| 9. Ecuaciones diferenciales | 9.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden |

9.2.6 Factores de integración

      En la Sección 9.2.5 vimos que si M, N, My y Nx son continuos y My = Nx en un rectángulo abierto R entonces

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0        (9.2.6.1)

es exacta en R. A veces, una ecuación que no es exacta se puede hacer exacta multiplicándola por una función apropiada. Por ejemplo,

(3x + 2y2) dx + 2xy dy = 0        (9.2.6.2)

no es exacta, ya que My(x, y) = 4yNx(x, y) = 2y en (9.2.6.2). Sin embargo, al multiplicar (9.2.6.2) por x se obtiene

(3x2 + 2xy2)dx + 2x2y dy = 0,        (9.2.6.3)

lo cual es exacto, ya que My(x, y) = Nx(x, y) = 4xy en (9.2.6.3). Resolviendo (9.2.6.3) por el procedimiento dado en la Sección 9.2.5 se obtiene la solución implícita

x3 + x2y2 = c.

      Una función µ = µ(x, y) es un factor integrante para (9.2.6.1) si

µ(x, y)M(x, y) dx + µ(x, y)N(x, y) dy = 0        (9.2.6.4)

es exacta. Si conocemos un factor de integración µ para (9.2.6.1), podemos resolver la ecuación exacta (9.2.6.4) por el método de la Sección 9.2.5. Sería bueno si pudiéramos decir que (9.2.6.1) y (9.2.6.4) siempre tienen las mismas soluciones, pero no es así. Por ejemplo, una solución y = y(x) de (9.2.6.4) tal que µ(x, y(x)) = 0 en algún intervalo a < x < b podría no ser una solución de (9.2.6.1) (Ejercicio 1), mientras que (9.2.6.1) puede tener una solución y = y(x) tal que µ(x, y(x)) ni siquiera está definida (Ejercicio 2). Se aplican comentarios similares si y es la variable independiente y x es la variable dependiente en (9.2.6.1) y (9.2.6.4). Sin embargo, si se define µ(x, y) distinta de cero para todo (x, y), (9.2.6.1) y (9.2.6.4) son equivalentes; es decir, tienen las mismas soluciones.

Encontrar factores de integración

      Al aplicar el Teorema 9.2.5.2 (con M y N reemplazados por µM y µN), vemos que (9.2.6.4) es exacta en un rectángulo abierto R si µM, µN, (µM)y  y  (µN)x son continuas y

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-46.png    o, de manera equivalente,     µyM + µMy = µxN + µNx

en R. Es mejor reescribir la última ecuación como

µ(MyNx) = µxN − µyM,         (9.2.6.5)

que se reduce al resultado conocido para ecuaciones exactas; es decir, si My = Nx entonces (9.2.6.5) se cumple con µ = 1, por lo que (9.2.6.1) es exacta.

      Puede pensar que (9.2.6.5) tiene poco valor, ya que involucra derivadas parciales del factor de integración desconocido µ, y no hemos estudiado métodos para resolver tales ecuaciones. Sin embargo, ahora mostraremos que (9.2.6.5) es útil si restringimos nuestra búsqueda a factores integrantes que son productos de una función de x y una función de y; es decir, µ(x, y) = P(x)Q(y). No estamos diciendo que toda ecuación M dx + N dy = 0 tenga un factor integrante de esta forma; más bien, estamos diciendo que algunas ecuaciones tienen tales factores de integración. Ahora desarrollaremos una manera de determinar si una ecuación dada tiene tal factor de integración y un método para encontrar el factor de integración en este caso.

      Si µ(x, y) = P(x)Q(y), entonces µx(x, y) = P′(x)Q(y) y µy(x, y) = P(x)Q′ (y), entonces (9.2.6.5) se convierte en

P(x)Q(y)(MyNx) = P′(x)Q(y)NP(x)Q′(y)M,        (9.2.6.6)

o, después de dividir por P(x)Q(y),

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-47.png        (9.2.6.7)

Ahora deje que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-48.png

entonces (9.2.6.7) se convierte en

My − Nx = p(x)Nq(y)M.        (9.2.6.8)

      Obtuvimos (9.2.6.8) suponiendo que M dx + N dy = 0 tiene un factor de integración µ(x, y) = P(x)Q(y). Sin embargo, ahora podemos ver (9.2.6.7) de manera diferente: si hay funciones p = p(x)  y  q = q(y) que satisfacen (9.2.6.8) y definimos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-49.png        (9.2.6.9)

luego, al invertir los pasos que llevaron de (9.2.6.6) a (9.2.6.8) se muestra que µ(x, y) = P(x)Q(y) es un factor integrante para M dx+ N dy = 0. Al usar este Como resultado, tomamos las constantes de integración en (9.2.6.9) como cero y elegimos los signos convenientemente para que el factor de integración tenga la forma más simple.

      No existe un método general simple para determinar si las funciones p = p(x)  y  q = q(y) que satisfacen (9.2.6.8) existen. Sin embargo, el siguiente teorema da condiciones suficientes simples para que la ecuación dada tenga un factor de integración que dependa solo de una de las variables independientes x e y, y para encontrar un factor de integración en este caso.

Teorema 9.2.6.1

Sean M, N, My y Nx continuas en un rectángulo abierto R. Entonces:
(a) Si (MyNx)/N es independiente de y en R y definimos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-50.png

entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-51.png      (9.2.6.10)

es un factor integrante de

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0        (9.2.6.11)

en R.

(b) Si (Nx − My)/M es independiente de x en R y definimos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-52.png

entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-53.png        (9.2.6.12)

es un factor integrante para (9.2.6.11) en R

Prueba: 

(a) Si (MyNx)/N es independiente de y, entonces (9.2.6.8) se cumple con p = (MyNx)/N y q ≡ 0. Por lo tantoEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-54.png

entonces (9.2.6.10) es un factor integrante para (9.2.6.11) en R.

(b) Si (Nx −My)/M es independiente de x entonces 9.2.6.8 se cumple con p ≡ 0 y q = (Nx −My)/M, y un argumento similar muestra que (9.2.6.12) es un factor integrante para (9.2.6.11) en R.  ♦

      Los siguientes dos ejemplos muestran cómo aplicar el Teorema 9.2.6.1.

Ejemplo ilustrativo 9.2.6.1

Encuentre un factor de integración para la ecuación

(2xy3 − 2x3y3 − 4xy2 + 2x) dx + (3x2y2 + 4y) dy = 0        (9.2.6.13)

y resuelve la ecuación.

Solución:

En (9.2.6.13)

M = 2xy3 − 2x3y3 − 4xy2 + 2xN = 3x2y2 + 4y,

y

My − Nx = (6xy2 − 6x3y2 − 8xy) − 6xy2 = −6x3y2 − 8xy,

entonces (9.2.6.13) no es exacta. Sin embargo,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-55.png

es independiente de y, por lo que el Teorema 9.2.6.1(a) se aplica con p(x) = −2x. Ya que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-56.png

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-57.png es un factor integrante. Multiplicando (9.2.6.13) por µ se obtiene la ecuación exacta

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-58.png      (9.2.6.14)

Para resolver esta ecuación, debemos encontrar una función F tal que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-59.png      (9.2.6.15)

y

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-60.png      (9.2.6.16)

Integrando (9.2.6.16) con respecto a y se obtiene

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-61.png      (9.2.6.17)

Derivando esto con respecto a x se obtiene

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-62.png

Comparando esto con (9.2.6.15) se muestra que Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-63.png por lo tanto, podemos dejar Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-64.pngen (9.2.6.17) y concluimos que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-65.png

es una solución implícita de (9.2.6.14). También es una solución implícita de (9.2.6.13). 

      La Figura 9.2.6.1 muestra un campo direccional y algunas curvas enteras para (9.2.6.13)

Figura 9.2.6.1 Un campo direccional y curvas integrales para (2xy3 − 2x3y3− 4xy2 + 2x) dx + (3x2y2 + 4y) dy = 0

Ejemplo ilustrativo 9.2.6.2

Encuentre un factor de integración para

2xy3dx + (3x2y2 + x2y3 + 1) dy = 0        (9.2.6.18)

y resuelve la ecuación.

Solución:

En (9.2.6.18),

M = 2xy3N = 3x2y2 + x2y3 + 1,

y

My − Nx = 6xy2 − (6xy2 + 2xy3) = −2xy3,

entonces (9.2.6.18) no es exacta. Además,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-67.png

no es independiente de y, por lo que el Teorema 9.2.6.1(a) no se aplica. Sin embargo, se aplica el Teorema 2.6.1(b), ya que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-68.png

es independiente de x, por lo que podemos tomar q(y) = 1. Como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-69.png

µ(y) = ey es un factor integrante. Multiplicando (9.2.6.18) por µ se obtiene la ecuación exacta

2xy3ey dx + (3x2y2 + x2y3 + 1)ey dy = 0.        (9.2.6.19)

Para resolver esta ecuación, debemos encontrar una función F tal que

Fx(x, y) = 2xy3 ey        (9.2.6.20)

y

Fy(x, y) = (3x2y2 + x2y3 + 1)ey.        (9.2.6.21)

Integrando (9.2.6.20) con respecto a x se obtiene

F(x, y) = x2y3ey + φ(y).        (9.2.6.22)

Diferenciando esto con respecto a y se obtiene

Fy = (3x2y2 + x2y3)ey + φ′(y),

y comparando esto con (9.2.6.21) muestra que φ′(y) = ey. Por lo tanto establecemos φ(y) = ey en (9.2.6.22) y concluimos que

(x2y3 + 1)ey = c

es una solución implícita de (9.2.6.19). También es una solución implícita de (9.2.6.18). La figura 9.2.6.2 muestra un campo direccional y algunas curvas integrales para (9.2.6.18). 

Figura 9.2.6.2 Un campo direccional y curvas integrales para 2xy3ey dx + (3x2y2 + x2y3 + 1)ey dy = 0

       El teorema 9.2.6.1 no se aplica en el siguiente ejemplo, pero el argumento más general que condujo al teorema 9.2.6.1 proporciona un factor de integración.

Ejemplo ilustrativo 9.2.6.3

Encuentre un factor de integración para

(3xy + 6y2) dx + (2x2 + 9xy) dy = 0        (9.2.6.23)

y resuelve la ecuación

Solución:

en (9.2.6.23)

M = 33xy + 6y2N = 2x2 + 9xy,

y

My − Nx = (3x + 12y) − (4x + 9y) = −x + 3y.

Por lo tanto

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-71.png

entonces el Teorema 9.2.6.1 no se aplica. Siguiendo el argumento más general que condujo al Teorema 9.2.6.1, buscamos funciones p = p(x)  y  q = q(y) tales que

MyNx = p(x)Nq(y)M;

es decir

x + 3y = p(x)(2x2 + 9xy) − q(y)(3xy + 6y2).

Dado que el lado izquierdo contiene solo términos de primer grado en x e y, reescribimos esta ecuación como

xp(x)(2x + 9y) − yq(y)(3x + 6y) = −x + 3y.

Esta será una identidad si

xp(x) = A  y yq(y) = B,        (9.2.6.24)

donde A y B son constantes tales que

x + 3y = A(2x + 9y) − B(3x + 6y),

o equivalente,

x + 3y = (2A − 3B)x + (9A − 6B)y.

Igualar los coeficientes de x e y en ambos lados muestra que la última ecuación se cumple para todo (x, y) si

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-72.png

que tiene la solución A = 1, B = 1. Por lo tanto (9.2.6.24) implica que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-73.png

Ya que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-74.png

podemos dejar que P(x) = x  y  Q(y) = y; por lo tanto, µ(x, y) = xy es un factor integrante. Multiplicando (9.2.6.23) por µ se obtiene la ecuación exacta

(3x2y2 + 6xy3)dx + (2x3y + 9x2y2)dy = 0.

Figura 9.2.6.3 Un campo direccional y curvas integrales para (3xy + 6y2) dx+ (2x2 + 9xy) dy = 0

Le dejamos a usted usar el método de la Sección 9.2.5 para mostrar que esta ecuación tiene la solución implícita

x3y2 + 3x2y3 = c.        (9.2.6.25)

Esta es también una solución implícita de (9.2.6.23). Dado que x ≡ 0 y y ≡ 0 satisfacen (9.2.6.25), debe comprobar que x ≡ 0 y y ≡ 0 también son soluciones de (9.2.6.23). (¿Por qué es necesario verificar esto?)

      La figura 9.2.6.3 muestra un campo de direcciones y curvas integrales para (9.2.6.23). 

       Vea el Ejercicio 28 para una discusión general de ecuaciones como (9.2.6.23).

Ejemplo ilustrativo 9.2.6.4

La ecuación separable

y dx + (x + x6)dy = 0        (9.2.6.26)

se puede convertir a la ecuación exacta

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-76.png      (9.2.6.27)

multiplicando por el factor integrante

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-77.png

Sin embargo, para resolver (9.2.6.27) por el método de la Sección 9.2.5 tendríamos que evaluar la desagradable integral

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-78.png

En cambio, resolvemos (9.2.6.26) explícitamente para y encontrando un factor integrante de la forma µ(x, y) = xayb.

Figura 9.2.6.4 Un campo direccional y curvas integrales para −y dx + (x + x6) dy = 0

Solución:

En (9.2.6.26)

M = −y,  N = x + x6,

y

My − Nx = −1 − (1 + 6x5) = −2 − 6x5.

Buscamos las funciones p = p(x) y q = q(y) tales que

My − Nx = p(x)Nq(y)M;

es decir,

− 2 − 6x5 = p(x)(x + x6) + q(y)y.        (9.2.6.28)

El lado derecho contendrá el término −6x5 si p(x) = −6/x. Entonces (9.2.6.28) se convierte en

−2 − 6x5 = −6 − 6x5 + q(y)y,

entonces q(y) = 4/y. Ya que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-80.png

y

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-81.png

podemos tomar P(x) = x−6  y  Q(y) = y4, lo que da como resultado el factor de integración µ(x, y) = x − 6y4. Multiplicando (9.2.6.26) por µ se obtiene la ecuación exacta

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-82.png

Le dejamos a usted usar el método de la Sección 9.2.5 para mostrar que esta ecuación tiene la solución implícita

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-83.png

Resolviendo para y obtenemos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-84.png

La que reescribimos como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-85.png

cambiando el nombre de la constante arbitraria. Esta es también una solución de (9.2.6.26).

      La figura 9.2.6.4 muestra un campo de direcciones y algunas curvas integrales para (9.2.6.26). 

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.