Tasas de variación relacionadas

Objetivos de aprendizaje

4.1.1 Expresar cantidades cambiantes en términos de derivadas.
4.1.2. Encontrar relaciones entre las derivadas en un problema dado.
4.1.3. Usar la regla de la cadena para encontrar la tasa de cambio de una cantidad que depende de la tasa de cambio de otras cantidades.

Hemos visto que para las cantidades que cambian con el tiempo, las tasas a las que cambian estas cantidades están dadas por derivadas. Si dos cantidades relacionadas cambian con el tiempo, las tasas a las que cambian las cantidades están relacionadas. Por ejemplo, si un globo se está llenando de aire, tanto el radio del globo como el volumen del globo están aumentando. En esta sección, consideramos varios problemas en los que dos o más cantidades relacionadas están cambiando y estudiamos cómo determinar la relación entre las tasas de cambio de estas cantidades.

Configuración de problemas de tasas de variación relacionadas

En muchas aplicaciones del mundo real, las cantidades relacionadas están cambiando con respecto al tiempo. Por ejemplo, si consideramos nuevamente el ejemplo del globo, podemos decir que la tasa de cambio en el volumen, V, está relacionada con la tasa de cambio en el radio, r. En este caso, decimos que dV/dt y dr/dt son tasas relacionadas porque V está relacionado con r. Aquí estudiamos varios ejemplos de cantidades relacionadas que están cambiando con respecto al tiempo y observamos cómo calcular una tasa de cambio dada otra tasa de cambio.

A continuación, describimos la estrategia de resolución de problemas que usaremos para resolver problemas de tasas relacionadas.

Estrategia de resolución de problemas: resolver un problema de tasas de variación relacionadas

  1. Asigne símbolos a todas las variables involucradas en el problema. Dibuje una figura si corresponde.
  2. Indique, en términos de las variables, la información que se proporciona y la tasa a determinar.
  3. Encuentre una ecuación que relacione las variables introducidas en el paso 1.
  4. Usando la regla de la cadena, diferencie ambos lados de la ecuación que se encuentra en el paso 3 con respecto a la variable independiente. Esta nueva ecuación relacionará las derivadas.
  5. Sustituya todos los valores conocidos en la ecuación del paso 4, luego resuelva la tasa de cambio desconocida.

Tenga en cuenta que al resolver un problema de tasas relacionadas, es crucial no sustituir los valores conocidos demasiado pronto. Por ejemplo, si el valor de una cantidad cambiante se sustituye en una ecuación antes de que ambos lados de la ecuación se diferencien, entonces esa cantidad se comportará como una constante y su derivada no aparecerá en la nueva ecuación encontrada en el paso 4.

Ejercicios resueltos

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