| Sucesiones, series infinitas y series de potencias |
Series de potencias
Figura 7.7.1 Si gana la lotería, ¿obtiene más dinero aceptando un pago global o aceptando pagos fijos en el tiempo? (crédito: modificación del trabajo de Robert Huffstutter, Flickr)
Bosquejo del capítulo
7.7 Series de potencias y funciones
7.8 Propiedades de las series de potencias
7.9 Series de Taylor y Maclaurin
7.10 Trabajar con series de Taylor
Al ganar una lotería, a veces una persona tiene la opción de recibir las ganancias en un pago global o recibir pagos más pequeños en intervalos de tiempo fijos. Por ejemplo, podría tener la opción de recibir 20 millones de dólares hoy o recibir 1,5 millones de dólares cada año durante los próximos 20 años. ¿Cuál es la mejor oferta? Ciertamente 1,5 millones de dólares en 20 años equivalen a 30 millones de dólares. Sin embargo, recibir los 20 millones de dólares hoy le permitiría invertir el dinero.
Alternativamente, ¿qué pasaría si se le garantizara recibir 1 millón de dólares cada año de forma indefinida (extendiéndolo a sus herederos) o recibir 20 millones de dólares hoy? ¿Cuál sería el mejor trato? Para responder estas preguntas, necesita saber cómo utilizar series infinitas para calcular el valor de los pagos periódicos a lo largo del tiempo en términos de dólares actuales (consulte el Ejemplo 7.7).
Una serie infinita de la forma 
se conoce como serie de potencias. Dado que los términos contienen la variable x, las series de potencias se pueden utilizar para definir funciones. Se pueden usar para representar funciones dadas, pero también son importantes porque nos permiten escribir funciones que no pueden expresarse de otra manera que no sea como “polinomios infinitos”. Además, las series de potencias se pueden diferenciar e integrar fácilmente, lo que resulta útil para resolver ecuaciones diferenciales e integrar funciones complicadas. Una serie infinita también se puede truncar, lo que da como resultado un polinomio finito que podemos usar para aproximar valores funcionales. Las series de potencia tienen aplicaciones en una variedad de campos, incluidos la física, la química, la biología y la economía. Como veremos en este capítulo, representar funciones usando series de potencias nos permite resolver problemas matemáticos que no se pueden resolver con otras técnicas.
7.7 Series de potencias y funciones
Objetivos de aprendizaje:
7.7.1 Identificar una serie de potencias y proporcionar ejemplos de ellas.
7.7.2 Determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de una serie de potencias.
7.7.3 Usar una serie de potencias para representar una función.
Una serie de potencias es un tipo de serie con términos que involucran una variable. Más específicamente, si la variable es x, entonces todos los términos de la serie involucran potencias de x. Como resultado, una serie de potencias puede considerarse como un polinomio infinito. Las series de potencias se utilizan para representar funciones comunes y también para definir nuevas funciones. En esta sección definimos series de potencias y mostramos cómo determinar cuándo una serie de potencias converge y cuándo diverge. También mostramos cómo representar ciertas funciones usando series de potencias.
Forma de una serie de potencias
Una serie de la forma
donde x es una variable y los coeficientes cn son constantes, se conoce como serie de potencias. La serie
es un ejemplo de una serie de potencias. Dado que esta serie es una serie geométrica con razón r = x, sabemos que converge si |x| < 1 y diverge si |x| ≥ 1.
Definición 7.7.1
Una serie de la forma
(7.7.1)
Es una serie de potencias centrada en x = 0. Una serie de la forma
(7.7.2)
es una serie de potencias centrada en x = a. ♦
Para que esta definición sea precisa, estipulamos que x0= 1 y (x − a)0= 1 incluso cuando x = 0 y x = a, respectivamente. Las series
y
son ambas series de potencias centradas en x = 0. La serie
es una serie de potencias centrada en x = 2.
Convergencia de una serie de potencias
Dado que los términos de una serie de potencias implican una variable x, la serie puede converger para ciertos valores de x y divergir para otros valores de x. Para una serie de potencias centrada en x = a, el valor de la serie en x = a viene dado por c0. Por tanto, una serie de potencias siempre converge en su centro. Algunas series de potencias convergen sólo en ese valor de x. Sin embargo, la mayoría de las series de potencias convergen para más de un valor de x. En ese caso, la serie de potencias converge para todos los números reales x o converge para todos los x en un intervalo finito. Por ejemplo, la serie geométrica 
converge para todo x en el intervalo (−1,1), pero diverge para todo x fuera de ese intervalo. Ahora resumimos estas tres posibilidades para una serie de potencias general.
Teorema 7.7.1 Convergencia de una serie de potencias
Considere la serie de potencias 
. La serie satisface exactamente una de las siguientes propiedades:
- La serie converge en x = a y diverge para todos los x ≠ a.
- La serie converge para todos los números reales x.
- Existe un número real R > 0 tal que la serie converge si |x − a| < R y diverge si |x − a| > R. En los valores x donde |x − a| = R, la serie puede converger o divergir. ♦
Prueba:
Supongamos que la serie de potencias está centrada en a = 0. (Para una serie centrada en un valor de a distinto de cero, el resultado se obtiene considerando y = x − a y considerando la serie 
) Primero debemos probar el siguiente hecho:
Si existe un número real d ≠ 0 tal que 
converge, entonces la serie converge absolutamente para todo x tal que |x| < |d|.
Dado que converge, el n-ésimo término cndn → 0 cuando n → ∞. Por lo tanto, existe un número entero N tal que |cndn| ≤ 1 para todos los n ≥ N. Escribiendo
concluimos que, para todo n ≥ N,
La serie
es una serie geométrica que converge si ∣x/d∣ < 1. Por lo tanto, mediante la prueba de comparación, concluimos que
también converge para |x| < |d|. Como podemos sumar un número finito de términos a una serie convergente, concluimos que 
converge para |x| < |d|.
Con este resultado, ahora podemos demostrar el teorema. Considere la serie
y sea S el conjunto de números reales para los cuales la serie converge. Supongamos que el conjunto S ={0}. Entonces la serie cae en el caso i. Supongamos que el conjunto S es el conjunto de todos los números reales. Entonces la serie cae en el caso ii. Supongamos que S ≠ {0} y S no es el conjunto de los números reales. Entonces existe un número real x* ≠ 0 tal que la serie no converge. Por lo tanto, la serie no puede converger para ningún x tal que |x| > |x*|. Por lo tanto, el conjunto S debe ser un conjunto acotado, lo que significa que debe tener un límite superior mínimo. (Este hecho se deriva de la propiedad del límite superior mínimo para los números reales, que está más allá del alcance de este texto y se trata en cursos de análisis real). Llame a ese límite superior más pequeño R. Dado que S ≠ {0}, el número R > 0. Por lo tanto, la serie converge para todo x tal que |x| < R, y la serie cae en el caso iii. ♦
Si una serie 
cae en el caso iii. de Convergencia de una Serie de Potencias, entonces la serie converge para todo x tal que |x − a| < R para algún R > 0, y diverge para todo x tal que |x − a| > R. La serie puede converger o divergir en los valores x donde |x − a| = R. El conjunto de valores x para los cuales la serie converge se conoce como intervalo de convergencia. Dado que la serie diverge para todos los valores x donde |x − a| > R, la longitud del intervalo de convergencia es 2R y, por lo tanto, el radio del intervalo es R. El valor de R se llama radio de convergencia. Por ejemplo, dado que la serie converge para todos los valores x en el intervalo (−1,1) y diverge para todos los valores x tales que |x| ≥ 1, el intervalo de convergencia de esta serie es (−1,1). Como la longitud del intervalo es 2, el radio de convergencia es 1.
Definición 7.7.2
Considere la serie de potencias . El conjunto de números reales x donde converge la serie es el intervalo de convergencia. Si existe un número real R > 0 tal que la serie converge para |x − a| < R y diverge para |x − a| > R, entonces R es el radio de convergencia. Si la serie converge sólo en x = a, decimos que el radio de convergencia es R = 0. Si la serie converge para todos los números reales x, decimos que el radio de convergencia es R = ∞ (Figura 7.7.2).
(Figura 7.7.2 para una serie el gráfico (a) muestra un radio de convergencia en R = 0, el gráfico (b) muestra un radio de convergencia en R = ∞ y el gráfico (c) muestra un radio de convergencia en R. Para el gráfico (c), observamos que las series pueden converger o no en los puntos finales x = a + R y x = a − R.)
Ejemplo ilustrativo 7.7.1 Encontrar el intervalo y el radio de convergencia
Para cada una de las siguientes series, encuentre el intervalo y el radio de convergencia.
Solución:
a. Para verificar la convergencia, aplicamos la prueba de razón. Tenemos
para todos los valores de x. Por lo tanto, la serie converge para todos los números reales x. El intervalo de convergencia es (−∞,∞) y el radio de convergencia es R = ∞.