Derivadas y la forma de una gráfica

Objetivos de aprendizaje

4.5.1 Explicar cómo el signo de la primera derivada afecta la forma de la gráfica de una función.
4.5.2. Mostrar la primera prueba de la derivada para puntos críticos.
4.5.3. Utilizar los puntos de concavidad e inflexión para explicar cómo el signo de la segunda derivada afecta la forma de la gráfica de una función.
4.5.4. Explicar la prueba de concavidad para una función durante un intervalo abierto.
4.5.5. Explicar la relación entre una función y su primera y segunda derivada.
4.5.6. Mostrar la prueba de la segunda derivada para extremos locales.

Anteriormente en este capítulo declaramos que si una función f tiene un extremo local en un punto c, entonces c debe ser un punto crítico de f. Sin embargo, no se garantiza que una función tenga un extremo local en un punto crítico. Por ejemplo, f (x) = x3 tiene un punto crítico en x = 0 ya que f ‘(x) = 3x2 es cero en x = 0, pero f no tiene un extremo local en x = 0. Usando los resultados de la sección anterior, ahora podemos determinar si un punto crítico de una función realmente corresponde a un valor extremo local. En esta sección, también vemos cómo la segunda derivada proporciona información sobre la forma de una gráfica al describir si la gráfica de una función se curva hacia arriba o hacia abajo.

Prueba de la primera derivada

El corolario 3 del teorema del valor medio mostró que si la derivada de una función es positiva durante un intervalo I, entonces la función aumentará sobre I. Por otro lado, si la derivada de la función es negativa durante un intervalo I, entonces la función está disminuyendo sobre I como se muestra en la siguiente figura.

Figura 4.16  (a) y (b) Ambas funciones crecen durante el intervalo (a, b). En cada punto x, la derivada f ‘(x) > 0. (c) y (d)  Ambas funciones están disminuyendo a lo largo del intervalo (a, b). En cada punto x, la derivada f ‘(x) < 0.

Una función continua f tiene un máximo local en el punto c si y solo si f cambia de creciente a de creciente en el punto c. De manera similar, f tiene un mínimo local en c si y solo si f cambia de decreciente a creciente en c. Si f es una función continua en un intervalo I que contiene c y diferenciable sobre I, excepto posiblemente en c, la única forma en que f puede cambiar de creciente a decreciente (o viceversa) en el punto c es si f ‘ cambia de signo a medida que x aumenta a través de c. Si f es diferenciable en c, la única forma en que f ‘ puede cambiar de signo a medida que x aumenta a través de c es si f ′(c) = 0. Por lo tanto, para una función f que es continua durante un intervalo I que contiene c y diferenciable sobre I, excepto posiblemente en c, la única forma en que f puede cambiar de creciente a decreciente (o viceversa) es si f ‘(c) = 0 o f ‘(c) no está definido. En consecuencia, para localizar extremos locales para una función f, buscamos puntos c en el dominio de f de modo que f ‘(c) = 0 o f ′(c) no esté definida. Recuerde que tales puntos se llaman puntos críticos de f.

Tenga en cuenta que f no necesita tener un extremo local en un punto crítico. Los puntos críticos son candidatos para extremos locales solamente. En la figura 4.17, mostramos que si una función continua f tiene un extremo local, debe ocurrir en un punto crítico, pero una función puede no tener un extremo local en un punto crítico. Mostramos que si f tiene un extremo local en un punto crítico, entonces el signo de f ‘ cambia a medida que x aumenta a través de ese punto.

Figura 4.17  La función f tiene cuatro puntos críticos: a, b, c y d. La función f tiene máximos locales en a y d, y un mínimo local en b. La función f no tiene un extremo local en c. El signo de f ‘ cambia en todos los extremos locales.

Usando la figura 4.17, resumimos los principales resultados con respecto a los extremos locales.

  • Si una función continua f tiene un extremo local, debe ocurrir en un punto crítico c.
  • La función tiene un extremo local en el punto crítico c si y solo si la derivada f ‘cambia de signo a medida que x aumenta a través de c.
  • Por lo tanto, para probar si una función tiene un extremo local en un punto crítico c, debemos determinar el signo de f ′ (x) a la izquierda y derecha de c.

Teorema 4.9.  Prueba de la primera derivada

Suponga que f es una función continua en un intervalo I que contiene un punto crítico c. Si f es diferenciable sobre I, excepto posiblemente en el punto c, entonces f (c) satisface una de las siguientes descripciones:

(i)    Si f ‘ cambia el signo de positivo cuando x < c a negativo cuando x > c, entonces f (c) es un máximo local de f.

(ii)   Si f ‘ cambia el signo de negativo cuando x < c a positivo cuando x > c, entonces f (c) es un mínimo local de f.

(iii)  Si f ‘ tiene el mismo signo para x < c y x > c, entonces f (c) no es un máximo local ni un mínimo local de f.

Podemos resumir la prueba de la primera derivada como una estrategia para localizar extremos locales.

Estrategia para resolver problemas: Utilizar la prueba de la primera derivada

Considere una función f que es continua durante un intervalo I.

1.  Encuentre todos los puntos críticos de f y divida el intervalo I en intervalos más pequeños utilizando los puntos críticos como puntos finales.

2.  Analice el signo de f ‘ en cada uno de los subintervalos. Si f ‘ es continuo sobre un subintervalo dado (que suele ser el caso), entonces el signo de f ‘ en ese subintervalo no cambia y, por lo tanto, puede determinarse eligiendo un punto de prueba arbitrario x en ese subintervalo y evaluando el signo de f ‘ en ese punto de prueba. Use el análisis de signos para determinar si f aumenta o disminuye durante ese intervalo.

3.  Use la Prueba de la Primera Derivada y los resultados del paso 2 para determinar si f tiene un máximo local, un mínimo local o ninguno en cada uno de los puntos críticos.

Ejercicios resueltos

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