| 5. La integral y Técnicas de integración | Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.13 |

5.13 Integración numérica

Objetivos de aprendizaje:

5.13.1. Aproxima el valor de una integral definida usando la regla del punto medio y la regla del trapecio.
5.13.2. Determine el error absoluto y relativo al usar una técnica de integración numérica.
5.13.3. Estime el error absoluto y relativo usando una fórmula ligada a error.
5.13.4. Reconozca cuándo las reglas del punto medio y la del trapecio sobreestiman o subestiman el verdadero valor de una integral.
5.13.5. Use la regla de Simpson para aproximar el valor de una integral definida a una precisión dada.

    Las antiderivadas de muchas funciones no se pueden expresar o no se pueden expresar fácilmente en forma cerrada (es decir, en términos de funciones conocidas). En consecuencia, en lugar de evaluar directamente integrales definidas de estas funciones, recurrimos a varias técnicas de integración numérica para aproximar sus valores. En esta sección exploramos varias de estas técnicas. Además, examinamos el proceso de estimar el error al usar estas técnicas.

La regla del punto medio

Anteriormente en este texto definimos la integral definida de una función sobre un intervalo como el límite de las sumas de Riemann. En general, cualquier suma de Riemann de una función f (x) en un intervalo [a, b] puede verse como una estimación de

Recuerde que una suma de Riemann de una función f (x) en un intervalo [a, b] se obtiene seleccionando una partición

P = {x₀, x₁, x₂,…, x_n}, donde a = x₀ < x₁ < x₂ < ⋯  < x_n = b

y un conjuntodonde para todo i.

La suma de Riemann correspondiente a la partición P y el conjunto S está dada pordónde

es la longitud del i-ésimo subintervalo.

TEOREMA 5.13_1. La regla del punto medio

Suponga que $f(x)$ es continua en $[a, b]$. Sea $n$ un número entero positivo y $\Delta x = (b – a)/n$. Si $[a, b]$ se divide en $n$ subintervalos, cada uno de longitud $\Delta x$, y $m_i$ es el punto medio del i-ésimo subintervalo, establezca

\[ M_n = \sum_{i=1}^{n} f(m_i) \Delta x. \]

entonces

\[ \lim_{n \to \infty} M_n = \int_a^b f(x) \, dx. \]

♦

Como podemos ver en la figura 5.13_1, si f (x) ≥ 0 sobre [a, b], entonces

corresponde a la suma de las áreas de rectángulos que se aproximan al área entre la gráfica de f (x) y el eje x sobre [a, b]. La gráfica muestra los rectángulos correspondientes a M₄ para una función no negativa en un intervalo cerrado [a, b].

Figura 5.13_1 La regla del punto medio aproxima el área entre la gráfica de f (x) y el eje x al sumar las áreas de rectángulos con puntos medios que son puntos en f (x).

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.13_1. Usar la regla del punto medio con M₄

Utilice la regla del punto medio para estimar utilizando cuatro subintervalos. Compare el resultado con el valor real de esta integral.

Solución:
Cada subintervalo tiene una longitud Δx = (1− 0)/4 = 1/4. Por tanto, los subintervalos constan de

Los puntos medios de estos subintervalos son {1/8, 3/8, 5/8, 7/8}. Así,

Ya que

vemos que la regla del punto medio produce una estimación que es algo cercana al valor real de la integral definida. ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.13_2. Usar la regla del punto medio con M₆

Utilice M₆ para estimar la longitud de la curva y = (1/2)x² en [1, 4].

Solución:
La longitud de y = (1/2)x² en [1, 4] es

Dado que dy/dx = x, esta integral se convierte en

Si [1, 4] se divide en seis subintervalos, entonces cada subintervalo tiene una longitud Δx = (4 −1)/6 = 1/2 y los puntos medios de los subintervalos son {5/4, 7/4, 9/4, 11/4, 13/4, 15/4}. Si establecemos f (x) = √(1 + x²),

♦

Ejercicio de control 5.13_1

Utilice la regla del punto medio con n = 2 para estimar ♦

La regla trapezoidal

También podemos aproximar el valor de una integral definida usando trapezoides en lugar de rectángulos. En la Figura 5.13_2, el área bajo la curva se aproxima mediante trapezoides en lugar de rectángulos.

Figura 5.13_2 Los trapezoides se pueden utilizar para aproximar el área bajo una curva, por lo tanto, aproximar la integral definida.

La regla trapezoidal para estimar integrales definidas usa trapezoides en lugar de rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Para comprender mejor la forma final de la regla, considere los trapecios que se muestran en la Figura 5.13._2. Suponemos que la longitud de cada subintervalo está dada por Δx. Primero, recuerde que el área de un trapezoide con una altura h y bases de longitud b₁ y b₂ está dada por Área = (1/2)h(b₁ + b₂). Vemos que el primer trapezoide tiene una altura Δx y bases paralelas de longitud f (x₀) y f (x₁). Por tanto, el área del primer trapezoide de la figura 5.13._2 es

Las áreas de los tres trapezoides restantes son

Por consiguiente,

Después de sacar un factor común de (1/2)Δx y combinar términos semejantes, tenemos

Generalizando, declaramos formalmente la siguiente regla.

TEOREMA 5.13_2. La regla trapezoidal

Suponga que $f(x)$ es continua sobre $[a, b]$. Sea $n$ un número entero positivo y $\Delta x = (b – a)/n$. Sea $[a, b]$ dividido en $n$ subintervalos, cada uno de longitud $\Delta x$, con puntos finales en $P = \{x_0, x_1, x_2, \dots, x_n\}$. Dado que

\[ T_n = \frac{1}{2} \Delta x (f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)). \]

Luego,

\[ \lim_{n \to +\infty} T_n = \int_a^b f(x) dx. \]

♦

       Antes de continuar, hagamos algunas observaciones sobre la regla trapezoidal. En primer lugar, es útil señalar que

donde

Es decir, L_n y R_n se aproximan a la integral utilizando los puntos extremos izquierdo y derecho de cada subintervalo, respectivamente. Además, un examen cuidadoso de la figura 5.13_3 nos lleva a hacer las siguientes observaciones sobre el uso de las reglas trapezoidales y las reglas del punto medio para estimar la integral definida de una función no negativa. La regla trapezoidal tiende a sobrestimar sistemáticamente el valor de una integral definida en intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y a subestimar el valor de una integral definida de forma sistemática en intervalos donde la función es cóncava hacia abajo. Por otro lado, la regla del punto medio tiende a promediar estos errores de alguna manera al sobreestimar parcialmente y subestimar parcialmente el valor de la integral definida en estos mismos tipos de intervalos. Esto nos lleva a plantear la hipótesis de que, en general, la regla del punto medio tiende a ser más precisa que la regla trapezoidal.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.13_3. Usando la regla trapezoidal

Use la regla trapezoidal para estimarusando cuatro subintervalos.

Solución:

Los puntos finales de los subintervalos constan de elementos del conjunto P = {0, 1/4, 1/2, 3/4, 1} y Δx = (1 − 0)/4 = 1/4. Así,

♦

Ejercicio de control 5.13_2

Utilice la regla trapezoidal con n = 2 para estimar ♦

Error absoluto y error relativo

Un aspecto importante del uso de estas reglas de aproximación numérica consiste en calcular el error al usarlas para estimar el valor de una integral definida. Primero necesitamos definir el error absoluto y el error relativo.

DEFINICIÓN

Si B es nuestra estimación de alguna cantidad que tiene un valor real de A, entonces el error absoluto viene dado por |A − B|. El error relativo es el error como porcentaje del valor absoluto y está dado por

|(A − B)/A| = |(A − B)/A|⋅100%. ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.13_4. Calcular el error en la regla del punto medio

Calcule el error absoluto y relativo en la estimación deutilizando la regla del punto medio.

Solución:
El valor exacto de esta integral esy la estimación que hicimos en el Ejemplo ilustrativo 5.13_1 es M₄ = 21/64. Por lo tanto, el error absoluto está dado por |1/3 − 21/64| = 1/192 ≈ 0,0052. El error relativo es ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.13_5. Calculando el error en la regla trapezoidal

Calcule el error absoluto y relativo en la estimación deutilizando la regla del trapecio.

Solución:
El valor exacto de esta integral

y la estimación que hicimos en el Ejemplo ilustrativo 5.13_3 es T₄ = 11/32. Por lo tanto, el error absoluto viene dado por |1/3 − 11/32|= 1/96 ≈ 0.0104. El error relativo viene dado por

♦

Ejercicio de control 5.13_3

En un punto de control anterior, estimamos queera 24/35 usando T₂. El valor exacto de esta integral es ln2. Usando 24/35 ≈ 0,6857 y ln2 ≈ 0,6931, calcule el error absoluto y el error relativo. ♦

    En los dos ejemplos anteriores, pudimos comparar nuestra estimación de una integral con el valor exacto de la integral; sin embargo, normalmente no tenemos este lujo. En general, si estamos aproximando una integral, lo hacemos porque no podemos calcular fácilmente el valor exacto de la integral en sí. Por lo tanto, a menudo es útil poder determinar un límite superior para el error en una aproximación de una integral. El siguiente teorema proporciona límites de error para las reglas del punto medio y trapezoidal. El teorema se establece sin prueba.

TEOREMA 5.13_3. Límites de error para las reglas del punto medio y trapezoidal

Sea $f(x)$ una función continua sobre $[a, b]$, que tiene una segunda derivada $f”(x)$ sobre este intervalo. Si $M$ es el valor máximo de $|f”(x)|$ sobre $[a, b]$, entonces los límites superiores del error al usar $M_n$ y $T_n$ para estimar

\[ \int_a^b f(x) dx \]

son

\[ \text{Error en } M_n \leq \frac{M(b – a)^3}{24n^2} \]

y

\[ \text{Error en } T_n \leq \frac{M(b – a)^3}{12n^2}. \]

♦

        Podemos usar estos límites para determinar el valor de n necesario para garantizar que el error en una estimación sea menor que un valor especificado.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.13_6. Determinación del número de intervalos a utilizar

¿Qué valor de n debe usarse para garantizar que una estimación desea precisa dentro de 0.01 si usamos la regla del punto medio?

Solución:

Comenzamos determinando el valor de M, el valor máximo de | f ” (x)| en el intervalo [0, 1] para

Ya que

tenemos que

Así,

De la fórmula dada en el TEOREMA 5.13_3 para estimar del error al aplicar la regla del punto medio, se tiene que

Ahora resolvemos la siguiente desigualdad para n:

Así,

Dado que n debe ser un número entero que satisface esta desigualdad, una elección de n = 9 garantiza que

Análisis:

Podríamos haber tenido la tentación de redondear 8,24 hacia abajo y elegir n = 8, pero esto sería incorrecto porque debemos tener un número entero mayor o igual que 8,24. Debemos tener en cuenta que las estimaciones de error proporcionan un límite superior solo para el error. De hecho, la estimación real puede ser una aproximación mucho mejor que la indicada por el límite de error. ♦

Ejercicio de control 5.13_4

Use la Ecuación

\[ \text{Error en } T_n \leq \frac{M(b – a)^3}{12n^2}. \]

para encontrar un límite superior para el error al usar $M_4$ para estimar

\[ \int_0^1 x^2 dx. \]

♦

Regla de Simpson

Con la regla del punto medio, estimamos áreas de regiones bajo curvas usando rectángulos. En cierto sentido, aproximamos la curva con funciones constantes por partes. Con la regla trapezoidal, aproximamos la curva usando funciones lineales por partes. ¿Qué pasaría si, en cambio, tuviéramos que aproximar una curva usando funciones cuadráticas por partes? Con la regla de Simpson, hacemos precisamente esto. Dividimos el intervalo en un número par de subintervalos, cada uno de igual ancho. Sobre el primer par de subintervalos aproximamos

con

donde p(x) = Ax² + Bx + C es la función cuadrática que pasa por (x₀, f (x₀)), (x₁, f (x₁)) y (x₂, f (x₂)) (Figura 5.13_4).

Sobre el siguiente par de subintervalos aproximamos

con la integral de otra función cuadrática pasando por (x₂, f (x₂)), (x₃, f (x₃)) y (x₄, f (x₄)). Este proceso continúa con cada par sucesivo de subintervalos.

(Figura 5.13_4 Con la regla de Simpson, aproximamos una integral definida integrando una función cuadrática por partes.)

         Para comprender la fórmula que obtenemos para la regla de Simpson, comenzamos por deducir una fórmula para esta aproximación en los dos primeros subintervalos. A medida que avanzamos en la deducción, debemos tener en cuenta las siguientes relaciones:

x₂ − x₀ = 2Δx, donde Δx es la longitud de un subintervalo.

x₂ + x₀ = 2x₁, ya que x₁ = (x₂ + x₀)/2.

Así,

Si aproximamos

usando el mismo método, obtenemos

Combinando estas dos aproximaciones, obtenemos

El patrón continúa a medida que agregamos pares de subintervalos a nuestra aproximación. La regla general puede establecerse de la siguiente manera.

TEOREMA 5.13_4. Regla de Simpson

Suponga que $f(x)$ es continua sobre el intervalo cerrado $[a, b]$. Sea $n$ un entero par positivo y $\Delta x = (b – a)/n$. Se divide $[a, b]$ en $n$ subintervalos, cada uno de longitud $\Delta x$, con puntos finales en $P = \{x_0, x_1, x_2, …, x_n\}$. Ya que

\[ S_n = \frac{\Delta x}{3} (f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + … + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)). \]

Entonces

\[ \lim_{n \to +\infty} S_n = \int_a^b f(x) dx. \]

♦

    Así como la regla trapezoidal es el promedio de las reglas de la izquierda y la derecha para estimar integrales definidas, la regla de Simpson se puede obtener a partir de las reglas del punto medio y trapezoidal usando un promedio ponderado. Se puede demostrar que S_2n = (2/3)M_n + (1/3)T_n.

También es posible poner un límite al error cuando se usa la regla de Simpson para aproximar una integral definida. El límite en el error viene dado por la siguiente regla:

REGLA: ERROR conexo A LA REGLA DE SIMPSON

Sea $f(x)$ una función continua sobre $[a, b]$ que tiene una cuarta derivada, $f^{(4)}(x)$, durante este intervalo. Si $M$ es el valor máximo de $|f^{(4)}(x)|$ sobre $[a, b]$, entonces el límite superior del error al usar $S_n$ para estimar

\[ \int_a^b f(x) dx \]

está dado por

\[ \text{Error en } S_n \leq \frac{M(b – a)^5}{180n^4}. \]

♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.13_7. Aplicación de la regla de Simpson_1

Utilice S₂ para aproximar

Estime un límite para el error en S₂.

Solución:

Dado que [0, 1] se divide en dos intervalos, cada subintervalo tiene una longitud Δx = (1− 0)/2 = 1/2. Los puntos finales de estos subintervalos son {0, 1/2, 1}. Si establecemos f (x) = x³, entonces

Dado que f ⁽⁴⁾(x) = 0 y consecuentemente M = 0, vemos que

Este límite indica que el valor obtenido mediante la regla de Simpson es exacto. Una revisión rápida verificará que, de hecho,

♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.13_8. Aplicación de la regla de Simpson_2

Utilice S₆ para estimar la longitud de la curva y = (1/2)x² sobre [1, 4].

Solución:
La longitud de y = (1/2)x² sobre [1, 4] es

Si dividimos [1, 4] en seis subintervalos, entonces cada subintervalo tiene una longitud Δx = (4 − 1)/6 = 1/2, y los puntos finales de los subintervalos son {1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4}. Configurando f (x) = √(1 + x²),

Después de sustituir, obtenemos

♦

Ejercicio de control 5.13_5

Utilice S₂ para estimar ♦