Sustitución trigonométrica

Sustitución trigonométrica: Objetivos de aprendizaje

5.10.1 Resuelva problemas de integración que involucran la raíz cuadrada de una suma o diferencia de dos cuadrados.

      En esta sección, exploramos integrales que contienen expresiones de la forma √(a² − x²), √(a² + x²) y √(x² − a²), donde los valores de a son positivos. Ya hemos encontrado y evaluado integrales que contienen algunas expresiones de este tipo, pero muchas aún permanecen inaccesibles. La técnica de sustitución trigonométrica resulta muy útil al evaluar estas integrales. Esta técnica utiliza la sustitución para reescribir estas integrales como integrales trigonométricas.

Integrales que involucran √(a² − x²)

Antes de desarrollar una estrategia general para integrales que contengan √(a² − x²), considere la integral ∫√(9 − x²)dx. Esta integral no puede evaluarse utilizando ninguna de las técnicas que hemos discutido hasta ahora. Sin embargo, si hacemos la sustitución x = 3senθ, tenemos dx = 3cosθdθ. Después de sustituir en la integral, tenemos

Después de simplificar, tenemos

Dejando 1 − sen²θ = cos²θ, ahora tenemos

Suponiendo que cosθ ≥ 0, tenemos

En este punto, podemos evaluar la integral utilizando las técnicas desarrolladas para integrar potencias y productos de funciones trigonométricas. Antes de completar este ejemplo, echemos un vistazo a la teoría general detrás de esta idea.

Para evaluar integrales que involucran √(a² − x²), hacemos la sustitución x = asenθ y dx = acosθ. Para ver que esto realmente tiene sentido, considere el siguiente argumento: El dominio de √(a² − x²) es [−a, a]. Por lo tanto, −a ≤ x ≤ a. En consecuencia, −1 ≤ x/a ≤ 1. Como el rango de senx sobre [-(π/2), π/2] es [−1, 1], existe un ángulo único θ que satisface -π/2 ≤ θ ≤ π/2, de modo que senθ = x/a, o equivalente, de modo que x = asenθ. Si sustituimos x = asenθ en √(a² − x²), obtenemos

Como cosθ ≥ 0 en −π/2 ≤ θ ≤ π/2 y a > 0, |acosθ| = acosθ. Podemos ver, a partir de esta discusión, que al hacer la sustitución x = asenθ, podemos convertir una integral que involucra un radical en una integral que involucra funciones trigonométricas. Después de evaluar la integral, podemos convertir la solución nuevamente en una expresión que implique x. Para ver cómo hacer esto, comencemos asumiendo que 0 < x < a. En este caso, 0 < θ < π/2. Como senθ = x/a, podemos dibujar el triángulo de referencia en la Figura 5.10_1 para ayudar a expresar los valores de cosθ, tanθ y las funciones trigonométricas restantes en términos de x. Se puede demostrar que este triángulo en realidad produce los valores correctos de las funciones trigonométricas evaluadas en θ para todos los θ que satisfacen −π/2 ≤ θ ≤ π/2. Es útil observar que la expresión √(a² − x²) en realidad aparece como la longitud de un lado del triángulo. Por último, si θ aparece por sí mismo, usamos θ = sen⁻¹(x/a).

La parte esencial de esta discusión se resume en la siguiente estrategia de resolución de problemas.

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS 5.10_1: INTEGRAR EXPRESIONES QUE INCLUYEN √(a² − x²)

Es una buena idea asegurarse de que la integral no pueda evaluarse fácilmente de otra manera. Por ejemplo, aunque este método se puede aplicar a integrales de la forma cada uno puede integrarse directamente por fórmula o por una simple sustitución en u. Realice la sustitución x = asenθ y dx = acosθdθ. Nota: Esta sustitución produce √(a² − x²) = acosθ. Simplifica la expresión. Evalúe la integral utilizando técnicas de la sección sobre integrales trigonométricas. Use el triángulo de referencia de la Figura 5.10_1 para reescribir el resultado en términos de x. También es posible que necesite usar algunas identidades trigonométricas y la relación θ = sen⁻¹(x/a).

El siguiente ejemplo demuestra la aplicación de esta estrategia de resolución de problemas.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.10_1. Integrando una expresión que involucra√(a² − x²)

Evalúe ∫√(9 − x²)dx. 

Solución:
Comience haciendo las sustituciones x = 3senθ y dx = 3cosθdθ. Como senθ = x/3, podemos construir el triángulo de referencia que se muestra en la siguiente figura.

De tal modo que

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.10_2. Integrando una expresión que involucra √(a² − x²)

Evaluar

Solución:
Primero haga las sustituciones x = 2senθ y dx = 2cosθdθ. Como senθ = x/2, podemos construir el triángulo de referencia que se muestra en la siguiente figura.

De tal manera que

◊

En el siguiente ejemplo, vemos que a veces tenemos una opción de métodos.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.10_3. Integrando una expresión que involucra √(a² − x²).  Dos maneras distintas

Evalúe ∫x³(1 − x²)dx de dos maneras: primero usando la sustitución u = 1 − x² y luego usando una sustitución trigonométrica.

Solución:
Método 1

Sea u = 1 − x² y, por lo tanto, x² = 1 − u. Entonces, du = −2xdx. En este caso, la integral se convierte en

Método 2

Deje x = senθ. En este caso, dx = cosθdθ. Usando esta sustitución, tenemos

No importa el método usado, si las operaciones son correctas, se obtiene la misma solución. ◊