| 10. Cálculo vectorial – Vectores en el espacio | Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.4 |

10.4 EL PRODUCTO CRUZ: Objetivos de aprendizaje

10.4.1 Calcular el producto cruz de dos vectores dados.
10.4.2 Usar determinantes para calcular un producto cruz.
10.4.3 Encontrar un vector ortogonal a dos vectores dados.
10.4.4 Determinar áreas y volúmenes utilizando el producto cruz.
10.4.5 Calcular el torque dada la fuerza y el vector de posición.

       Imagina un mecánico que gira una llave para apretar un tornillo. El mecánico aplica una fuerza en el extremo de la llave. Esto crea una rotación, o torque, que aprieta el tornillo. Podemos usar vectores para representar la fuerza aplicada por el mecánico y la distancia (radio) desde el tornillo hasta el extremo de la llave. Luego, podemos representar el torque mediante un vector orientado a lo largo del eje de rotación. Observa que el vector de torque es ortogonal tanto al vector de fuerza como al vector de radio.

En esta sección, desarrollamos una operación llamada producto cruz, que nos permite encontrar un vector ortogonal a dos vectores dados. Calcular el torque es una aplicación importante del producto cruz, y examinaremos el torque con más detalle más adelante en la sección.

El producto cruz y sus propiedades

El producto punto es una multiplicación de dos vectores que da como resultado un escalar. En esta sección, presentamos un producto de dos vectores que genera un tercer vector ortogonal a los dos primeros. Considere cómo podríamos encontrar ese vector. Deje que u = ⟨u₁, u₂, u₃⟩ y v = ⟨v₁, v₂, v₃⟩ sean vectores distintos de cero. Queremos encontrar un vector w = ⟨w₁, w₂, w₃⟩ ortogonal a u y v, es decir, queremos encontrar w tal que u⋅w = 0 y v⋅w = 0. Por lo tanto, w₁, w₂ y w₃ deben satisfacer

u₁ w₁ + u₂ w₂ + u₃ w₃ = 0

v₁ w₁ + v₂ w₂ + v₃ w₃ = 0. 

Si multiplicamos la ecuación superior por v₃ y la ecuación inferior por u₃ y restamos, podemos eliminar la variable w₃, esto es

(u₁ v₃ − v₁ u₃) w₁ + (u₂ v₃ − v₂ u₃) w₂ = 0. 

Si seleccionamos

w₁ = u₂ v₃ − u₃ v₂

w₂ =− (u₁ v₃ − u₃ v₁), 

obtenemos un posible vector solución. Sustituir estos valores nuevamente en las ecuaciones originales da

w₃ = u₁ v₂ − u₂ v₁. 

Es decir, el vector

w = ⟨u₂ v₃ − u₃ v₂, − (u₁ v₃ − u₃ v₁), u₁ v₂ − u₂ v₁⟩ 

es ortogonal a u y v, lo que nos lleva a definir la siguiente operación, llamada producto cruz.

Definición. Producto cruz

Sean \(\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle\) y \(\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle\). Entonces, el producto cruz \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) es el vector

♦

Por la forma en que hemos desarrollado u × v, debe quedar claro que el producto cruz es ortogonal tanto para u como para v. Sin embargo, nunca está de más comprobarlo. Para mostrar que u × v es ortogonal a u, calculamos el producto escalar de u y u × v.

De manera similar, podemos mostrar que el producto cruz también es ortogonal a v.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_1. Encontrar un producto cruz 

Sea p = ⟨−1, 2, 5⟩ y q = ⟨4, 0, −3⟩ (Figura 10.4_1). Encuentra p × q.

Figura 10.4_1 Encontrar el producto cruz para dos vectores dados.

Solución:

Sustituya los componentes de los vectores en la ecuación del producto cruz:

♦

Ejercicio de control 10.4.1

Encuentre \(\mathbf{p} \times \mathbf{q}\) para \(\mathbf{p} = \langle 5, 1, 2 \rangle\) y \(\mathbf{q} = \langle -2, 0, 1 \rangle\). Exprese la respuesta utilizando vectores unitarios estándar. ♦

Aunque puede no ser obvio en la ecuación del producto cruz, la dirección de u × v viene dada por la regla de la derecha. Si levantamos la mano derecha con los dedos apuntando en la dirección de u, luego doblamos los dedos hacia el vector v, el pulgar apunta en la dirección del producto cruz, como se muestra en la siguiente figura:

Observe lo que esto significa para la dirección de v × u. Si aplicamos la regla de la mano derecha a v × u, comenzamos con nuestros dedos apuntando en la dirección de v, luego doblamos nuestros dedos hacia el vector u. En este caso, el pulgar apunta en la dirección opuesta de u × v. (¡Inténtalo!)

Esto muestra que \[ \mathbf{v}\times\mathbf{u} = -(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) \] es decir, invertir el orden de los vectores cambia la dirección del producto cruz, produciendo el vector opuesto.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_2. Anticonmutatividad del producto cruz

Sea u = ⟨0, 2, 1⟩ y v = ⟨3, −1, 0⟩. Calcule u × v y v × u y grafíquelos.

Solución:
Tenemos

Vemos que, en este caso, u × v = – (v × u) (Figura 10.4_4). Probamos esto en general más adelante en esta sección. ♦

Ejercicio de control 10.4.2

Supongamos que los vectores u y v se encuentran en el plano xy (la componente z de cada vector es cero). Ahora supongamos que las componentes x e y de u y la componente y de v son todas positivas, mientras que la componente x de v es negativa. Asumiendo que los ejes coordenados están orientados en las posiciones habituales, ¿en qué dirección apunta u × v? ♦

        Los productos cruz de los vectores unitarios estándar i, j y k pueden ser útiles para simplificar algunos cálculos, así que consideremos estos productos cruz. Una aplicación directa de la definición muestra que

Además, debido a que el producto cruz de dos vectores es ortogonal a cada uno de estos vectores, sabemos que el producto cruz de i y j es paralelo a k. Del mismo modo, el producto vectorial de i y k es paralelo a j, y el producto vectorial de j y k es paralelo a i. Podemos usar la regla de la mano derecha para determinar la dirección de cada producto. Entonces tenemos

Estas fórmulas son útiles más tarde.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_3. Producto cruz de los vectores unitarios estándar.

Encuentre i × (j × k).

Solución:

Sabemos que j × k = i. Por lo tanto, i × (j × k) = i × i = 0. ♦

Ejercicio de control 10.4.3

Halle (𝐢 × 𝐣) × (𝐤 × 𝐢). ♦

       Como hemos visto, el producto punto a menudo se llama producto escalar porque da como resultado un escalar. El producto cruz da como resultado un vector, por lo que a veces se denomina producto vectorial. Estas operaciones son versiones de multiplicación de vectores, pero tienen propiedades y aplicaciones muy diferentes. Exploremos algunas propiedades del producto cruz. Probamos solo algunas de ellas. Las pruebas de las otras propiedades se dejan como ejercicios.

TEOREMA 10.4_1. Propiedades del producto cruz

Supongamos que u, v y w son vectores en el espacio, y que c es un escalar.

i.	u × v = −(v × u)	Propiedad anticonmutativa
ii.	u × (v + w) = u × v + u × w	Propiedad distributiva
iii.	c(u × v) = (cu) × v = u × (cv)	Multiplicación por una constante
iv.	u × 0 = 0 × u = 0	Producto cruz del vector cero
v.	v × v = 0	Producto cruz de un vector consigo mismo
vi.	u · (v × w) = (u × v) · w	Producto triple escalar

Demostración

Para la propiedad i., queremos mostrar que \( \mathbf{u}\times\mathbf{v} = -(\mathbf{v}\times\mathbf{u}) \). Tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbf{u}\times\mathbf{v} &= \langle u_1,u_2,u_3\rangle \times \langle v_1,v_2,v_3\rangle \\ &= \langle u_2v_3-u_3v_2,\,-u_1v_3+u_3v_1,\,u_1v_2-u_2v_1\rangle \\ &= -\langle v_3u_2-v_2u_3,\,-v_3u_1+v_1u_3,\,v_2u_1-v_1u_2\rangle \\ &= -\langle v_1,v_2,v_3\rangle \times \langle u_1,u_2,u_3\rangle \\ &= -(\mathbf{v}\times\mathbf{u}). \end{aligned} \]

A diferencia de la mayoría de las operaciones que hemos visto, el producto cruz no es conmutativo. Esto tiene sentido si pensamos en la regla de la mano derecha.

Para la propiedad iv., esto se sigue directamente de la definición del producto cruz. Tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbf{u}\times\mathbf{0} &= \langle u_2(0)-u_3(0),\,-(u_2(0)-u_3(0)),\,u_1(0)-u_2(0)\rangle \\ &= \langle 0,0,0\rangle = \mathbf{0}. \end{aligned} \]

Entonces, por la propiedad i., \( \mathbf{0}\times\mathbf{u} = \mathbf{0} \) también. Recuerde que el producto punto de un vector con el vector cero es el escalar \(0\), mientras que el producto cruz de un vector con el vector cero es el vector \( \mathbf{0} \).

La propiedad vi. parece la propiedad asociativa, pero observe el cambio en las operaciones:

\[ \begin{aligned} \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) &= \mathbf{u}\cdot \langle v_2w_3-v_3w_2,\,-v_1w_3+v_3w_1,\,v_1w_2-v_2w_1\rangle \\ &= u_1(v_2w_3-v_3w_2)+u_2(-v_1w_3+v_3w_1)+u_3(v_1w_2-v_2w_1) \\ &= u_1v_2w_3-u_1v_3w_2-u_2v_1w_3+u_2v_3w_1+u_3v_1w_2-u_3v_2w_1 \\ &= (u_2v_3-u_3v_2)w_1+(u_3v_1-u_1v_3)w_2+(u_1v_2-u_2v_1)w_3 \\ &= \langle u_2v_3-u_3v_2,\,u_3v_1-u_1v_3,\,u_1v_2-u_2v_1\rangle \cdot \langle w_1,w_2,w_3\rangle \\ &= (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}. \end{aligned} \]

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_4. Uso de las propiedades del producto cruz

Use las propiedades del producto cruz para calcular \[ (2\mathbf{i}\times 3\mathbf{j})\times \mathbf{j}. \]

Solución

\[ \begin{aligned} (2\mathbf{i}\times 3\mathbf{j})\times \mathbf{j} &=2(\mathbf{i}\times 3\mathbf{j})\times \mathbf{j}\\ &=2(3)(\mathbf{i}\times \mathbf{j})\times \mathbf{j}\\ &=(6\mathbf{k})\times \mathbf{j}\\ &=6(\mathbf{k}\times \mathbf{j})\\ &=6(-\mathbf{i})\\ &=-6\mathbf{i}. \end{aligned} \]

Ejercicio de control 10.4.4

Use las propiedades del producto cruz para calcular \[ (\mathbf{i}\times \mathbf{k})\times(\mathbf{k}\times \mathbf{j}). \]

Hasta ahora, en esta sección nos hemos ocupado de la dirección del vector \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\), pero no hemos analizado su magnitud. Resulta que existe una expresión sencilla para la magnitud de \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\), que involucra las magnitudes de \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\), y el seno del ángulo entre ellos.

TEOREMA 10.4_2. Magnitud del producto cruz

Sean \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) vectores, y sea \(\theta\) el ángulo entre ellos. Entonces,

\[ \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|\cdot\|\mathbf{v}\|\cdot\sin\theta. \]

Demostración

Sean \(\mathbf{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle\) y \(\mathbf{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle\) vectores, y sea \(\theta\) el ángulo entre ellos. Entonces

\[ \begin{aligned} \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|^2 &=(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2\\[4pt] &=u_2^2v_3^2-2u_2u_3v_2v_3+u_3^2v_2^2 +u_3^2v_1^2-2u_1u_3v_1v_3+u_1^2v_3^2\\ &\quad +u_1^2v_2^2-2u_1u_2v_1v_2+u_2^2v_1^2\\[4pt] &=u_1^2v_1^2+u_1^2v_2^2+u_1^2v_3^2 +u_2^2v_1^2+u_2^2v_2^2+u_2^2v_3^2\\ &\quad +u_3^2v_1^2+u_3^2v_2^2+u_3^2v_3^2\\ &\quad -(u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+u_3^2v_3^2 +2u_1u_2v_1v_2+2u_1u_3v_1v_3+2u_2u_3v_2v_3)\\[4pt] &=(u_1^2+u_2^2+u_3^2)(v_1^2+v_2^2+v_3^2)-(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)^2\\[6pt] &=\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2\\[6pt] &=\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2-\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2\cos^2\theta\\[6pt] &=\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2(1-\cos^2\theta)\\[6pt] &=\|\mathbf{u}\|^2\|\mathbf{v}\|^2(\sin^2\theta). \end{aligned} \]

Tomando raíces cuadradas y observando que \(\sqrt{\sin^2\theta}=\sin\theta\) para \(0\le\theta\le180^\circ\), obtenemos el resultado deseado:

\[ \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\sin\theta. \]

Esta definición del producto cruz nos permite visualizar o interpretar el producto geométricamente. Por ejemplo, queda claro que el producto cruz está definido únicamente para vectores en tres dimensiones, y no para vectores en dos dimensiones. En dos dimensiones, es imposible generar un vector que sea simultáneamente ortogonal a dos vectores no paralelos.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_5. Cálculo del producto cruz

Use las Propiedades del producto cruz para encontrar la magnitud del producto cruz de \(\mathbf{u}=\langle 0,4,0\rangle\) y \(\mathbf{v}=\langle 0,0,-3\rangle\).

Solución

Tenemos

\[ \begin{aligned} \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| &=\|\mathbf{u}\|\cdot\|\mathbf{v}\|\cdot\sin\theta\\[4pt] &=\sqrt{0^2+4^2+0^2}\cdot\sqrt{0^2+0^2+(-3)^2}\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\\[6pt] &=4(3)(1)\\[4pt] &=12. \end{aligned} \]

Ejercicio de control 10.4.5

Use las Propiedades del producto cruz para encontrar la magnitud de \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\), donde \(\mathbf{u}=\langle -8,0,0\rangle\) y \(\mathbf{v}=\langle 0,2,0\rangle\).

Usar la Definición del producto cruz para encontrar el producto cruz de dos vectores es directo, y presenta el producto cruz en una forma útil por componentes. Sin embargo, la fórmula es complicada y difícil de recordar. Afortunadamente, tenemos una alternativa. Podemos calcular el producto cruz de dos vectores usando la notación de determinante.

Un determinante \(2\times 2\) se define como

\[ \begin{vmatrix} a_1 & a_2\\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 -\, b_1a_2. \]

Por ejemplo,

\[ \begin{vmatrix} 3 & -2\\ 5 & 1 \end{vmatrix} =3(1)-5(-2)=3+10=13. \]

Un determinante \(3\times 3\) se define en términos de determinantes \(2\times 2\) como sigue:

\[ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 \begin{vmatrix} b_2 & b_3\\ c_2 & c_3 \end{vmatrix} – a_2 \begin{vmatrix} b_1 & b_3\\ c_1 & c_3 \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} b_1 & b_2\\ c_1 & c_2 \end{vmatrix}. \]

La ecuación anterior se conoce como la expansión del determinante por la primera fila. Observe que los coeficientes de cada uno de los determinantes \(2\times 2\) en el lado derecho de esta expresión son las entradas de la primera fila del determinante \(3\times 3\).

Además, cada uno de los determinantes \(2\times 2\) contiene las entradas del determinante \(3\times 3\) que permanecen al tachar la fila y la columna que contienen el coeficiente.

Así, para el primer término del lado derecho, \(a_1\) es el coeficiente, y el determinante \(2\times 2\) contiene las entradas que quedan al tachar la primera fila y la primera columna del determinante \(3\times 3\).

De manera similar, para el segundo término, el coeficiente es \(a_2\), y el determinante \(2\times 2\) contiene las entradas que permanecen al tachar la primera fila y la segunda columna del determinante \(3\times 3\).

Observe, sin embargo, que el coeficiente del segundo término es negativo. El tercer término se puede calcular de manera análoga.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_6. Uso de la expansión por la primera fila para calcular un determinante 3×3

Evalúe el determinante \[ \begin{vmatrix} 2 & 5 & -1\\ -1 & 1 & 3\\ -2 & 3 & 4 \end{vmatrix}. \]

Solución

Tenemos

\[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 5 & -1\\ -1 & 1 & 3\\ -2 & 3 & 4 \end{vmatrix} &=2 \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 3 & 4 \end{vmatrix} -5 \begin{vmatrix} -1 & 3\\ -2 & 4 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} -1 & 1\\ -2 & 3 \end{vmatrix}\\[6pt] &=2(4-9)-5(-4+6)-1(-3+2)\\[6pt] &=2(-5)-5(2)-1(-1)\\[6pt] &=-10-10+1\\[4pt] &=-19. \end{aligned} \]

Ejercicio de control 10.4.6

Evalúe el determinante \[ \begin{vmatrix} 1 & -2 & -1\\ 3 & 2 & -3\\ 1 & 5 & 4 \end{vmatrix}. \]

Técnicamente, los determinantes se definen únicamente en términos de arreglos de números reales. Sin embargo, la notación de determinante proporciona un recurso mnemotécnico útil para la fórmula del producto cruz.

Regla: Cálculo del producto cruz mediante un determinante

Sean \(\mathbf{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle\) y \(\mathbf{v}=\langle v_1,v_2,v_3\rangle\) vectores. Entonces, el producto cruz \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\) está dado por

\[ \begin{aligned} \mathbf{u}\times\mathbf{v} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}\\[8pt] &= \begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\mathbf{i} \,- \begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\mathbf{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\mathbf{k}. \end{aligned} \]

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_7. Uso de la notación de determinante para calcular p×q

Sean \(\mathbf{p}=\langle -1,2,5\rangle\) y \(\mathbf{q}=\langle 4,0,-3\rangle\). Halle \(\mathbf{p}\times\mathbf{q}\).

Solución

Construimos el determinante colocando los vectores unitarios estándar en la primera fila, las componentes de \(\mathbf{p}\) en la segunda fila y las componentes de \(\mathbf{q}\) en la tercera fila. Entonces, tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbf{p}\times\mathbf{q} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ -1 & 2 & 5\\ 4 & 0 & -3 \end{vmatrix}\\[6pt] &= \begin{vmatrix} 2 & 5\\ 0 & -3 \end{vmatrix}\mathbf{i} – \begin{vmatrix} -1 & 5\\ 4 & -3 \end{vmatrix}\mathbf{j} + \begin{vmatrix} -1 & 2\\ 4 & 0 \end{vmatrix}\mathbf{k}\\[6pt] &=(-6-0)\mathbf{i}-(3-20)\mathbf{j}+(0-8)\mathbf{k}\\[6pt] &=-6\mathbf{i}+17\mathbf{j}-8\mathbf{k}. \end{aligned} \]

Observe que esta respuesta confirma el cálculo del producto cruz en el Ejemplo 10.4.1.

Ejercicio de control 10.4.7

Use la notación de determinante para hallar \(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\), donde \(\mathbf{a}=\langle 8,2,3\rangle\) y \(\mathbf{b}=\langle -1,0,4\rangle\).

Uso del producto cruz

El producto cruz es muy útil para varios tipos de cálculos, incluyendo encontrar un vector ortogonal a dos vectores dados, calcular áreas de triángulos y paralelogramos, e incluso determinar el volumen de la figura geométrica tridimensional formada por paralelogramos conocida como paralelepípedo. Los siguientes ejemplos ilustran estos cálculos.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_8. Encontrar un vector unitario ortogonal a dos vectores dados

Sean \(\mathbf{a}=\langle 5,2,-1\rangle\) y \(\mathbf{b}=\langle 0,-1,4\rangle\). Halle un vector unitario ortogonal tanto a \(\mathbf{a}\) como a \(\mathbf{b}\).

Solución

El producto cruz \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) es ortogonal tanto a \(\mathbf{a}\) como a \(\mathbf{b}\). Podemos calcularlo mediante un determinante:

\[ \begin{aligned} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} \mathbf{i} – \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} \mathbf{j} + \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \mathbf{k} \\ &= (8 – 1)\mathbf{i} – (20 – 0)\mathbf{j} + (-5 – 0)\mathbf{k} \\ &= 7\mathbf{i} – 20\mathbf{j} – 5\mathbf{k}. \end{aligned} \]

Normalizamos este vector para encontrar un vector unitario en la misma dirección:

\[\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \sqrt{(7)^2 + (-20)^2 + (-5)^2} = \sqrt{474}.\]

Por lo tanto, \(\left\langle \frac{7}{\sqrt{474}}, \frac{-20}{\sqrt{474}}, \frac{-5}{\sqrt{474}} \right\rangle\) es un vector unitario ortogonal a \(\mathbf{a}\) y \(\mathbf{b}\).

Ejercicio de control 10.4.8

Halle un vector unitario ortogonal tanto a \(\mathbf{a}\) como a \(\mathbf{b}\), donde \(\mathbf{a}=\langle 4,0,3\rangle\) y \(\mathbf{b}=\langle 1,1,4\rangle\).

      Para utilizar el producto cruz en el cálculo de áreas, enunciamos y demostramos el siguiente teorema.

TEOREMA 10.4_3. Área de un paralelogramo

Si ubicamos los vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) de tal manera que formen lados adyacentes de un paralelogramo, entonces el área del paralelogramo viene dada por \(\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|\).

Figura 10.4.5 El paralelogramo con lados adyacentes \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) tiene base \(\|\mathbf{u}\|\) y altura \(\|\mathbf{v}\| \sin \theta\).

Demostración

Mostramos que la magnitud del producto cruz es igual a la base por la altura del paralelogramo.

\[ \begin{aligned} \text{Área de un paralelogramo} &= \text{base} \times \text{altura} \\ &= \|\mathbf{u}\| (\|\mathbf{v}\| \sin \theta) \\ &= \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| \end{aligned} \]

□

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_9. Cálculo del área de un triángulo

Sean \(P = (1, 0, 0)\), \(Q = (0, 1, 0)\) y \(R = (0, 0, 1)\) los vértices de un triángulo (Figura 10.4.6). Halle su área.

Solución

Tenemos \(\overrightarrow{PQ} = \langle 0 – 1, 1 – 0, 0 – 0 \rangle = \langle -1, 1, 0 \rangle\) y \(\overrightarrow{PR} = \langle 0 – 1, 0 – 0, 1 – 0 \rangle = \langle -1, 0, 1 \rangle\). El área del paralelogramo con lados adyacentes \(\overrightarrow{PQ}\) y \(\overrightarrow{PR}\) viene dada por \(\|\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}\|\):

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 – 0)\mathbf{i} – (-1 – 0)\mathbf{j} + (0 – (-1))\mathbf{k} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} \\ \|\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}\| &= \|\langle 1, 1, 1 \rangle\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}. \end{aligned} \]

El área del \(\triangle PQR\) es la mitad del área del paralelogramo, es decir, \(\sqrt{3}/2\).

Ejercicio de control 10.4.9

Halle el área del paralelogramo \(PQRS\) con vértices \(P(1, 1, 0)\), \(Q(7, 1, 0)\), \(R(9, 4, 2)\) y \(S(3, 4, 2)\).

El triple producto escalar

Debido a que el producto cruz de dos vectores es un vector, es posible combinar el producto punto y el producto cruz. El producto punto de un vector con el producto cruz de otros dos vectores se llama triple producto escalar porque el resultado es un escalar.

Definición

El triple producto escalar de los vectores \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\) es \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})\).

TEOREMA 10.4_4. Cálculo de un triple producto escalar

El triple producto escalar de los vectores \(\mathbf{u} = u_1\mathbf{i} + u_2\mathbf{j} + u_3\mathbf{k}\), \(\mathbf{v} = v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k}\) y \(\mathbf{w} = w_1\mathbf{i} + w_2\mathbf{j} + w_3\mathbf{k}\) es el determinante de la matriz \(3 \times 3\) formada por las componentes de los vectores:

\[\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}.\]

Demostración

El cálculo es directo.

\[ \begin{aligned} \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) &= \langle u_1, u_2, u_3 \rangle \cdot \langle v_2w_3 – v_3w_2, -v_1w_3 + v_3w_1, v_1w_2 – v_2w_1 \rangle \\ &= u_1(v_2w_3 – v_3w_2) + u_2(-v_1w_3 + v_3w_1) + u_3(v_1w_2 – v_2w_1) \\ &= u_1(v_2w_3 – v_3w_2) – u_2(v_1w_3 – v_3w_1) + u_3(v_1w_2 – v_2w_1) \\ &= \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} \end{aligned} \]

□

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_10. Cálculo del triple producto escalar

Sean \(\mathbf{u} = \langle 1, 3, 5 \rangle\), \(\mathbf{v} = \langle 2, -1, 0 \rangle\) y \(\mathbf{w} = \langle -3, 0, -1 \rangle\). Calcule el triple producto escalar \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})\).

Solución

Aplique directamente el método de Cálculo de un triple producto escalar:

\[ \begin{aligned} \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) &= \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 0 & -1 \end{vmatrix} \\ &= 1 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} – 3 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} \\ &= (1 – 0) – 3(-2 – 0) + 5(0 – 3) \\ &= 1 + 6 – 15 = -8. \end{aligned} \]

Ejercicio de control 10.4.10

Calcule el triple producto escalar \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\), donde \(\mathbf{a} = \langle 2, -4, 1 \rangle\), \(\mathbf{b} = \langle 0, 3, -1 \rangle\) y \(\mathbf{c} = \langle 5, -3, 3 \rangle\).

Cuando creamos una matriz a partir de tres vectores, debemos tener cuidado con el orden en que los enumeramos. Si los enumeramos en una matriz en un orden y luego reordenamos las filas, el valor absoluto del determinante permanece inalterado. Sin embargo, cada vez que dos filas cambian de lugar, el determinante cambia de signo:

\[ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = d, \quad \begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = -d, \quad \begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} = d, \quad \begin{vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} = -d. \]

Verificar este hecho es directo, aunque algo laborioso. Veamos esto con un ejemplo:

\[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & -1 \end{vmatrix} &= 1 \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} – 2 \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \\ &= (0 – 3) – 2(2 – 12) + (-2 – 0) = -3 + 20 – 2 = 15. \end{aligned} \]

Cambiando las dos primeras filas tenemos:

\[ \begin{vmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -2(-2 – 1) + 3(1 – 8) = 6 – 21 = -15. \]

Reordenar los vectores en los productos triples es equivalente a reordenar las filas en la matriz del determinante. Sean \(\mathbf{u} = u_1\mathbf{i} + u_2\mathbf{j} + u_3\mathbf{k}\), \(\mathbf{v} = v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k}\) y \(\mathbf{w} = w_1\mathbf{i} + w_2\mathbf{j} + w_3\mathbf{k}\). Aplicando el Cálculo de un triple producto escalar, tenemos:

\[ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} \quad \text{y} \quad \mathbf{u} \cdot (\mathbf{w} \times \mathbf{v}) = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}. \]

Podemos obtener el determinante para calcular \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{w} \times \mathbf{v})\) intercambiando las dos últimas filas de \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})\). Por lo tanto, \(\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = -\mathbf{u} \cdot (\mathbf{w} \times \mathbf{v})\).

Siguiendo este razonamiento y explorando las diferentes formas en que podemos intercambiar variables en el triple producto escalar, se llega a las siguientes identidades:

\[ \begin{aligned} \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) &= -\mathbf{u} \cdot (\mathbf{w} \times \mathbf{v}) \\ \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) &= \mathbf{v} \cdot (\mathbf{w} \times \mathbf{u}) = \mathbf{w} \cdot (\mathbf{u} \times \mathbf{v}). \end{aligned} \]

Sean \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) dos vectores en posición estándar. Si \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) no son múltiplos escalares entre sí, entonces estos vectores forman lados adyacentes de un paralelogramo. Vimos en el Área de un paralelogramo que el área de este paralelogramo es \(\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|\). Ahora supongamos que añadimos un tercer vector \(\mathbf{w}\) que no se encuentra en el mismo plano que \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\), pero que comparte el mismo punto inicial. Entonces estos vectores forman tres aristas de un paralelepípedo, un prisma tridimensional con seis caras que son paralelogramos, como se muestra en la Figura 10.4.7. El volumen de este prisma es el producto de la altura de la figura y el área de su base. El triple producto escalar de \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\) proporciona un método sencillo para calcular el volumen del paralelepípedo definido por estos vectores.

TEOREMA 10.4_5. Volumen de un paralelepípedo

El volumen de un paralelepípedo con aristas adyacentes dadas por los vectores \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\) es el valor absoluto del triple producto escalar:

\[V = |\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})|.\]

Ver Figura 10.4.7.

Nota: observe que, como su nombre indica, el triple producto escalar produce un escalar. La fórmula del volumen recién presentada utiliza el valor absoluto de una cantidad escalar.

Figura 10.4.7 La altura del paralelepípedo viene dada por \(\|\text{proy}_{\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \mathbf{u}\|\).

Demostración

El área de la base del paralelepípedo viene dada por \(\|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\|\). La altura de la figura viene dada por \(\|\text{proy}_{\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \mathbf{u}\|\). El volumen del paralelepípedo es el producto de la altura y el área de la base, por lo que tenemos

\[ \begin{aligned} V &= \|\text{proy}_{\mathbf{v} \times \mathbf{w}} \mathbf{u}\| \|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\| \\ &= \left| \frac{\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})}{\|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\|} \right| \|\mathbf{v} \times \mathbf{w}\| \\ &= |\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})|. \end{aligned} \]

□

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_11. Cálculo del volumen de un paralelepípedo

Sean \(\mathbf{u} = \langle -1, -2, 1 \rangle\), \(\mathbf{v} = \langle 4, 3, 2 \rangle\) y \(\mathbf{w} = \langle 0, -5, -2 \rangle\). Halle el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\) (Figura 10.4.8).

Solución

Tenemos

\[ \begin{aligned} \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) &= \begin{vmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 0 & -5 & -2 \end{vmatrix} = (-1) \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -5 & -2 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} \\ &= (-1)(-6 + 10) + 2(-8 – 0) + (-20 – 0) \\ &= -4 – 16 – 20 \\ &= -40. \end{aligned} \]

Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo es \(|-40| = 40\) unidades\(^3\).

Ejercicio de control 10.4.11

Halle el volumen del paralelepípedo formado por los vectores \(\mathbf{a} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} – \mathbf{k}\), \(\mathbf{b} = 2\mathbf{i} – \mathbf{j} – \mathbf{k}\) y \(\mathbf{c} = 3\mathbf{j} + \mathbf{k}\).

Aplicaciones del producto cruz

El producto cruz aparece en muchas aplicaciones prácticas en matemáticas, física e ingeniería. Examinemos algunas de estas aplicaciones aquí, incluyendo la idea de torque (momento de fuerza), con la que comenzamos esta sección. Otras aplicaciones aparecerán en capítulos posteriores, particularmente en nuestro estudio de campos vectoriales, como los campos gravitatorios y electromagnéticos (Introducción al Cálculo Vectorial).

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_12. Uso del triple producto escalar

Utilice el triple producto escalar para demostrar que los vectores \(\mathbf{u} = \langle 2, 0, 5 \rangle\), \(\mathbf{v} = \langle 2, 2, 4 \rangle\) y \(\mathbf{w} = \langle 1, -1, 3 \rangle\) son coplanares —es decir, demuestre que estos vectores se encuentran en el mismo plano.

Solución

Comience calculando el triple producto escalar para hallar el volumen del paralelepípedo definido por \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) y \(\mathbf{w}\):

\[ \begin{aligned} \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) &= \begin{vmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 2 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} \\ &= [2(2)(3) + (0)(4)(1) + 5(2)(-1)] – [5(2)(1) + (2)(4)(-1) + (0)(2)(3)] \\ &= 2 – 2 \\ &= 0. \end{aligned} \]

El volumen del paralelepípedo es \(0\) unidades\(^3\), por lo que una de las dimensiones debe ser cero. Por lo tanto, los tres vectores se encuentran todos en el mismo plano.

Ejercicio de control 10.4.12

¿Son coplanares los vectores \(\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j} – \mathbf{k}\), \(\mathbf{b} = \mathbf{i} – \mathbf{j} + \mathbf{k}\) y \(\mathbf{c} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}\)?

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_13. Cálculo de un vector ortogonal

Solo un plano puede pasar a través de cualquier conjunto de tres puntos no colineales. Halle un vector ortogonal al plano que contiene los puntos \(P = (9, -3, -2)\), \(Q = (1, 3, 0)\) y \(R = (-2, 5, 0)\).

Solución

El plano debe contener a los vectores \(\overrightarrow{PQ}\) y \(\overrightarrow{QR}\):

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \langle 1 – 9, 3 – (-3), 0 – (-2) \rangle = \langle -8, 6, 2 \rangle \\ \overrightarrow{QR} &= \langle -2 – 1, 5 – 3, 0 – 0 \rangle = \langle -3, 2, 0 \rangle. \end{aligned} \]

El producto cruz \(\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{QR}\) produce un vector ortogonal tanto a \(\overrightarrow{PQ}\) como a \(\overrightarrow{QR}\). Por lo tanto, el producto cruz es ortogonal al plano que contiene a estos dos vectores:

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{QR} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -8 & 6 & 2 \\ -3 & 2 & 0 \end{vmatrix} \\ &= 0\mathbf{i} – 6\mathbf{j} – 16\mathbf{k} – (-18\mathbf{k} + 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j}) \\ &= -4\mathbf{i} – 6\mathbf{j} + 2\mathbf{k}. \end{aligned} \]

        Hemos visto cómo usar el triple producto escalar y cómo hallar un vector ortogonal a un plano. Ahora aplicaremos el producto cruz a situaciones del mundo real.

A veces, una fuerza hace que un objeto gire. Por ejemplo, girar un destornillador o una llave inglesa crea este tipo de efecto rotacional, llamado torque (o momento de fuerza).

Definición

El Torque, \(\tau\) (la letra griega tau), mide la tendencia de una fuerza a producir rotación alrededor de un eje de rotación. Sea \(\mathbf{r}\) un vector con un punto inicial situado en el eje de rotación y con un punto terminal situado en el punto donde se aplica la fuerza, y sea el vector \(\mathbf{F}\) el que representa la fuerza. Entonces, el torque es igual al producto cruz de \(\mathbf{r}\) y \(\mathbf{F}\):

\[ \tau = \mathbf{r} \times \mathbf{F}. \]

Consulte la Figura 10.4.8.

Piense en el uso de una llave inglesa para apretar un perno. El torque \(\tau\) aplicado al perno depende de con qué fuerza empujamos la llave (fuerza) y a qué distancia del mango aplicamos la fuerza (distancia). El torque aumenta con una fuerza mayor sobre la llave a una mayor distancia del perno. Las unidades comunes de torque son el newton-metro o la libra-pie. Aunque el torque es dimensionalmente equivalente al trabajo (tiene las mismas unidades), los dos conceptos son distintos. El torque se utiliza específicamente en el contexto de la rotación, mientras que el trabajo normalmente implica movimiento a lo largo de una recta.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.4_14. Evaluación del torque

Un perno se aprieta aplicando una fuerza de 6 N a una llave de 0.15 m (Figura 10.4.10). El ángulo entre la llave y el vector de fuerza es de 40°. Halle la magnitud del torque con respecto al centro del perno. Redondee la respuesta a dos decimales.

Solución

Sustituya la información proporcionada en la ecuación que define el torque:

\[ \|\tau\| = \|\mathbf{r} \times \mathbf{F}\| = \|\mathbf{r}\| \|\mathbf{F}\| \sin \theta = (0.15 \text{ m})(6 \text{ N}) \sin 40^\circ \approx 0.58 \text{ N} \cdot \text{m}. \]

Ejercicio de control 10.4.13

Calcule la fuerza necesaria para producir un torque de 15 N · m a un ángulo de 30° desde una varilla de 150 cm.