Movimiento en el espacio

MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: Objetivos de aprendizaje

10.11.1. Describe los vectores de velocidad y aceleración de una partícula que se mueve en el espacio.
10.11.2. Explica los componentes tangenciales y normales de la aceleración.
10.11.3. Declare las leyes de Kepler del movimiento planetario.

Hemos visto cómo describir curvas en el plano y en el espacio, y cómo determinar sus propiedades, como la longitud del arco y la curvatura. Todo esto lleva al objetivo principal de este capítulo, que es la descripción del movimiento a lo largo de curvas planas y curvas espaciales. Ahora tenemos todas las herramientas que necesitamos; en esta sección, reunimos estas ideas y vemos cómo usarlas.

Vectores de movimiento en el plano y en el espacio

Nuestro punto de partida es utilizar funciones con valores vectoriales para representar la posición de un objeto en función del tiempo. Todo el material siguiente se puede aplicar a curvas en el plano o a curvas espaciales. Por ejemplo, cuando observamos la órbita de los planetas, todas las curvas que definen estas órbitas se encuentran en un plano porque son elípticas. Sin embargo, una partícula que viaja a lo largo de una hélice se mueve en una curva en tres dimensiones.

DEFINICIÓN. Vector de velocidad y vector de aceleración

Supongamos que r (t) sea una función de valor vectorial dos veces diferenciable del parámetro t que representa la posición de un objeto en función del tiempo. El vector de velocidad v(t) del objeto viene dado por

El vector de aceleración a(t) se define como

La rapidez se define para ser

Como r(t) puede estar en dos o tres dimensiones, estas funciones con valores vectoriales pueden tener dos o tres componentes. En dos dimensiones, definimos r(t) = x (t) i + y (t) j  y en tres dimensiones r(t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k. Entonces, la velocidad, la aceleración y la rapidez se pueden escribir como se muestra en la siguiente tabla.

 

Cantidad Dos dimensiones Tres dimensiones
Posición r(t) = x(t) i + y(t) j  r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k 
Velocidad v(t) = x ′(t) i + y ′(t) j v(t) = x ′(t) i + y ′(t) j + z ′(t) k
Aceleración a(t) = x ”(t) i + y ”(t) j a(t) = x ”(t) i + y ”(t) j + z ”(t) k
Rapidez

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.11_1. Estudiar el movimiento a lo largo de una parábola

Una partícula se mueve en una trayectoria parabólica definida por la función vectorial

donde t mide el tiempo en segundos.

a. Encuentra la velocidad, aceleración y rapidez como funciones del tiempo.
b. Dibuje la curva junto con el vector de velocidad en el tiempo t = 1.

Solución:

a. Utilizamos las ecuaciones respectivas de velocidad, aceleración y rapidez:

La gráfica de

es una porción de una parábola (figura 10.11_1). El vector de velocidad en t = 1 es

y el vector de aceleración en t = 1 es

Observe que el vector de velocidad es tangente a la ruta, como siempre es el caso.

Figura 10.11_1 Esta gráfica representa el vector de velocidad en el tiempo t = 1 para una partícula que se mueve en una trayectoria parabólica.

Para obtener una mejor comprensión de los vectores de velocidad y aceleración, imagine que conduce por una carretera con curvas. Si no gira el volante, continuaría en línea recta y saldría de la carretera. La rapidez a la que viaja cuando sale de la carretera, junto con la dirección, proporciona un vector que representa su velocidad, como se ilustra en la siguiente figura.

Figura 10.11_2 En cada punto a lo largo de una carretera recorrida por un automóvil, el vector de velocidad del automóvil es tangente a la trayectoria recorrida por el automóvil.

Sin embargo, el hecho de que debe girar el volante para permanecer en el camino indica que su velocidad siempre está cambiando (incluso si su rapidez no lo está) porque su dirección cambia constantemente para mantenerse en el camino. A medida que gira a la derecha, su vector de aceleración también apunta a la derecha. A medida que gira hacia la izquierda, su vector de aceleración apunta hacia la izquierda. Esto indica que sus vectores de velocidad y aceleración cambian constantemente, independientemente de si su rapidez real varía (Figura 10.11_3).

Figura 10.11_3 La línea punteada representa la trayectoria de un objeto (un automóvil, por ejemplo). El vector de aceleración apunta hacia el interior del giro en todo momento.

Componentes del vector de aceleración

Podemos combinar algunos de los conceptos discutidos en Longitud de arco y Curvatura con el vector de aceleración para obtener una comprensión más profunda de cómo este vector se relaciona con el movimiento en el plano y en el espacio. Recuerde que la unidad de vector tangente T y la unidad de vector normal N forman un plano osculador en cualquier punto P en la curva definida por una función de valor vectorial r(t). El siguiente teorema muestra que el vector de aceleración a(t) se encuentra en el plano osculador y puede escribirse como una combinación lineal de la unidad de tangente y los vectores unitarios normales.

TEOREMA 10.11.1 El plano del vector de aceleración

El vector de aceleración a(t) de un objeto que se mueve a lo largo de una curva trazada por una función doblemente diferenciable r(t) se encuentra en el plano formado por el vector unitario tangente T(t) y el vector normal unitario principal N(t) a C. Además,

Aquí, v(t) es la velocidad del objeto y κ es la curvatura de C trazada por r(t).

Prueba

Debido a que v(t) = r ′(t)  y  T (t) = r ′ (t) / ∥ r ′(t) ∥, tenemos v(t) = ∥ r ′(t) ∥T(t) = v(t) T(t). Ahora diferenciamos esta ecuación:

Como N (t) = T(t)T ′ (t) ∥, sabemos que T ′ (t) = ∥T ′ (t) ∥N (t), entonces

Una fórmula para la curvatura es

entonces

Esto da

Los coeficientes de T(t) y N(t) se denominan componente tangencial de la aceleración y componente normal de la aceleración, respectivamente. Escribimos aT para denotar el componente tangencial y aN para denotar el componente normal.

TEOREMA 10.11_2 Componentes tangenciales y normales de la aceleración

Sea r(t) una función de valor vectorial que denota la posición de un objeto en función del tiempo. Entonces a(t) = r′ ′(t) es el vector de aceleración. Los componentes tangenciales y normales de la aceleración aT y aN están dados por las fórmulas

y

Estos componentes están relacionados por la fórmula

Aquí T(t) es el vector tangente unitario de la curva definida por r(t), y N(t) es el vector normal unitario de la curva definida por r(t).

El componente normal de la aceleración también se denomina componente centrípeto de la aceleración o, a veces, componente radial de la aceleración. Para comprender la aceleración centrípeta, suponga que viaja en un automóvil en una pista circular a una velocidad constante. Luego, como vimos anteriormente, el vector de aceleración apunta hacia el centro de la pista en todo momento. Como conductor del automóvil, siente un tirón hacia el exterior de la pista porque está girando constantemente. Esta sensación actúa en la dirección opuesta de la aceleración centrípeta. Lo mismo es válido para los caminos no circulares. La razón es que su cuerpo tiende a viajar en línea recta y resiste la fuerza resultante de la aceleración que lo empuja hacia un lado. Tenga en cuenta que en el punto B de la figura 10.11_4, el vector de aceleración apunta hacia atrás. Esto se debe a que el automóvil está desacelerando a medida que avanza en la curva.

Figura 10.11_4 Los componentes tangencial y normal de la aceleración pueden usarse para describir el vector de aceleración.

Los vectores unitarios tangenciales y normales en cualquier punto dado de la curva proporcionan un marco de referencia en ese punto. Los componentes tangenciales y normales de la aceleración son las proyecciones del vector de aceleración en T y N, respectivamente.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.11_2. Encontrar componentes de aceleración

Una partícula se mueve en una ruta definida por la función vectorial

dónde t mide el tiempo en segundos y la distancia se mide en pies.
a. Encuentre aT y aN como funciones de t.
b. Encuentre aT y aN en el tiempo t = 2.

Solución:
a. Comencemos con la ecuación del componente tangencial de la aceleración:

Luego aplicamos la ecuación del componente normal de la aceleración:

b. Debemos evaluar cada una de las respuestas de la parte a. en t = 2:

Las unidades de aceleración son pies por segundo al cuadrado, al igual que las unidades de los componentes normales y tangenciales de la aceleración.

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