| 10. Cálculo vectorial – Vectores en el espacio | Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.16 |

10.16 Divergencia y curvatura

Objetivos de aprendizaje:

10.16.1 Determinar la divergencia a partir de la fórmula para un campo vectorial dado.
10.16.2 Determinar el rotacional a partir de la fórmula para un campo vectorial dado.
10.16.3 Usar las propiedades del rotacional y la divergencia para determinar si un campo vectorial es conservativo.

En esta sección, examinamos dos operaciones importantes sobre un campo vectorial: la divergencia y el rotacional. Son importantes para el campo del cálculo por varias razones, incluido el uso del rotacional y la divergencia para desarrollar algunas versiones de dimensiones superiores del Teorema Fundamental del Cálculo. Además, el rotacional y la divergencia aparecen en descripciones matemáticas de mecánica de fluidos, electromagnetismo y teoría de la elasticidad, que son conceptos importantes en física e ingeniería. También podemos aplicar el rotacional y la divergencia a otros conceptos que ya hemos explorado. Por ejemplo, bajo ciertas condiciones, un campo vectorial es conservativo si y solo si su rotacional es cero.

Además de definir el rotacional y la divergencia, observamos algunas interpretaciones físicas de ellos y mostramos su relación con los campos vectoriales conservativos y sin fuentes.

Divergencia

La divergencia es una operación sobre un campo vectorial que nos indica cómo se comporta el campo hacia o desde un punto. Localmente, la divergencia de un campo vectorial \(\displaystyle \mathbf{F}\) en \(\displaystyle \mathbb{R}^2\) o \(\displaystyle \mathbb{R}^3\) en un punto particular \(\displaystyle P\) es una medida de la “tendencia a salir” del campo vectorial en \(\displaystyle P\). Si \(\displaystyle \mathbf{F}\) representa la velocidad de un fluido, entonces la divergencia de \(\displaystyle \mathbf{F}\) en \(\displaystyle P\) mide la tasa neta de cambio con respecto al tiempo de la cantidad de fluido que fluye lejos de \(\displaystyle P\) (la tendencia del fluido a fluir “fuera de” \(\displaystyle P\)). En particular, si la cantidad de fluido que fluye hacia \(\displaystyle P\) es la misma que la cantidad que fluye fuera, entonces la divergencia en \(\displaystyle P\) es cero.

Definición 10.16.1

Si \(\displaystyle \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\) es un campo vectorial en \(\displaystyle \mathbb{R}^3\) y \(\displaystyle P_x, Q_y\) y \(\displaystyle R_z\) existen, entonces la divergencia de \(\displaystyle \mathbf{F}\) se define como

\[ \text{div } \mathbf{F} = P_x + Q_y + R_z = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}. \] ♦

Observa que la divergencia de un campo vectorial no es un campo vectorial, sino una función escalar. En términos del operador gradiente

\[ \nabla = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right\rangle, \]

la divergencia puede escribirse simbólicamente como el producto escalar

\[ \text{div } \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F}. \]

Nota que esto es simplemente una notación útil, ya que el producto escalar de un vector de operadores y un vector de funciones no está definido de manera significativa según nuestra definición actual de producto escalar.

Si \(\displaystyle \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\) es un campo vectorial en \(\displaystyle \mathbb{R}^2\), y \(\displaystyle P_x\) y \(\displaystyle Q_y\) existen, entonces la divergencia de \(\displaystyle \mathbf{F}\) se define de manera similar como

\[ \text{div } \mathbf{F} = P_x + Q_y = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} = \nabla \cdot \mathbf{F}. \]

Para ilustrar este punto, considera los dos campos vectoriales en la Figura 10.16.1. En cualquier punto particular, la cantidad que fluye hacia adentro es la misma que la cantidad que fluye hacia afuera, por lo que en cada punto la “tendencia a salir” del campo es cero. Por lo tanto, esperamos que la divergencia de ambos campos sea cero, y de hecho lo es, ya que

\[ \text{div } (\langle 1, 2 \rangle) = \frac{\partial}{\partial x} (1) + \frac{\partial}{\partial y} (2) = 0 \text{ y } \text{div } (\langle -y, x \rangle) = \frac{\partial}{\partial x} (-y) + \frac{\partial}{\partial y} (x) = 0. \]

En contraste, considera el campo vectorial radial \(\displaystyle \mathbf{R}(x, y) = \langle -x, -y \rangle\) en la Figura 10.16.2. En cualquier punto dado, más fluido está fluyendo hacia adentro que hacia afuera, y por lo tanto, la “tendencia a salir” del campo es negativa. Esperamos que la divergencia de este campo sea negativa, y de hecho lo es, ya que

\[ \operatorname{div} (\mathbf{R}) = \frac{\partial}{\partial x} (-x) + \frac{\partial}{\partial y} (-y) = -2. \]

Figura 10.16.2 Este campo vectorial tiene divergencia negativa.

Para tener una idea global de lo que nos dice la divergencia, supongamos que un campo vectorial en ℝ² representa la velocidad de un fluido. Imagina tomar un círculo elástico (un círculo con una forma que puede ser cambiada por el campo vectorial) y dejarlo caer en un fluido. Si el círculo mantiene su área exacta mientras fluye a través del fluido, entonces la divergencia es cero. Esto ocurriría para ambos campos vectoriales en la Figura 10.16.1. Por otro lado, si la forma del círculo se distorsiona de modo que su área se reduce o se expande, entonces la divergencia no es cero. Imagina dejar caer un círculo elástico de este tipo en el campo vectorial radial de la Figura 10.16.2 de modo que el centro del círculo caiga en el punto (3, 3). El círculo fluiría hacia el origen y, al hacerlo, la parte delantera del círculo viajaría más lentamente que la parte trasera, lo que haría que el círculo se “aplastara” y perdiera área. Así es como se puede ver una divergencia negativa.

Ejemplo ilustrativo 10.16.1: Calculando la Divergencia en un Punto

Si \(\displaystyle \mathbf{F}(x, y, z) = e^{x} \mathbf{i} + yz \mathbf{j} – yz^2 \mathbf{k}\), entonces encuentra la divergencia de \(\displaystyle \mathbf{F}\) en el punto \(\displaystyle (0, 2, -1)\).

Solución:

La divergencia de \(\displaystyle \mathbf{F}\) es

\[ \frac{\partial}{\partial x} \left( e^x \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( yz \right) – \frac{\partial}{\partial z} \left( yz^2 \right) = e^x + z – 2yz. \]

Por lo tanto, la divergencia en \(\displaystyle (0, 2, -1)\) es \(\displaystyle e^0 – 1 + 4 = 4\). Si \(\displaystyle \mathbf{F}\) representa la velocidad de un fluido, entonces más fluido está fluyendo hacia afuera que hacia adentro en el punto \(\displaystyle (0, 2, -1)\). ♦

Ejercicio de control 10.16.1

Encuentra \(\displaystyle \text{div } \mathbf{F}\) para \(\displaystyle \mathbf{F}(x, y, z) = \left\langle xy, 5 – z^2 y, x^2 + y^2 \right\rangle\). ♦

Una aplicación de la divergencia se encuentra en la física, cuando se trabaja con campos magnéticos. Un campo magnético es un campo vectorial que modela la influencia de corrientes eléctricas y materiales magnéticos. Los físicos utilizan la divergencia en la ley de Gauss para el magnetismo, la cual establece que si \(\displaystyle \mathbf{B}\) es un campo magnético, entonces, \(\displaystyle \nabla \cdot \mathbf{B} = 0\); en otras palabras, la divergencia de un campo magnético es cero.

Ejemplo ilustrativo 10.16.2: Determinando si un Campo es Magnético

¿Es posible que \(\displaystyle \mathbf{F}(x, y) = \left\langle x^2 y, y – x y^2 \right\rangle\) sea un campo magnético?

Solución:

Si \(\displaystyle \mathbf{F}\) fuera magnético, entonces su divergencia sería cero. La divergencia de \(\displaystyle \mathbf{F}\) es

\[ \frac{\partial}{\partial x} \left( x^2 y \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( y – x y^2 \right) = 2xy + 1 – 2xy = 1 \]

y, por lo tanto, \(\displaystyle \mathbf{F}\) no puede modelar un campo magnético (Figura 10.16.3).

      Otra aplicación de la divergencia es detectar si un campo es libre de fuentes. Recuerda que un campo libre de fuentes es un campo vectorial que tiene una función de corriente; equivalentemente, un campo libre de fuentes es un campo con un flujo que es cero a lo largo de cualquier curva cerrada. Los siguientes dos teoremas dicen que, bajo ciertas condiciones, los campos vectoriales libres de fuentes son precisamente los campos vectoriales con divergencia cero. 

Teorema 10.16.1: Divergencia de un Campo Vectorial Libre de Fuentes

Si \(\displaystyle \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\) es un campo vectorial continuo sin fuentes con funciones componentes diferenciables, entonces

\[ \text{div } \mathbf{F} = 0. \]

♦

Prueba:

Dado que \(\displaystyle \mathbf{F}\) no tiene fuentes, existe una función \(\displaystyle g(x, y)\) tal que \(\displaystyle g_y = P\) y \(\displaystyle -g_x = Q\). Por lo tanto, \(\displaystyle \mathbf{F} = \langle g_y, -g_x \rangle\) y

\[ \text{div } \mathbf{F} = g_{yx} – g_{xy} = 0 \]

según el teorema de Clairaut. ♦

La inversa de la Divergencia de un Campo Vectorial Libre de Fuentes (teorema anterior) es cierta en regiones simplemente conexas, pero la demostración es demasiado técnica para incluirla aquí. Por lo tanto, tenemos el siguiente teorema, que puede probar si un campo vectorial en ℝ² es libre de fuentes.

Teorema 10.16.2: Prueba de Divergencia para Campos Vectoriales Libres d,e Fuentes

Sea \(\displaystyle \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\) un campo vectorial continuo con funciones componentes diferenciables y un dominio simplemente conexo. Entonces, \(\displaystyle \text{div } \mathbf{F} = 0\) si y solo si \(\displaystyle \mathbf{F}\) no tiene fuentes. ♦

Ejemplo ilustrativo 10.16.3: Determinando si un Campo es Libre de Fuentes

¿Es el campo \(\displaystyle \mathbf{F}(x, y) = \left\langle x^2 y, 5 – x y^2 \right\rangle\) sin fuentes?

Solución:

Observa que el dominio de \(\displaystyle \mathbf{F}\) es \(\displaystyle \mathbb{R}^2\), que es simplemente conexo. Además, \(\displaystyle \mathbf{F}\) es continuo con funciones componentes diferenciables. Por lo tanto, podemos usar la Prueba de Divergencia para Campos Vectoriales sin Fuentes (Teorema 10.16.2) para analizar \(\displaystyle \mathbf{F}\). La divergencia de \(\displaystyle \mathbf{F}\) es

\[ \frac{\partial}{\partial x} \left( x^2 y \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( 5 – x y^2 \right) = 2xy – 2xy = 0. \]

Por lo tanto, \(\displaystyle \mathbf{F}\) no tiene fuentes según la Prueba de Divergencia para Campos Vectoriales sin Fuentes. ♦

Ejercicio de control 10.16.2

Sea \(\displaystyle \mathbf{F}(x, y) = \langle -a y, b x \rangle\) un campo rotacional donde \(\displaystyle a\) y \(\displaystyle b\) son constantes positivas. ¿Es \(\displaystyle \mathbf{F}\) sin fuentes? ♦

Recuerda que la forma de flujo del teorema de Green dice que

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, ds = \iint_D (P_x + Q_y) \, dA, \]

donde \(\displaystyle C\) es una curva cerrada simple y \(\displaystyle D\) es la región encerrada por \(\displaystyle C\). Dado que \(\displaystyle P_x + Q_y = \text{div } \mathbf{F}\), el teorema de Green a veces se escribe como

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \, ds = \iint_D \text{div } \mathbf{F} \, dA. \]

Por lo tanto, el teorema de Green puede escribirse en términos de la divergencia. Si pensamos en la divergencia como una especie de derivada, entonces el teorema de Green dice que la “derivada” de \(\displaystyle \mathbf{F}\) en una región puede traducirse en una integral de línea de \(\displaystyle \mathbf{F}\) a lo largo del límite de la región. Esto es análogo al Teorema Fundamental del Cálculo, en el que la derivada de una función \(\displaystyle f\) en un segmento de línea \(\displaystyle [a, b]\) puede traducirse en una afirmación sobre \(\displaystyle f\) en el límite de \(\displaystyle [a, b]\). Usando la divergencia, podemos ver que el teorema de Green es un análogo de mayor dimensión del Teorema Fundamental del Cálculo.

Podemos usar todo lo que hemos aprendido en la aplicación de la divergencia. Sea \(\displaystyle \mathbf{v}\) un campo vectorial que modela la velocidad de un fluido. Dado que la divergencia de \(\displaystyle \mathbf{v}\) en un punto \(\displaystyle P\) mide la “tendencia a salir” del fluido en \(\displaystyle P\), \(\displaystyle \text{div } \mathbf{v}(P) > 0\) implica que más fluido está fluyendo fuera de \(\displaystyle P\) que hacia adentro. De manera similar, \(\displaystyle \text{div } \mathbf{v}(P) < 0\) implica que más fluido está fluyendo hacia \(\displaystyle P\) que hacia afuera, y \(\displaystyle \text{div } \mathbf{v}(P) = 0\) implica que la misma cantidad de fluido está fluyendo hacia adentro que hacia afuera.

Ejemplo ilustrativo 10.16.4: Determinando el Flujo de un Fluido

Supongamos que \(\displaystyle \mathbf{v}(x, y) = \langle -x y, y \rangle\), con \(\displaystyle y > 0\), modela el flujo de un fluido. ¿Está fluyendo más fluido hacia el punto \(\displaystyle (1, 4)\) que el que está fluyendo fuera?

Solución:

Para determinar si más fluido está fluyendo hacia \(\displaystyle (1, 4)\) que el que está fluyendo fuera, calculamos la divergencia de \(\displaystyle \mathbf{v}\) en \(\displaystyle (1, 4)\):

\[ \text{div} \, (\mathbf{v}) = \frac{\partial}{\partial x} (-x y) + \frac{\partial}{\partial y} (y) = -y + 1. \]

Para encontrar la divergencia en \(\displaystyle (1, 4)\), sustituimos el punto en la divergencia: \(\displaystyle -4 + 1 = -3\). Dado que la divergencia de \(\displaystyle \mathbf{v}\) en \(\displaystyle (1, 4)\) es negativa, más fluido está fluyendo hacia adentro que hacia afuera (Figura 10.16.4).

Ejercicio de control 10.16.3

Para el campo vectorial \(\displaystyle \mathbf{v}(x, y) = \langle -x y, y \rangle\), con \(\displaystyle y > 0\), encuentra todos los puntos \(\displaystyle P\) tales que la cantidad de fluido que fluye hacia \(\displaystyle P\) sea igual a la cantidad de fluido que fluye fuera de \(\displaystyle P\). ♦

Rotacional

La segunda operación sobre un campo vectorial que examinamos es el rotacional, que mide el grado de rotación del campo alrededor de un punto. Supongamos que F representa el campo de velocidad de un fluido. Entonces, el rotacional de F en el, punto P es un vector que mide la tendencia de las partículas cercanas a P a rotar alrededor del eje que apunta en la dirección de este vector. La magnitud del vector rotacional en P mide la rapidez con la que las partículas giran alrededor de este eje. En otras palabras, el rotacional en un punto es una medida del “giro” del campo vectorial en ese punto. Visualmente, imagine colocar una rueda de paletas en un fluido en P, con el eje de la rueda de paletas alineado con el vector rotacional (Figura 10.16.5). El rotacional mide la tendencia de la rueda de paletas a girar.

Figura 10.16.5 Para visualizar el rotacional en un punto, imagine colocar una pequeña rueda de paletas en el campo vectorial en un punto.

       Considere los campos vectoriales en la Figura 10.16.1. En la parte (a), el campo vectorial es constante y no hay giro en ningún punto. Por lo tanto, esperamos que el rotacional del campo sea cero, y este es el caso. La parte (b) muestra un campo rotacional, por lo que el campo tiene giro. En particular, si coloca una rueda de paletas en un campo en cualquier punto de modo que el eje de la rueda sea perpendicular a un plano, la rueda gira en sentido antihorario. Por lo tanto, esperamos que el rotacional del campo sea distinto de cero, y este es el caso (el rotacional es 2k).

Para ver lo que el rotacional está midiendo globalmente, imagine dejar caer una hoja en el fluido. A medida que la hoja se mueve junto con el flujo del fluido, el rotacional mide la tendencia de la hoja a rotar. Si el rotacional es cero, entonces la hoja no gira mientras se mueve a través del fluido.

Definición 10.16.2

Si \(\displaystyle \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\) es un campo vectorial en \(\displaystyle \mathbb{R}^3\), y \(\displaystyle P_x, P_y, P_z, Q_y, Q_z, R_z, R_x\) y \(\displaystyle R_y\) existen, entonces el rotacional de \(\displaystyle \mathbf{F}\) se define como

\[ \begin{align*} \text{rot } \mathbf{F} &= (R_y – Q_z) \mathbf{i} + (P_z – R_x) \mathbf{j} + (Q_x – P_y) \mathbf{k} \\ &= \left( \frac{\partial R}{\partial y} – \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} – \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k}. \end{align*} \]

Nota que el rotacional de un campo vectorial es un campo vectorial, en contraste con la divergencia. ♦

La definición del rotacional puede ser difícil de recordar. Para ayudar a recordarla, usamos la notación \(\displaystyle \nabla \times \mathbf{F}\) para representar un “determinante” que da la fórmula del rotacional:

\[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \]

El determinante de esta matriz es

\[ \begin{align*} (R_y – Q_z) \mathbf{i} – (R_x – P_z) \mathbf{j} + (Q_x – P_y) \mathbf{k} &= (R_y – Q_z) \mathbf{i} + (P_z – R_x) \mathbf{j} + (Q_x – P_y) \mathbf{k} \\ &= \text{rot } \mathbf{F}. \end{align*} \]

Por lo tanto, esta matriz es una forma de ayudar a recordar la fórmula del rotacional. Sin embargo, ten en cuenta que la palabra “determinante” se usa de manera muy flexible. Un determinante no está realmente definido para una matriz con entradas que son tres vectores, tres operadores y tres funciones.

Si \(\displaystyle \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\) es un campo vectorial en \(\displaystyle \mathbb{R}^2\), entonces el rotacional de \(\displaystyle \mathbf{F}\), por definición, es

\[ \text{rot } \mathbf{F} = (Q_x – P_y) \mathbf{k} = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k}. \]

Ejemplo ilustrativo 10.16.5: Encontrando el Rotacional de un Campo Vectorial Tridimensional

Encuentra el rotacional de \(\displaystyle \mathbf{F}(P, Q, R) = \left\langle x^2 z, e^y + x z, x y z \right\rangle\).

Solución:

El rotacional es

\[ \begin{align*} \text{rot } \mathbf{F} &= \nabla \times \mathbf{F} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \\ &= (R_y – Q_z) \mathbf{i} + (P_z – R_x) \mathbf{j} + (Q_x – P_y) \mathbf{k} \\ &= (x z – x) \mathbf{i} + (x^2 – y z) \mathbf{j} + z \mathbf{k}. \end{align*} \]

♦

Ejercicio de control 10.16.4

Encuentra el rotacional de \(\displaystyle \mathbf{F} = \langle \sin x \cos z, \sin y \sin z, \cos x \cos y \rangle\) en el punto \(\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\). ♦

Ejemplo ilustrativo 10.16.6: Encontrando el Rotacional de un Campo Vectorial Bidimensional

Encuentra el rotacional de \(\displaystyle \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle = \langle y, 0 \rangle\).

Solución:

Observa que este campo vectorial consiste en vectores que son todos paralelos. De hecho, cada vector en el campo es paralelo al eje \(\displaystyle x\). Este hecho podría llevarnos a concluir que el campo no tiene giro y que el rotacional es cero. Para probar esta teoría, nota que

\[ \text{rot } \mathbf{F} = (Q_x – P_y) \mathbf{k} = -\mathbf{k} \neq 0. \]

Por lo tanto, este campo vectorial sí tiene giro. Para ver por qué, imagina colocar una rueda de paletas en cualquier punto del primer cuadrante (Figura 10.16.6). Las magnitudes más grandes de los vectores en la parte superior de la rueda hacen que esta gire. La rueda gira en dirección horaria (negativa), lo que hace que el coeficiente del rotacional sea negativo.

Observa que si \(\displaystyle \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\) es un campo vectorial en un plano, entonces \(\displaystyle \text{rot } \mathbf{F} \cdot \mathbf{k} = (Q_x – P_y) \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = Q_x – P_y\). Por lo tanto, la forma de circulación del teorema de Green a veces se escribe como

\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D \text{rot } \mathbf{F} \cdot \mathbf{k} \, dA, \]

donde \(\displaystyle C\) es una curva cerrada simple y \(\displaystyle D\) es la región encerrada por \(\displaystyle C\). Por lo tanto, la forma de circulación del teorema de Green puede escribirse en términos del rotacional. Si pensamos en el rotacional como una especie de derivada, entonces el teorema de Green dice que la “derivada” de \(\displaystyle \mathbf{F}\) en una región puede traducirse en una integral de línea de \(\displaystyle \mathbf{F}\) a lo largo del límite de la región. Esto es análogo al Teorema Fundamental del Cálculo, en el que la derivada de una función \(\displaystyle f\) en un segmento de línea \(\displaystyle [a, b]\) puede traducirse en una afirmación sobre \(\displaystyle f\) en el límite de \(\displaystyle [a, b]\). Usando el rotacional, podemos ver que la forma de circulación del teorema de Green es un análogo de mayor dimensión del Teorema Fundamental del Cálculo.

Ahora podemos usar lo que hemos aprendido sobre el rotacional para mostrar que los campos gravitacionales no tienen “giro”. Supongamos que hay un objeto en el origen con masa \(\displaystyle m_1\) en el origen y un objeto con masa \(\displaystyle m_2\). Recuerda que la fuerza gravitacional que el objeto 1 ejerce sobre el objeto 2 está dada por el campo

\[ \mathbf{F}(x, y, z) = -G m_1 m_2 \left( \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \frac{z}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \right). \]

Ejemplo ilustrativo 10.16.7: Determinando el Giro de un Campo Gravitacional

Demostrar que un campo gravitatorio no tiene giro.

Solución:

Para demostrar que \( \mathbf{F} \) no tiene rotacional, calculamos su rotacional. Sea \( P(x, y, z) = \frac{x}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \), \( Q(x, y, z) = \frac{y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \), y \( R(x, y, z) = \frac{z}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \). Entonces,

\[ \text{rotacional} \, \mathbf{F} = -Gm_1 m_2 \left[ (R_y – Q_z) \mathbf{i} + (P_z – R_x) \mathbf{j} + (Q_x – P_y) \mathbf{k} \right] \] \[ = -Gm_1 m_2 \left[ \begin{aligned} \left( \frac{-3yz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/2}} – \frac{-3yz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/2}} \right) \mathbf{i} & \\ +\left(\frac{-3xz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/2}} – \frac{-3xz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/2}} \right) \mathbf{j} & \\ +\left(\frac{-3xy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/2}} – \frac{-3xy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{5/2}} \right) \mathbf{k} \end{aligned} \right] \] \[ = \mathbf{0}. \]

Dado que el rotacional del campo gravitacional es cero, el campo no tiene rotacional. ♦

Ejercicio de control 10.16.5

El campo \(\displaystyle \mathbf{v}(x, y) = \left\langle -\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right\rangle\) modela el flujo de un fluido. Demuestra que si dejas caer una hoja en este fluido, a medida que la hoja se mueve con el tiempo, la hoja no gira. ♦

Usando la Divergencia y el Rotacional

Ahora que entendemos los conceptos básicos de divergencia y rotacional, podemos discutir sus propiedades y establecer relaciones entre ellos y los campos vectoriales conservativos.

Si F es un campo vectorial en ℝ³, entonces el rotacional de F también es un campo vectorial en ℝ³. Por lo tanto, podemos tomar la divergencia de un rotacional. El siguiente teorema dice que el resultado es siempre cero. Este resultado es útil porque nos da una forma de mostrar que algunos campos vectoriales no son el rotacional de ningún otro campo. Para darle a este resultado una interpretación física, recuerda que la divergencia de un campo de velocidad v en el punto P mide la tendencia del fluido correspondiente a fluir fuera de P. Dado que div(rot(v)) = 0, la tasa neta de flujo en el campo vectorial rot(v) en cualquier punto es cero. Tomar el rotacional del campo vectorial F elimina cualquier divergencia que estuviera presente en F.

Teorema 10.16.3: Divergencia del Rotacional

Sea \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\) un campo vectorial en \(\mathbb{R}^3\) tal que las funciones componentes tienen derivadas parciales de segundo orden continuas. Entonces,

\[ \text{div rot } (\mathbf{F}) = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0. \]

♦

Demostración:

Por las definiciones de divergencia y rotacional, y por el teorema de Clairaut,

\[ \begin{align*} \text{div rot } \mathbf{F} &= \text{div}\left[(R_y – Q_z) \mathbf{i} + (P_z – R_x) \mathbf{j} + (Q_x – P_y) \mathbf{k}\right] \\ &= R_{yx} – Q_{xz} + P_{yz} – R_{yx} + Q_{zx} – P_{zy} \\ &= 0. \end{align*} \]

♦

Ejemplo ilustrativo 10.16.8: Demostrando que un Campo Vectorial No es el Rotacional de Otro

Muestra que \(\mathbf{F} \left( x, y, z \right) = e^{x} \mathbf{i} + yz \mathbf{j} + xz^2 \mathbf{k}\) no es el rotacional de otro campo vectorial. Es decir, muestra que no existe otro vector \(\mathbf{G}\) con \(\text{rot } \mathbf{G} = \mathbf{F}\).

Solución:

Observa que el dominio de \( \mathbf{F} \) es todo \(\mathbb{R}^3\) y las derivadas parciales de segundo orden de \( \mathbf{F} \) son todas continuas. Por lo tanto, podemos aplicar el teorema anterior a \( \mathbf{F} \).

La divergencia de \( \mathbf{F} \) es \( e^x + z + 2xz \). Si \( \mathbf{F} \) fuera el rotacional de un campo vectorial \( \mathbf{G} \), entonces

\[ \begin{align*} \text{div } \mathbf{F} &= \text{div rot } \mathbf{G} \\ &= 0. \end{align*} \]

Sin embargo, la divergencia de \( \mathbf{F} \) no es cero, y por lo tanto \( \mathbf{F} \) no es el rotacional de ningún otro campo vectorial. ♦

Ejercicio de control 10.16.6

¿Es posible que \( \mathbf{G}(x, y, z) = (\sin x, \cos y, \sin (xyz)) \) sea el rotacional de un campo vectorial? ♦

      Con los siguientes dos teoremas, mostramos que si F es un campo vectorial conservativo, entonces su rotacional es cero, y si el dominio de F es simplemente conexo, entonces la inversa también es verdadera. Esto nos da otra forma de probar si un campo vectorial es conservativo.

Teorema 10.16.4: Rotacional de un Campo Vectorial Conservativo

Si \( \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle \) es conservativo, entonces \( \text{rot } \mathbf{F} = \mathbf{0} \). ♦

Demostración:

Dado que los campos vectoriales conservativos satisfacen la propiedad de las derivadas cruzadas, todas las derivadas cruzadas de \( \mathbf{F} \) son iguales. Por lo tanto,

\[ \begin{align*} \operatorname{rot} \mathbf{F} &= (R_{y} – Q_{z}) \mathbf{i} + (P_{z} – R_{x}) \mathbf{j} + (Q_{x} – P_{y}) \mathbf{k} \\ &= \mathbf{0}. \end{align*} \]

♦

El mismo teorema es cierto para campos vectoriales en un plano.

Dado que un campo vectorial conservativo es el gradiente de una función escalar, el teorema anterior dice que \( \text{rot } (\nabla f) = 0 \) para cualquier función escalar \( f \). En términos de la notación de rotacional, \( \nabla \times \nabla (f) = 0 \). Esta ecuación tiene sentido porque el producto cruz de un vector consigo mismo siempre es el vector cero. A veces, la ecuación \( \nabla \times \nabla (f) = 0 \) se simplifica como \( \nabla \times \nabla = 0 \).

Teorema 10.16.5: Prueba del Rotacional para un Campo Conservativo

Sea \( \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle \) un campo vectorial en el espacio sobre un dominio simplemente conexo. Si \( \operatorname{rot} \mathbf{F} = 0 \), entonces \( \mathbf{F} \) es conservativo. ♦

Demostración:

Dado que \( \text{rot } \mathbf{F} = 0 \), tenemos que \( R_y = Q_z \), \( P_z = R_x \) y \( Q_x = P_y \). Por lo tanto, \( \mathbf{F} \) satisface la propiedad de las derivadas cruzadas en un dominio simplemente conexo, y la Propiedad de las Derivadas Cruzadas de Campos Conservativos implica que \( \mathbf{F} \) es conservativo. ♦

El mismo teorema también es cierto en un plano. Por lo tanto, si F es un campo vectorial en un plano o en el espacio y el dominio es simplemente conexo, entonces F es conservativo si y solo si rot(F) = 0.

Ejemplo ilustrativo 10.16.9: Comprobando si un Campo Vectorial es Conservativo

Usa el rotacional para determinar si \( \mathbf{F} \left( x, y, z \right) = \langle yz, xz, xy \rangle \) es conservativo.

Solución:

Nótese que el dominio de F es todo ℝ³, que es simplemente conexo (Figura 10.16.7). Por lo tanto, podemos comprobar si F es conservativo calculando su rotacional.

El rotacional de \( \mathbf{F} \) es

\[ \begin{align*} \left( \frac{\partial}{\partial y} xy – \frac{\partial}{\partial z} xz \right) \mathbf{i} &+ \left( \frac{\partial}{\partial y} yz – \frac{\partial}{\partial z} xy \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial}{\partial y} xz – \frac{\partial}{\partial z} yz \right) \mathbf{k} \\ &= (x – x) \mathbf{i} + (y – y) \mathbf{j} + (z – z) \mathbf{k} \\ &= 0. \end{align*} \]

Por lo tanto, \( \mathbf{F} \) es conservativo. ♦

Hemos visto que el rotacional de un gradiente es cero. ¿Qué es la divergencia de un gradiente? Si \( f \) es una función de dos variables, entonces

\[ \text{div}(\nabla f) = \nabla \cdot (\nabla f) = f_{xx} + f_{yy}. \]

Abreviamos este “doble producto punto” como \( \nabla^2 \). Este operador se llama el operador de Laplace, y en esta notación, la ecuación de Laplace se convierte en

\[ \nabla^2 f = 0. \]

Por lo tanto, una función armónica es una función que se vuelve cero después de tomar la divergencia de un gradiente.

De manera similar, si \( f \) es una función de tres variables, entonces

\[ \text{div}(\nabla f) = \nabla \cdot (\nabla f) = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz}. \]

Usando esta notación, obtenemos la ecuación de Laplace para funciones armónicas de tres variables:

\[ \nabla^2 f = 0. \]

Las funciones armónicas surgen en muchas aplicaciones. Por ejemplo, la función potencial de un campo electrostático en una región del espacio que no tiene carga estática es armónica.

Ejemplo ilustrativo 10.16.10: Analizando una Función

¿Es posible que \( f(x, y) = x^2 + x – y \) sea la función potencial de un campo electrostático que se encuentra en una región de \( \mathbb{R}^2 \) libre de carga estática?

Solución:

Si \( f \) fuera una función potencial de este tipo, entonces \( f \) sería armónica. Observa que \( f_{xx} = 2 \) y \( f_{yy} = 0 \), por lo que \( f_{xx} + f_{yy} \neq 0 \). Por lo tanto, \( f \) no es armónica y \( f \) no puede representar un potencial electrostático. ♦

Ejercicio de control 10.16.7

¿Es posible que la función \( f(x, y) = x^2 – y^2 + x \) sea la función potencial de un campo electrostático ubicado en una región de \(\mathbb{R}^2\) libre de carga estática? ♦