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9.11.2 Expansiones de Fourier I

En el ejemplo 9.11.1.4 y los ejercicios 9.11.1.4 – 9.11.1.22 vimos que las funciones propias del problema 5 son ortogonales en [−L, L] y las funciones propias de los problemas 1 – 4 son ortogonales en [0, L]. En esta sección y en la siguiente presentamos algunos desarrollos en serie en términos de estas funciones propias. Usaremos estas expansiones para resolver ecuaciones diferenciales parciales en el Capítulo 9.12.

Teorema 9.11.2.1

Suponga que las funciones φ1, φ2, φ3, . . ., son ortogonales en [a, b] y

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-179.png        (9.11.2.1)

Sean c1, c2, c3,. . . constantes tales que las sumas parciales Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-180.png satisfacen las desigualdades

|fN(x)| ≤ Maxbn = 1, 2, 3, . . .

para alguna constante M < ∞. Supongamos también que la serie

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-181.png        (9.11.2.2)

converge y es integrable en [a, b]. Entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-182.png       (9.11.2.3

Prueba:

Multiplicando (9.11.2.2) por φn e integrando se obtiene

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-183.png         (9.11.2.4)

Se puede demostrar que la acotación de las sumas parciales Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-184.png y la integrabilidad de f nos permiten intercambiar las operaciones de integración y suma a la derecha de (9.11.2.4), y reescribir (9.11.2.4) como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-185.png        (9.11.2.5)

(Esto no es fácil de probar.) Dado que

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(9.11.2.5) se reduce a

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-187.png

Ahora (9.11.2.1) implica (9.11.2.3). 

El teorema 9.11.2.1 motiva la siguiente definición.

Definición 9.11.2.2

Suponga φ1, φ2, . . . , ϕn,. . . son ortogonales en [a, b] yEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-188.png. Sea f integrable en [a, b], y defina

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-182.png        (9.11.2.6)

Entonces la serie infinita Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-189.png se llama desarrollo de Fourier de f en términos del conjunto ortogonal Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-190.png y c1, c2, . . . , cn, . . . se denominan coeficientes de Fourier de f con respecto a Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-191.png

Indicamos la relación entre f y su expansión de Fourier por

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-192.png      (9.11.2.7)

 

Usted puede preguntarse por qué no escribimos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-193.png

en lugar de (9.11.2.7). Desafortunadamente, esto no siempre es cierto. La serie de la derecha puede divergir para algunos o todos los valores de x en [a, b], o puede converger a f(x) para algunos valores de x y no para otros. Entonces, por ahora, solo pensaremos en la serie como asociada con f debido a la definición de los coeficientes {cn}, e indicaremos esta asociación informalmente como en (9.11.2.7).

Series de Fourier

Ahora estudiaremos las expansiones de Fourier en términos de las funciones propias

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del Problema 5. Si f es integrable en [−L, L], su expansión de Fourier en términos de estas funciones se llama la serie de Fourier de f en [−L, L]. Ya queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-195.png

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yEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-197.png

vemos de (9.11.2.6) que la serie de Fourier de f en [−L, L] es

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dondeEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-199.png

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-201.png  y  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-202.png

      Tenga en cuenta que a0 es el valor promedio de f en [−L, L], mientras que an y bn (para n ≥ 1) son el doble de los valores promedio de

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-203.png  y  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-204.png

en [−L, L], respectivamente.

Convergencia de la Serie de Fourier

La cuestión de la convergencia de las series de Fourier para funciones integrables arbitrarias está más allá del alcance de este libro. Sin embargo, podemos enunciar un teorema que resuelve esta cuestión para la mayoría de las funciones que surgen en las aplicaciones.

Definición 9.11.2.3

Se dice que una función f es uniforme a trozos en [a, b] si:
(a) f tiene como máximo un número finito de puntos de discontinuidad en (a, b);
(b) f ′ existe y es continua excepto posiblemente en un número finito de puntos en (a, b);
(c) f (x0+) = Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-205.png f (x)  y  f ′(x0+) = Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-205.png f ′(x) existen si ax0 < b;
(d) f (x0−) = Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-206.png f (x)  y  f ′(x0−) = Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-206.png f ′(x) existen si a < x0b.

      Dado que se requiere que f  y  f ′ sean continuas en todos menos en un número finito de puntos en [a, b],  f (x0+) = f (x0−)  y  f ′(x0+) = f ′(x0−)) para todos excepto en un número finito de valores de x0 en (a, b). Recuerde de la Sección 9.8.1 que se dice que f tiene una discontinuidad de salto en x0 si f (x0+) ≠ f (x0−).

      El siguiente teorema da condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier. La prueba está más allá del alcance de este libro.

Teorema 9.11.2.2

Si f es suave por partes en [−L, L], entonces la serie de Fourier

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-207.png        (9.11.2.8)

de f en [−L, L] converge para todo x en [−L, L]; es más,Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-208.png

      Como f (x+) = f (x−) si f es continua en x, también podemos decir queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-209.png

      Tenga en cuenta que F es en sí misma suave por partes en [−L, L], y F(x) = f (x) en todos los puntos del intervalo abierto (−L, L) donde f es continua. Dado que la serie en (9.11.2.8) converge a F(x) para todo x en [−L, L], puede verse tentado a inferir que el errorEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-210.png

se puede hacer tan pequeño como queramos para todo x en [−L, L] eligiendo N lo suficientemente grande. Sin embargo, esto no es cierto si f tiene una discontinuidad en algún lugar de (−L, L), o si f (−L+) ≠ f (L−). Esta es la situación en este caso.

      Si f tiene una discontinuidad de salto en un punto α en (−L, L), habrá secuencias de puntos {uN} y {vN} en (−L, α) y (α, L), respectivamente, tales queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-211.png

y

EN(uN) ≈ 0.09 | f (α−) − f (α+)|   y  EN(vN) ≈ 0.09 | f (α−) − f (α+)|.

Por lo tanto, el valor máximo del error EN(x) cerca de α no tiende a cero cuando N → ∞, sino que ocurre cada vez más cerca (y en ambos lados de) α, y es esencialmente independiente de N.

      Si f (−L+) ≠ f (L−), entonces habrá sucesiones de puntos {uN} y {vN} en (−L, L) tales que

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EN(uN) ≈ 0.09 | f ( −L+) − f (L−)|   y  EN(vN) ≈ 0.09 | f ( −L+) − f (L−)|.

      Este es el fenómeno de Gibbs. Habiendo sido alertado al respecto, puede verlo en las Figuras 9.11.2.2 – 9.11.2.4, a continuación; sin embargo, daremos un ejemplo específico al final de esta sección.

Ejemplo ilustrativo 9.11.2.1

Encuentre la serie de Fourier de la función suave por partesEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-213.png

en [−2, 2] (Figura 9.11.2.1). Determina la suma de la serie de Fourier para −2 ≤ x ≤ 2.

Figura 9.11.2.1

Solución:

Tenga en cuenta que no nos molestamos en definir f (−2), f (0)  y  f (2). No importa cómo se definan, f es suave por partes en [−2, 2], y los coeficientes en la serie de FourierEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-215.png

no se ven afectados por ellos. En cualquier caso, el Teorema 9.11.2.2 implica que F(x) = f (x) en (−2, 0) y (0, 2), donde f es continua, mientras queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-216.png

yEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-217.png

Para resumir,Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-218.png

Calculamos los coeficientes de Fourier de la siguiente manera:Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-219.png

Si n ≥ 1, entoncesEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-220.png

yEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-221.png

Por lo tantoEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-222.png

La figura 9.11.2.2 muestra cómo la suma parcialEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-223.png

aproxima f (x) para m = 5 (curva punteada), m = 10 (curva discontinua) y m = 15 (curva continua).

Figura 9.11.2.2

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