y′′ − 3y′ + 2y = e^3x(−1 + 2x + x²). (9.5.4.10)

Solución:

Sustituyendo

y = ue³^x, y′ = u′e³^x + 3ue³^x, y y′′ = u′′e³^x + 6u′e³^x + 9ue³^x

en (9.5.4.10) y cancelandoe³^x, se obtiene

(u′′ + 6u′ + 9u) − 3(u′ + 3u) + 2u = −1 + 2x + x²,

u′′ + 3u′ + 2u = −1 + 2x + x². (9.5.4.11)

Como en el Ejemplo 2, para adivinar una forma para una solución particular de (9.5.4.11), observamos que al sustituir u por un polinomio de segundo grado u_p = A + Bx + Cx² en el lado izquierdo de (9.5.4.11) se produce otro polinomio de segundo grado con coeficientes que dependen de A, B y C; de este modo,

si u_p = A + Bx + Cx² entonces u′_p = B + 2Cx y u′′_p = 2C.

Si u_p es para satisfacer (9.5.4.11), debemos tener

Igualando coeficientes de potencias iguales de x en los dos lados de la última igualdad se obtiene

Resolviendo estas ecuaciones para C, B y A (en ese orden) se obtiene C = 1/2, B = −1/2, A = −1/4.
Por lo tanto

es una solución particular de (9.5.4.11), y

es una solución particular de (9.5.4.10). ♦

Ejemplo ilustrativo 9.5.4.5

Encuentre una solución particular de

y′′ − 4y′ + 3y = e^3x(6 + 8x + 12x²). (9.5.4.12)

Solución:

Sustituyendo

y = ue^3x, y′ = u′e^3x + 3ue^3x, y y′′ = u′′e^3x + 6u′e^3x + 9ue^3x

en (9.5.4.12) y cancelando e^3x, se obtiene

(u′′ + 6u′ + 9u) − 4(u′ + 3u) + 3u = 6 + 8x + 12x²,

u′′ + 2u′ = 6 + 8x + 12x². (9.5.4.13)

No hay término u en esta ecuación, ya que e^3x es una solución de la ecuación complementaria para (9.5.4.12). (Consulte el ejercicio 30). Por lo tanto, (9.5.4.13) no tiene una solución particular de la forma u_p = A + Bx + Cx² que usamos con éxito en el ejemplo 9.5.4.4, ya que con esta elección de u_p,

u′′_p + 2u′_p = 2C + (B + 2Cx)

no puede contener el último término (12x²) en el lado derecho de (9.5.4.13). En su lugar, probemos u_p= Ax + Bx² + Cx³ sobre la base de que

u′_p = A + 2Bx + 3Cx² y u′′_p = 2B + 6Cx

juntos contienen todas las potencias de x que aparecen en el lado derecho de (9.5.4.13).

Sustituyendo estas expresiones en lugar de u′ y u′′ en (9.5.4.13), se obtiene

(2B + 6Cx) + 2(A + 2Bx + 3Cx²) = (2B + 2A) + (6C + 4B)x + 6Cx² = 6 + 8x + 12x².

La comparación de coeficientes de potencias iguales de x en los dos lados de la última igualdad muestra que u_p satisface (9.5.4.13) si

Resolviendo estas ecuaciones sucesivamente se obtiene C = 2, B = −1 y A = 4. Por lo tanto

u_p = x(4 − x + 2x²)

es una solución particular de (9.5.4.13), y

y_p = u_pe^3x = xe^3x(4 − x + 2x²)

es una solución particular de (9.5.4.12). ♦

Ejemplo ilustrativo 9.5.4.6

Encuentre una solución particular de

4y′′ + 4y′ + y = e^−x/2(−8 + 48x + 144x²). (9.5.4.14)

Solución:
Sustituyendo y

en (9.5.4.14) y cancelando e^−x/2, se obtiene

u′′ = −2 + 12x + 36x², (9.5.4.15)

que no contiene ni u ni u′ porque e^−x/2 y xe^−x/² son ambas soluciones de la ecuación complementaria. (Véase el ejercicio 30.) Para obtener una solución particular de (9.5.4.15) integramos dos veces, tomando las constantes de integración como cero; de este modo,

u′_p = −2x + 6x² + 12x³ y u_p = −x² + 2x³ + 3x⁴ = x²(−1 + 2x + 3x²).

Por lo tanto

yp = u_pe^−x/2 = x²e^−x/2(−1 + 2x + 3x²)

es una solución particular de (9.5.4.14). ♦

Resumen

Los ejemplos anteriores ilustran los siguientes hechos relacionados con soluciones particulares de una ecuación de coeficientes constantes de la forma

ay′′ + by′ + cy = e^αxG(x),

(a) Si e^αx no es una solución de la ecuación complementaria

ay′′ + by′ + cy = 0, (9.5.4.16)

entonces y_p = e^αxQ(x), donde Q es un polinomio del mismo grado que G. (Ver Ejemplo 9.5.4.4).

(b) Si e^αx es una solución de (9.5.4.16) pero xe^αx no lo es, entonces y_p = xe^αxQ(x), donde Q es un polinomio del mismo grado que G. (Vea el Ejemplo 9.5.4.5.)

(c) Si tanto e^αx como xe^αx son soluciones de (9.5.4.16), entonces y_p = x²e^αxQ(x), donde Q es un polinomio del mismo grado que G. (Consulte el ejemplo 9.5.4.6).

En los tres casos, puede simplemente sustituir la forma apropiada de y_p y sus derivadas directamente en

ay_p′′ + by_p′ + cy_p = e^αxG(x),

y resuelve los coeficientes del polinomio Q. Sin embargo, si intentas esto, verás que los cálculos son más tediosos que los que encuentras al hacer la sustitución y = ue^αx y encontrar una solución particular de la ecuación resultante para u. (Véanse los ejercicios 34 a 36). En el caso (a), la ecuación para u tendrá la forma

au′′ + p′(α)u′ + p(α)u = G(x),

con una solución particular de la forma u_p = Q(x), un polinomio del mismo grado que G, cuyos coeficientes se pueden encontrar por el método utilizado en el Ejemplo 9.5.4.4. En el Caso (b) la ecuación para u será de la forma

au′′ + p′(α)u′ = G(x)

(sin término u a la izquierda), con una solución particular de la forma u_p = xQ(_x), donde Q es un polinomio del mismo grado que G cuyos coeficientes se pueden encontrar por el método usado en el ejemplo 9.5.4.5. En el Caso (c) la ecuación para u será de la forma

au′′ = G(x)

con una solución particular de la forma u_p = x²Q(x) que puede obtenerse integrando G(x)/a dos veces y tomando las constantes de integración como cero, como en el ejemplo 9.5.4.6. ♦

Usando el principio de superposición

El siguiente ejemplo muestra cómo combinar el método de coeficientes indeterminados y el Teorema 9.5.3.3, el principio de superposición.

Ejemplo ilustrativo 9.5.4.7

Encuentre una solución particular de

y′′ − 7y′ + 12y = 4e^2x + 5e^4x. (9.5.4.17)

Solución:

En el Ejemplo 9.5.4.1 encontramos que y_p₁ = 2e^2x es una solución particular de

y′′ − 7y′ + 12y = 4e^2x

y en el Ejemplo 9.5.4.2 encontramos que y_p₂ = 5xe^4x es una solución particular de

y′′ − 7y′ + 12y = 5e^4x

Por tanto, el principio de superposición implica que y_p = 2e^2x+ 5xe^4x es una solución particular de (9.5.4.17). ♦

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