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10.9 Calculo de funciones vectoriales

Objetivos de aprendizaje:

10.9.1. Escriba una expresión para la derivada de una función vectorial.
10.9.2. Encuentre el vector tangente en un punto para un vector de posición dado.
10.9.3. Encuentre el vector tangente unitario en un punto para un vector de posición dado y explique su significado.
10.9.4. Calcule la integral definida de una función vectorial.

Para estudiar el cálculo de funciones con valores vectoriales, seguimos un camino similar al que tomamos al estudiar funciones con valores reales. Primero, definimos la derivada, luego examinamos las aplicaciones de la derivada, luego pasamos a definir integrales. Sin embargo, encontraremos algunas ideas nuevas e interesantes a lo largo del camino como resultado de la naturaleza vectorial de estas funciones y las propiedades de las curvas espaciales.

Derivadas de funciones vectoriales

Ahora que hemos visto qué es una función con valor vectorial y cómo tomar su límite, el siguiente paso es aprender a diferenciar una función con valor vectorial. La definición de la derivada de una función de valor vectorial es casi idéntica a la definición de una función de valor real de una variable. Sin embargo, debido a que el rango de una función con valor vectorial consiste en vectores, lo mismo es cierto para el rango de la derivada de una función con valor vectorial.

Definición 10.9.1. Derivada de una función de valor vectorial

La derivada de una función vectorial \( \mathbf{r}(t) \) es

\[\mathbf{r}'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{r}(t + \Delta t) – \mathbf{r}(t)}{\Delta t}, \hspace{20pt} \text{(Ecuación 10.9.1)}\]

siempre que el límite exista. Si \( \mathbf{r}'(t) \) existe, entonces \( \mathbf{r} \) es diferenciable en t. Si \( \mathbf{r}'(t) \) existe para todo t en un intervalo abierto \( (a, b) \), entonces \( \mathbf{r} \) es diferenciable sobre el intervalo \( (a, b) \). Para que la función sea diferenciable sobre el intervalo cerrado \( [a, b] \), los siguientes dos límites deben existir también:

\[\mathbf{r}'(a) = \lim_{\Delta t \to 0^+} \frac{\mathbf{r}(a + \Delta t) – \mathbf{r}(a)}{\Delta t}\] y \[\mathbf{r}'(b) = \lim_{\Delta t \to 0^-} \frac{\mathbf{r}(b + \Delta t) – \mathbf{r}(b)}{\Delta t}.\]

♦

Muchas de las reglas para calcular derivadas de funciones con valor real se pueden aplicar también al cálculo de derivadas de funciones con valor vectorial. Recuerde que la derivada de una función de valor real puede interpretarse como la pendiente de una recta tangente o la tasa de cambio instantánea de la función. La derivada de una función de valor vectorial también puede entenderse como una tasa de cambio instantánea; por ejemplo, cuando la función representa la posición de un objeto en un punto dado en el tiempo, la derivada representa su velocidad en ese mismo punto en el tiempo.

Ahora mostramos cómo tomar la derivada de una función vectorial.

Ejemplo ilustrativo 10.9_1. Encontrar la derivada de una función vectorial

Use la definición para calcular la derivada de la función

Solución:
Usemos la ecuación dada en la definición de la derivada de una función vectorial:

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Ejercicio de control 10.9.1

Usa la definición para calcular la derivada de la función \( \mathbf{r}(t) = (2t^2 + 3) \mathbf{i} + (5t – 6) \mathbf{j} \). ♦

       Observe que en los cálculos del ejemplo 10.9_1, también podríamos obtener la respuesta calculando primero la derivada de cada función componente, luego volviendo a colocar estas derivadas en la función de valor vectorial. Esto siempre es cierto para calcular la derivada de una función vectorial, ya sea en dos o tres dimensiones. Establecemos esto en el siguiente teorema. La prueba de este teorema se deriva directamente de las definiciones del límite de una función con valor vectorial y la derivada de una función con valor vectorial.

Teorema 10.9.2: Diferenciación de funciones vectoriales

Sean f, g y h funciones diferenciables de t.

1. Si \( \mathbf{r}(t) = f(t) \mathbf{i} + g(t) \mathbf{j} \), entonces \( \mathbf{r}'(t) = f'(t) \mathbf{i} + g'(t) \mathbf{j} \).
2. Si \( \mathbf{r}(t) = f(t) \mathbf{i} + g(t) \mathbf{j} + h(t) \mathbf{k} \), entonces \( \mathbf{r}'(t) = f'(t) \mathbf{i} + g'(t) \mathbf{j} + h'(t) \mathbf{k} \).

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Ejemplo ilustrativo 10.9_2. Cálculo de la derivada de funciones vectoriales

Usa Diferenciación de funciones vectoriales para calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones.

1. \( \mathbf{r}(t) = (6t + 8) \mathbf{i} + (4t^2 + 2t – 3) \mathbf{j} \)
2. \( \mathbf{r}(t) = 3\cos t \mathbf{i} + 4\sin t \mathbf{j} \)
3. \( \mathbf{r}(t) = e^t \sin t \mathbf{i} + e^t \cos t \mathbf{j} – e^{2t} \mathbf{k} \)

Solución:

Usamos Diferenciación de funciones vectoriales y lo que sabemos sobre la diferenciación de funciones de una variable.

1. La primera componente de \( \mathbf{r}(t) = (6t + 8) \mathbf{i} + (4t^2 + 2t – 3) \mathbf{j} \) es \( f(t) = 6t + 8 \). La segunda componente es \( g(t) = 4t^2 + 2t – 3 \). Tenemos \( f'(t) = 6 \) y \( g'(t) = 8t + 2 \), así que el teorema da \( \mathbf{r}'(t) = 6\mathbf{i} + (8t + 2)\mathbf{j} \).
2. La primera componente es \( f(t) = 3\cos t \) y la segunda componente es \( g(t) = 4\sin t \). Tenemos \( f'(t) = -3\sin t \) y \( g'(t) = 4\cos t \), así que obtenemos \( \mathbf{r}'(t) = -3\sin t \mathbf{i} + 4\cos t \mathbf{j} \).
3. La primera componente de \( \mathbf{r}(t) = e^t \sin t \mathbf{i} + e^t \cos t \mathbf{j} – e^{2t} \mathbf{k} \) es \( f(t) = e^t \sin t \), la segunda componente es \( g(t) = e^t \cos t \), y la tercera componente es \( h(t) = -e^{2t} \). Tenemos \( f'(t) = e^t (\sin t + \cos t) \), \( g'(t) = e^t (\cos t – \sin t) \), y \( h'(t) = -2e^{2t} \), así que el teorema da \( \mathbf{r}'(t) = e^t (\sin t + \cos t) \mathbf{i} + e^t (\cos t – \sin t) \mathbf{j} – 2e^{2t} \mathbf{k} \).

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Ejercicio de control 10.9.2

Calcula la derivada de la función \( \mathbf{r}(t) = (t\ln t) \mathbf{i} + (5e^t) \mathbf{j} + (\cos t – \sin t) \mathbf{k} \). ♦

       Podemos extender a las funciones de valor vectorial las propiedades de la derivada que presentamos en la Introducción a las derivadas. En particular, la regla del múltiplo constante, las reglas de suma y diferencia, la regla del producto y la regla de la cadena se extienden a las funciones de valor vectorial. Sin embargo, en el caso de la regla del producto, en realidad hay tres extensiones: (1) para una función de valor real multiplicada por una función de valor vectorial, (2) para el producto punto de dos funciones de valor vectorial, y (3 ) para el producto cruzado de dos funciones vectoriales.

Teorema 10.9.3: Propiedades de la derivada de funciones vectoriales

Sea r y u funciones vectoriales diferenciables de t, sea f una función de valor real diferenciable de t, y sea c un escalar.

	Propiedad	Nombre
i.	\( \frac{d}{dt}[c\mathbf{r}(t)] = c\mathbf{r}'(t) \)	Múltiplo escalar
ii.	\( \frac{d}{dt}[\mathbf{r}(t) \pm \mathbf{u}(t)] = \mathbf{r}'(t) \pm \mathbf{u}'(t) \)	Suma y diferencia
iii.	\( \frac{d}{dt}[f(t) \mathbf{u}(t)] = f'(t) \mathbf{u}(t) + f(t) \mathbf{u}'(t) \)	Producto escalar
iv.	\( \frac{d}{dt}[\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{u}(t)] = \mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{u}(t) + \mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{u}'(t) \)	Producto punto
v.	\( \frac{d}{dt}[\mathbf{r}(t) \times \mathbf{u}(t)] = \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{u}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{u}'(t) \)	Producto cruz
vi.	\( \frac{d}{dt}[\mathbf{r}(f(t))] = \mathbf{r}'(f(t)) \cdot f'(t) \)	Regla de la cadena
vii.	Si \( \mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}(t) = c \), entonces \( \mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}'(t) = 0 \).

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Prueba:

Las pruebas de las dos primeras propiedades se deducen directamente de la definición de la derivada de una función vectorial. La tercera propiedad se puede deducir de las dos primeras propiedades, junto con la regla del producto de la Introducción a las derivadas. Sea u (t) = g (t) i + h (t) j. Luego

Para probar la propiedad iv. sea r (t) = f₁ (t) i + g₁ (t) j  y  u (t) = f₂ (t) i + g₂ (t) j. Luego

La prueba de la propiedad v. Es similar a la de propiedad iv. La propiedad vi. puede probarse usando la regla de la cadena. Por último, la propiedad vii. se desprende de la propiedad iv:

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Ejemplo ilustrativo 10.9_3. Uso de las propiedades de derivadas de funciones vectoriales

Dadas las funciones vectoriales

r (t) = (6t + 8) i + (4t ² + 2t − 3) j + 5tk

y

u (t) = (t ² − 3) i + (2t + 4) j + (t ³ − 3t) k,

calcule cada una de las siguientes derivadas utilizando las propiedades de la derivada de funciones vectoriales.

Solución:
a. Tenemos r ′ (t) = 6i + (8t + 2) j + 5k  y  u ′ (t) = 2t i + 2 j + (3t² – 3)k. Por lo tanto, de acuerdo con la propiedad iv .:

b. Primero, necesitamos adaptar la propiedad v. Para este problema:

Recuerde que el producto cruz de cualquier vector consigo mismo es cero. Además, u ′ ′ (t) representa la segunda derivada de u (t):

Por lo tanto,

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Ejercicio de control 10.9.3

Dadas las funciones vectoriales \( \mathbf{r}(t) = \cos t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} – e^{2t} \mathbf{k} \) y \( \mathbf{u}(t) = t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} + \cos t \mathbf{k} \), calcula \( \frac{d}{dt}[\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}'(t)] \) y \( \frac{d}{dt}[\mathbf{u}(t) \times \mathbf{r}(t)] \). ♦

Vectores tangentes y vectores tangentes unitarios

Recuerde de la Introducción a las Derivadas que la derivada en un punto puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto. En el caso de una función de valor vectorial, la derivada proporciona un vector tangente a la curva representada por la función. Considere la función de valor vectorial r (t) = cost i + sent j. La derivada de esta función es r ′ (t) = – sent i + cost j. Si sustituimos el valor t = π / 6 en ambas funciones obtenemos

La gráfica de esta función aparece en la Figura 10.9_1, junto con los vectores r (π/6)  y  r ′ (π/6).

Figura 10.9_1 La recta tangente en un punto se calcula a partir de la derivada de la función de valor vectorial r(t).

Observe que el vector r′(π/6) es tangente a la circunferencia en el punto correspondiente a t = π/6. Este es un ejemplo de un vector tangente a la curva plana definida por r(t) = cost i + sent j.

Definición 10.9.2. Vector tangente unitario principal

Sea C una curva definida por una función vectorial \( \mathbf{r} \), y supongamos que \( \mathbf{r}'(t) \) existe cuando \( t = t_0 \). Un vector tangente \( \mathbf{v} \) en \( t = t_0 \) es cualquier vector tal que, cuando la cola del vector se coloca en el punto \( \mathbf{r}(t_0) \) en la gráfica, el vector \( \mathbf{v} \) es tangente a la curva C. El vector \( \mathbf{r}'(t_0) \) es un ejemplo de un vector tangente en el punto \( t = t_0 \). Además, supongamos que \( \mathbf{r}'(t) \neq \mathbf{0} \). El vector tangente unitario principal en t se define como

\[\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}, \hspace{20pt} \text{(Ecuación 10.9.2)}\]

siempre que \( \|\mathbf{r}'(t)\| \neq 0 \). ♦

El vector unitario tangente es exactamente lo que parece: un vector unitario que es tangente a la curva. Para calcular un vector tangente unitario, primero encuentre la derivada r‘(t). Segundo, calcule la magnitud de la derivada. El tercer paso es dividir la derivada por su magnitud.

Ejemplo ilustrativo 10.9_4. Encontrar un vector tangente unitario

Encuentre el vector tangente unitario para cada una de las siguientes funciones vectoriales:
a.  r (t) = cost i + sent j
b.  u (t) = (3t ² + 2t) i + (2 − 4t ³) j + (6t + 5) k

Solución:

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Ejercicio de control 10.9.4

Encuentra el vector tangente unitario para la función vectorial \( \mathbf{r}(t) = (t^2 – 3) \mathbf{i} + (2t + 1) \mathbf{j} + (t – 2) \mathbf{k} \). ♦

Integrales de funciones vectoriales

Introdujimos antiderivadas de funciones de valor real en Antiderivadas e integrales definidas de funciones de valor real en La integral definida. Cada uno de estos conceptos se puede extender a funciones con valores vectoriales. Además, así como podemos calcular la derivada de una función con valor vectorial diferenciando las funciones componentes por separado, podemos calcular la antiderivada de la misma manera. Además, el teorema fundamental del cálculo se aplica también a las funciones de valor vectorial.

La antiderivada de una función de valor vectorial aparece en las aplicaciones. Por ejemplo, si una función de valor vectorial representa la velocidad de un objeto en el tiempo t, entonces su antiderivada representa la posición. O, si la función representa la aceleración del objeto en un momento dado, entonces la antiderivada representa su velocidad.

Definición 10.9.3. Integral indefinida y definida de una función de valor vectorial

Sean f, g y h funciones integrables de valor real sobre el intervalo cerrado \( [a, b] \).

1. La integral indefinida de una función vectorial \( \mathbf{r}(t) = f(t) \mathbf{i} + g(t) \mathbf{j} \) es \[\int [f(t) \mathbf{i} + g(t) \mathbf{j}] \, dt = \left[ \int f(t) \, dt \right] \mathbf{i} + \left[ \int g(t) \, dt \right] \mathbf{j}. \hspace{20pt} \text{(Ecuación 10.9.3)}\] La integral definida de una función vectorial es \[\int_a^b [f(t) \mathbf{i} + g(t) \mathbf{j}] \, dt = \left[ \int_a^b f(t) \, dt \right] \mathbf{i} + \left[ \int_a^b g(t) \, dt \right] \mathbf{j}. \hspace{20pt} \text{(Ecuación 10.9.4)}\]
2. La integral indefinida de una función vectorial \( \mathbf{r}(t) = f(t) \mathbf{i} + g(t) \mathbf{j} + h(t) \mathbf{k} \) es \[\int [f(t) \mathbf{i} + g(t) \mathbf{j} + h(t) \mathbf{k}] \, dt = \left[ \int f(t) \, dt \right] \mathbf{i} + \left[ \int g(t) \, dt \right] \mathbf{j} + \left[ \int h(t) \, dt \right] \mathbf{k}. \hspace{20pt} \text{(Ecuación 10.9.5)}\] La integral definida de una función vectorial es \[\int_a^b [f(t) \mathbf{i} + g(t) \mathbf{j} + h(t) \mathbf{k}] \, dt = \left[ \int_a^b f(t) \, dt \right] \mathbf{i} + \left[ \int_a^b g(t) \, dt \right] \mathbf{j} + \left[ \int_a^b h(t) \, dt \right] \mathbf{k}. \hspace{20pt} \text{(Ecuación 10.9.6)}\]

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       Dado que la integral indefinida de una función de valor vectorial implica integrales indefinidas de las funciones componentes, cada una de estas integrales componentes contiene una constante de integración. Todas pueden ser diferentes. Por ejemplo, en el caso bidimensional, podemos tener

donde F y G son las antiderivadas de f y g, respectivamente. Luego

donde C = C₁i + C₂j. Por lo tanto, la constante de integración se convierte en un vector constante.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.9_5. Integrando funciones vectoriales

Calcule cada una de las siguientes integrales:

Solución:
a. Usamos la primera parte de la definición de la integral de una curva espacial:

b. Primero calcule ⟨t, t ², t ³⟩ × ⟨t ³, t ², t⟩:

Luego, sustituya esto nuevamente en la integral e integre:

c. Use la segunda parte de la definición de la integral de una curva espacial:

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Ejercicio de control 10.9.5

Calcula la siguiente integral:

\[\int_1^3 [(2t + 4) \mathbf{i} + (3t^2 – 4t) \mathbf{j}] \, dt.\]

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