| 6. Aplicaciones de la integral | Ejercicios propuestos del Capítulo 6.7 |
6.7 Integrales, funciones exponenciales y logaritmos
Objetivos de aprendizaje:
6.7.1 Escriba la definición del logaritmo natural como una integral.
6.7.2 Reconozca la derivada del logaritmo natural.
6.7.3 Integre funciones que involucran la función logarítmica natural.
6.7.4 Defina el número e a través de una integral.
6.7.5 Reconozca la derivada e integral de la función exponencial.
6.7.6 Demuestre las propiedades de los logaritmos y las funciones exponenciales utilizando integrales.
6.7.7 Exprese las funciones logarítmicas y exponenciales generales en términos de logaritmos naturales y exponenciales.
Ya examinamos las funciones exponenciales y los logaritmos en capítulos anteriores. Sin embargo, pasamos por alto algunos detalles clave en las discusiones previas. Por ejemplo, no estudiamos cómo tratar las funciones exponenciales con exponentes que son irracionales. La definición del número e es otra área donde el desarrollo anterior fue algo incompleto. Ahora tenemos las herramientas para abordar estos conceptos de una manera más rigurosa matemáticamente, y lo hacemos en esta sección.
Para los propósitos de esta sección, suponga que aún no hemos definido el logaritmo natural, el número e, o ninguna de las fórmulas de integración y diferenciación asociadas con estas funciones. Al final de la sección, habremos estudiado estos conceptos de una manera matemáticamente rigurosa (y veremos que son consistentes con los conceptos que aprendimos anteriormente).
Comenzamos la sección definiendo el logaritmo natural en términos de una integral. Esta definición constituye la base para la sección. A partir de esta definición, derivamos fórmulas de diferenciación, definimos el número e y expandimos estos conceptos a logaritmos y funciones exponenciales de cualquier base.
El Logaritmo Natural como una Integral
Recuerde la regla de la potencia para integrales:
\(\int \mathit{x}^{ \, n} d\mathit{x} = \frac{\mathit{x}^{ \, n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1\).
Claramente, esto no funciona cuando \(\mathit{n} = -1\), ya que nos obligaría a dividir por cero. Entonces, ¿qué hacemos con \(\int \frac{1}{\mathit{x}} d\mathit{x}\)? Recuerde del Teorema Fundamental del Cálculo que \(\int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt\) es una antiderivada de 1/\(\mathit{x}\). Por lo tanto, podemos hacer la siguiente definición.
Definición 6.7.1
Para \(\mathit{x} > 0\), defina la función logaritmo natural mediante
\(\ln \mathit{x} = \int_{1}^{x} \frac{1}{\mathit{t}} d\mathit{t}\).
♦
Para \(\mathit{x} > 1\), esto es solo el área bajo la curva \(\mathit{y} = \frac{1}{\mathit{t}}\) de 1 a \(\mathit{x}\). Para \(\mathit{x} < 1\), tenemos \(\int_{1}^{x} \frac{1}{\mathit{t}} d\mathit{t} = -\int_{x}^{1} \frac{1}{\mathit{t}} d\mathit{t}\), por lo que, en este caso, es el negativo del área bajo la curva de \(\mathit{x}\) a 1 (ver la siguiente figura).
Figura 6.7.1 (a) Cuando x > 1, el logaritmo natural es el área bajo la curva y = 1/t desde 1 hasta x. (b) Cuando x < 1, el logaritmo natural es el negativo del área bajo la curva desde x hasta 1.
Propiedades del Logaritmo Natural
Debido a la forma en que definimos el logaritmo natural, la siguiente fórmula de diferenciación surge inmediatamente como resultado del Teorema Fundamental del Cálculo.
Teorema 6.7.1: Derivada del Logaritmo Natural
Para \(\mathit{x} > 0\), la derivada del logaritmo natural está dada por
\[ \frac{d}{d\mathit{x}} \ln \mathit{x} = \frac{1}{\mathit{x}}. \]
♦
Teorema 6.7.2: Corolario de la Derivada del Logaritmo Natural
La función lnx es diferenciable; por lo tanto, es continua. ♦
Se muestra una gráfica de lnx en la Figura 6.7.2. Observe que es continua en todo su dominio de (0, ∞).
Figura 6.7.2 La gráfica de f (x) = lnx muestra que es una función continua.
Ejemplo ilustrativo 6.7.1: Calculando Derivadas de Logaritmos Naturales
Calcula las siguientes derivadas:
a. \(\frac{d}{d\mathit{x}} \ln (5\mathit{x}^3 – 2)\)
b. \(\frac{d}{d\mathit{x}} (\ln (3\mathit{x}))^2\)
Solución:
Necesitamos aplicar la regla de la cadena en ambos casos.
a. \(\frac{d}{d\mathit{x}} \ln (5 \mathit{x}^{\,3} – 2) = \frac{\displaystyle 15\mathit{x}^{\,2}}{\displaystyle 5 \mathit{x}^{\,3} – 2}\)
b. \(\frac{d}{d\mathit{x}} (\ln (3\mathit{x}))^2 = \frac{\displaystyle 2(\ln (3\mathit{x})) \cdot 3}{\displaystyle 3\mathit{x}} = \frac{\displaystyle 2(\ln (3\mathit{x}))}{\displaystyle \mathit{x}}\)
♦
Ejercicio de control 6.7.1
Calcula las siguientes derivadas:
a. \(\frac{d}{d\mathit{x}} \ln(2\mathit{x}^{\,2} + \mathit{x})\)
b. \(\frac{d}{d\mathit{x}} (\ln(\mathit{x}^{\,3}))^2\)
♦
Tenga en cuenta que si usamos la función de valor absoluto y creamos una nueva función \(\ln |\mathit{x}|\), podemos extender el dominio del logaritmo natural para incluir \(\mathit{x} < 0\). Entonces, \(\frac{d}{d\mathit{x}} \ln |\mathit{x}| = \frac{1}{\mathit{x}}\). Esto da lugar a la fórmula de integración familiar.
Teorema 6.7.3: Integral de (1/u) du
El logaritmo natural es la antiderivada de la función \(\mathit{f}(\mathit{u}) = 1/\mathit{u}\):
\[ \int \frac{1}{\mathit{u}} d\mathit{u} = \ln |\mathit{u}| + C. \]
♦
Ejemplo ilustrativo 6.7.2: Calculando Integrales que Involucran Logaritmos Naturales
Calcula la integral \(\int \frac{\mathit{x}}{\mathit{x}^2 + 4} d\mathit{x}\).
Solución:
Usando la sustitución u, sea \(\mathit{u} = \mathit{x}^{\,2} + 4\). Entonces \(d\mathit{u} = 2\mathit{x} d\mathit{x}\) y tenemos
\(\int \frac{\mathit{x}}{\mathit{x}^{\,2} + 4} d\mathit{x} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\mathit{u}} d\mathit{u} = \frac{1}{2} \ln |\mathit{u}| + C = \frac{1}{2} \ln |\mathit{x}^{\,2} + 4| + C = \frac{1}{2} \ln (\mathit{x}^{\,2} + 4) + C\).
♦
Ejercicio de control 6.7.2
Calcula la integral \(\int \frac{\mathit{x}^{\,2}}{\mathit{x}^{\,3} + 6} d\mathit{x}\).
♦
Aunque hemos llamado a nuestra función un “logaritmo”, en realidad no hemos probado que ninguna de las propiedades de los logaritmos se cumpla para esta función. Lo hacemos aquí.
Teorema 6.7.4: Propiedades del Logaritmo Natural
Si \(\mathit{a}, \mathit{b} > 0\) y \(\mathit{r}\) es un número racional, entonces
i. \(\ln 1 = 0\)
ii. \(\ln (\mathit{ab}) = \ln \mathit{a} + \ln \mathit{b}\)
iii. \(\ln \left(\frac{\mathit{a}}{\mathit{b}}\right) = \ln \mathit{a} – \ln \mathit{b}\)
iv. \(\ln (\mathit{a}^{\mathit{r}}) = \mathit{r} \ln \mathit{a}\)
♦
Prueba:
i. Por definición, \(\ln 1 = \int_{1}^{1} \frac{1}{t} dt = 0\).
ii. Tenemos
\(\ln (ab) = \int_{1}^{ab} \frac{1}{t} dt = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} dt + \int_{a}^{ab} \frac{1}{t} dt\).
Use la sustitución u en la última integral en esta expresión. Sea \(\mathit{u} = \frac{t}{a}\). Entonces \(d\mathit{u} = \frac{1}{a} dt\). Además, cuando \(\mathit{t} = a\), \(\mathit{u} = 1\), y cuando \(\mathit{t} = ab\), \(\mathit{u} = b\). Entonces obtenemos
\(\ln (ab) = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} dt + \int_{a}^{ab} \frac{1}{t} dt = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} dt + \int_{1}^{b} \frac{1}{at} a dt = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} dt + \int_{1}^{b} \frac{1}{\mathit{u}} d\mathit{u} = \ln a + \ln b\).
iv. Note que
\(\frac{d}{d\mathit{x}} \ln (\mathit{x}^r) = \frac{r \mathit{x}^{r-1}}{\mathit{x}^r} = \frac{r}{\mathit{x}}\).
Además,
\(\frac{d}{d\mathit{x}} (r \ln \mathit{x}) = \frac{r}{\mathit{x}}\).
Dado que las derivadas de estas dos funciones son las mismas, por el Teorema Fundamental del Cálculo, deben diferir por una constante. Así que tenemos
\(\ln (\mathit{x}^r) = r \ln \mathit{x} + C\)
para alguna constante \(C\). Tomando \(\mathit{x} = 1\), obtenemos
\(\begin{aligned} \ln(1^r) &= r \ln(1) + C \\ 0 &= r(0) + C \\ C &= 0. \end{aligned}\)
Por lo tanto, \(\ln (\mathit{x}^r) = r \ln \mathit{x}\) y la prueba está completa. Note que podemos extender esta propiedad a valores irracionales de \(\mathit{r}\) más adelante en esta sección.
La parte iii. se deduce de las partes ii. y iv. y la prueba se deja para usted.
\(\Box\)
Ejemplo ilustrativo 6.7.3: Usando Propiedades de los Logaritmos
Use las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:
\(\ln 9 – 2 \ln 3 + \ln \left(\frac{1}{3}\right)\).
Solución:
Tenemos
\(\ln 9 – 2 \ln 3 + \ln \left(\frac{1}{3}\right) = \ln (3^2) – 2 \ln 3 + \ln (3^{-1}) = 2 \ln 3 – 2 \ln 3 – \ln 3 = -\ln 3\). ♦
Ejercicio de control 6.7.3
Use las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:
\(\ln 8 – \ln 2 – \ln \left(\frac{1}{4}\right)\). ♦
Definiendo el Número e
Ahora que tenemos definido el logaritmo natural, podemos usar esa función para definir el número e.
Definición 6.7.3
El número \(\mathit{e}\) se define como el número real tal que
\(\ln \mathit{e} = 1\). ♦
Para decirlo de otra manera, el área bajo la curva \(\mathit{y} = 1/\mathit{t}\) entre \(\mathit{t} = 1\) y \(\mathit{t} = \mathit{e}\) es 1 (Figura 6.7.3). La prueba de que tal número existe y es único se deja para ti. (Pista: Usa el Teorema del Valor Intermedio para probar la existencia y el hecho de que \(\ln \mathit{x}\) es creciente para probar la unicidad).
Figura 6.7.3 El área bajo la curva desde 1 hasta e es igual a uno.
Se puede demostrar que el número e es irracional, aunque no lo haremos aquí (vea el Proyecto Estudiantil en Series de Taylor y Maclaurin). Su valor aproximado está dado por
e ≈ 2.71828182846.
La Función Exponencial
Ahora dirigimos nuestra atención a la función \(e^{\mathit{x}}\). Tenga en cuenta que el logaritmo natural es uno a uno y, por lo tanto, tiene una función inversa. Por ahora, denotamos esta función inversa por \(\exp \mathit{x}\). Entonces,
\(\exp (\ln \mathit{x}) = \mathit{x}\) para \(\mathit{x} > 0\) y \(\ln (\exp \mathit{x}) = \mathit{x}\) para todo \(\mathit{x}\).
La siguiente figura muestra las gráficas de \(\exp \mathit{x}\) y \(\ln \mathit{x}\).
Figura 6.7.4 Las gráficas de lnx y expx.
Planteamos la hipótesis de que \(\exp \mathit{x} = e^{\mathit{x}}\). Para valores racionales de \(\mathit{x}\), esto es fácil de demostrar. Si \(\mathit{x}\) es racional, entonces tenemos \(\ln (e^{\mathit{x}}) = \mathit{x} \ln e = \mathit{x}\). Por lo tanto, cuando \(\mathit{x}\) es racional, \(e^{\mathit{x}} = \exp \mathit{x}\). Para valores irracionales de \(\mathit{x}\), simplemente definimos \(e^{\mathit{x}}\) como la función inversa de \(\ln \mathit{x}\).
Definición 6.7.4
Para cualquier número real \(\mathit{x}\), defina \(\mathit{y} = e^{\mathit{x}}\) para que sea el número para el cual
\[ \ln \mathit{y} = \ln (e^{\mathit{x}}) = \mathit{x}. \]
Entonces tenemos \(e^{\mathit{x}} = \exp(\mathit{x})\) para todo \(\mathit{x}\), y por lo tanto
\[ e^{\ln \mathit{x}} = \mathit{x} \quad \text{para} \quad \mathit{x} > 0 \quad \text{y} \quad \ln (e^{\mathit{x}}) = \mathit{x} \]
para todo \(\mathit{x}\). ♦
Propiedades de la Función Exponencial
Dado que la función exponencial se definió en términos de una función inversa, y no en términos de una potencia de e, debemos verificar que las leyes habituales de los exponentes se cumplan para la función ex.
Teorema 6.7.5: Propiedades de la Función Exponencial
Si \(\mathit{p}\) y \(\mathit{q}\) son números reales y \(\mathit{r}\) es un número racional, entonces
i. \(e^{\mathit{p}} e^{\mathit{q}} = e^{\mathit{p} + \mathit{q}}\)
ii. \(\frac{e^{\mathit{p}}}{e^{\mathit{q}}} = e^{\mathit{p} – \mathit{q}}\)
iii. \((e^{\mathit{p}})^{\mathit{r}} = e^{\mathit{pr}}\)
♦
Prueba:
Note que si \(\mathit{p}\) y \(\mathit{q}\) son racionales, las propiedades se cumplen. Sin embargo, si \(\mathit{p}\) o \(\mathit{q}\) son irracionales, debemos aplicar la definición de función inversa de \(e^{\mathit{x}}\) y verificar las propiedades. Sólo la primera propiedad se verifica aquí; las otras dos se dejan para usted. Tenemos
\(\ln (e^{\mathit{p}} e^{\mathit{q}}) = \ln (e^{\mathit{p}}) + \ln (e^{\mathit{q}}) = \mathit{p} + \mathit{q} = \ln (e^{\mathit{p} + \mathit{q}})\).
Dado que \(\ln \mathit{x}\) es uno a uno, entonces
\(e^{\mathit{p}} e^{\mathit{q}} = e^{\mathit{p} + \mathit{q}}\).
\(\Box\)
Al igual que con la parte iv. de las propiedades del logaritmo, podemos extender la propiedad iii. a valores irracionales de r, y lo hacemos al final de la sección.
También queremos verificar la fórmula de diferenciación para la función \(\mathit{y} = e^{\mathit{x}}\). Para ello, necesitamos usar la diferenciación implícita. Sea \(\mathit{y} = e^{\mathit{x}}\). Entonces
\(\begin{aligned} \ln \mathit{y} &= \mathit{x} \\ \frac{d}{d\mathit{x}} \ln \mathit{y} &= \frac{d}{d\mathit{x}} \mathit{x} \\ \frac{1}{\mathit{y}} \frac{d\mathit{y}}{d\mathit{x}} &= 1 \\ \frac{d\mathit{y}}{d\mathit{x}} &= \mathit{y}. \end{aligned}\)
Por lo tanto, vemos
\(\frac{d}{d\mathit{x}} e^{\mathit{x}} = e^{\mathit{x}}\)
como se desea, lo que lleva inmediatamente a la fórmula de integración
\(\int e^{\mathit{x}} d\mathit{x} = e^{\mathit{x}} + C\).
Aplicamos estas fórmulas en los siguientes ejemplos.
Ejemplo ilustrativo 6.7.4: Usando Propiedades de Funciones Exponenciales
Evalúa las siguientes derivadas:
a. \(\frac{d}{d\mathit{t}} e^{3\mathit{t}} e^{\mathit{t}^{\,2}}\)
b. \(\frac{d}{d\mathit{x}} e^{3\mathit{x}^{\,2}}\)
Solución:
Aplicamos la regla de la cadena según sea necesario.
a. \(\frac{d}{d\mathit{t}} e^{3\mathit{t}} e^{\mathit{t}^{\,2}} = \frac{d}{d\mathit{t}} e^{3\mathit{t} + \mathit{t}^{\,2}} = e^{3\mathit{t} + \mathit{t}^{\,2}} (3 + 2\mathit{t})\)
b. \(\frac{d}{d\mathit{x}} e^{3\mathit{x}^{\,2}} = e^{3\mathit{x}^{\,2}} 6\mathit{x}\)
♦
Ejercicio de control 6.7.4
Evalúa las siguientes derivadas:
a. \(\frac{d}{d\mathit{x}} \left(\frac{e^{\mathit{x}^{\,2}}}{e^{5\mathit{x}}}\right)\)
b. \(\frac{d}{d\mathit{t}} (e^{2\mathit{t}})^3\)
♦
Ejemplo ilustrativo 6.7.5: Usando Propiedades de Funciones Exponenciales.
Evalúa la siguiente integral: \(\int 2\mathit{x} e^{-\mathit{x}^{\,2}} d\mathit{x}\).
Solución:
Usando la sustitución u, sea \(\mathit{u} = -\mathit{x}^{\,2}\). Entonces \(d\mathit{u} = -2\mathit{x} d\mathit{x}\), y tenemos
\(\int 2\mathit{x} e^{-\mathit{x}^{\,2}} d\mathit{x} = -\int e^{\mathit{u}} d\mathit{u} = -e^{\mathit{u}} + C = -e^{-\mathit{x}^{\,2}} + C\). ♦
Ejercicio de control 6.7.5
Evalúa la siguiente integral: \(\int \frac{4}{e^{3\mathit{x}}} d\mathit{x}\). ♦
Funciones Logarítmicas y Exponenciales Generales
Cerramos esta sección observando las funciones exponenciales y los logaritmos con bases distintas de \(\mathit{e}\). Las funciones exponenciales son funciones de la forma \(\mathit{f}(\mathit{x}) = \mathit{a}^{\mathit{x}}\). Tenga en cuenta que, a menos que \(\mathit{a} = \mathit{e}\), todavía no tenemos una definición matemáticamente rigurosa de estas funciones para exponentes irracionales. Rectifiquemos eso aquí definiendo la función \(\mathit{f}(\mathit{x}) = \mathit{a}^{\mathit{x}}\) en términos de la función exponencial \(e^{\mathit{x}}\). Luego examinamos los logaritmos con bases distintas de \(\mathit{e}\) como funciones inversas de las funciones exponenciales.
Definición 6.7.5
Para cualquier \(\mathit{a} > 0\), y para cualquier número real \(\mathit{x}\), defina \(\mathit{y} = \mathit{a}^{\mathit{x}}\) de la siguiente manera:
\(\mathit{y} = \mathit{a}^{\mathit{x}} = e^{\mathit{x} \ln \mathit{a}}\). ♦
Ahora \(\mathit{a}^{\mathit{x}}\) se define rigurosamente para todos los valores de \(\mathit{x}\). Esta definición también nos permite generalizar la propiedad iv. de los logaritmos y la propiedad iii. de las funciones exponenciales para aplicar tanto a valores racionales como irracionales de \(\mathit{r}\). Es sencillo demostrar que las propiedades de los exponentes se cumplen para las funciones exponenciales generales definidas de esta manera.
Apliquemos ahora esta definición para calcular una fórmula de diferenciación para \(\mathit{a}^{\mathit{x}}\). Tenemos
\(\frac{d}{d\mathit{x}} \mathit{a}^{\mathit{x}} = \frac{d}{d\mathit{x}} e^{\mathit{x} \ln \mathit{a}} = e^{\mathit{x} \ln \mathit{a}} \ln \mathit{a} = \mathit{a}^{\mathit{x}} \ln \mathit{a}\).
La fórmula de integración correspondiente se deduce inmediatamente.
Teorema 6.7.6: Derivadas e Integrales Involucrando Funciones Exponenciales Generales
Sea \(\mathit{a} > 0\). Entonces,
\(\frac{d}{d\mathit{x}} \mathit{a}^{\mathit{x}} = \mathit{a}^{\mathit{x}} \ln \mathit{a}\)
y
\(\int \mathit{a}^{\mathit{x}} d\mathit{x} = \frac{1}{\ln \mathit{a}} \mathit{a}^{\mathit{x}} + C\).
♦
Si \(\mathit{a} \neq 1\), entonces la función \(\mathit{a}^{\mathit{x}}\) es uno a uno y tiene una inversa bien definida. Su inversa se denota por \(\log_{\mathit{a}} \mathit{x}\). Entonces,
\(\mathit{y} = \log_{\mathit{a}} \mathit{x} \quad \text{si y sólo si} \quad \mathit{x} = \mathit{a}^{\mathit{y}}\).
Note que las funciones logarítmicas generales se pueden escribir en términos del logaritmo natural. Sea \(\mathit{y} = \log_{\mathit{a}} \mathit{x}\). Entonces, \(\mathit{x} = \mathit{a}^{\mathit{y}}\). Tomando el logaritmo natural de ambos lados de esta segunda ecuación, obtenemos
\(\begin{aligned} \ln \mathit{x} &= \ln (\mathit{a}^{\mathit{y}}) \\ \ln \mathit{x} &= \mathit{y} \ln \mathit{a} \\ \mathit{y} &= \frac{\ln \mathit{x}}{\ln \mathit{a}} \\ \log_{\mathit{a}} \mathit{x} &= \frac{\ln \mathit{x}}{\ln \mathit{a}}. \end{aligned}\)
Por lo tanto, vemos que todas las funciones logarítmicas son múltiplos constantes entre sí. A continuación, usamos esta fórmula para encontrar una fórmula de diferenciación para un logaritmo con base \(\mathit{a}\). Nuevamente, sea \(\mathit{y} = \log_{\mathit{a}} \mathit{x}\). Entonces,
\(\begin{aligned} \frac{d\mathit{y}}{d\mathit{x}} &= \frac{d}{d\mathit{x}} (\log_{\mathit{a}} \mathit{x}) \\ &= \frac{d}{d\mathit{x}} \left( \frac{\ln \mathit{x}}{\ln \mathit{a}} \right) \\ &= \left( \frac{1}{\ln \mathit{a}} \right) \frac{d}{d\mathit{x}} (\ln \mathit{x}) \\ &= \frac{1}{\ln \mathit{a}} \cdot \frac{1}{\mathit{x}} \\ &= \frac{1}{\mathit{x} \ln \mathit{a}}. \end{aligned}\)
Teorema 6.7.7: Derivadas de Funciones Logarítmicas Generales
Sea \(\mathit{a} > 0\). Entonces,
\[ \frac{d}{d\mathit{x}} \log_{\mathit{a}} \mathit{x} = \frac{1}{\mathit{x} \ln \mathit{a}}. \] ♦
Ejemplo ilustrativo 6.7.6: Calculando Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas Generales
Evalúa las siguientes derivadas:
a. \(\frac{d}{d\mathit{t}}(4^{\mathit{t}} \cdot 2^{\mathit{t}^{\,2}})\)
b. \(\frac{d}{d\mathit{x}} \log_{8} (7\mathit{x}^{\,2} + 4)\)
Solución:
Aplicamos la regla de la cadena según sea necesario.
a. \(\frac{d}{d\mathit{t}}(4^{\mathit{t}} \cdot 2^{\mathit{t}^{\,2}}) = \frac{d}{d\mathit{t}}(2^{2\mathit{t}} \cdot 2^{\mathit{t}^{\,2}}) = \frac{d}{d\mathit{t}}(2^{2\mathit{t} + \mathit{t}^{\,2}}) = 2^{2\mathit{t} + \mathit{t}^{\,2}} \ln(2) (2 + 2\mathit{t})\)
b. \(\frac{d}{d\mathit{x}} \log_{8} (7\mathit{x}^{\,2} + 4) = \frac{1}{(7\mathit{x}^{\,2} + 4)(\ln 8)}(14\mathit{x})\)
♦
Ejercicio de control 6.7.6
Evalúa las siguientes derivadas:
a. \(\frac{d}{d\mathit{t}} 4^{\mathit{t}^{\,4}}\)
b. \(\frac{d}{d\mathit{x}} \log_{3} (\sqrt{\mathit{x}^{\,2} + 1})\)
♦
Ejemplo ilustrativo 6.7.7: Integrando Funciones Exponenciales Generales
Evalúa la siguiente integral: \(\int \frac{3}{2^{3\mathit{x}}} d\mathit{x}\).
Solución:
Usando la sustitución u, sea \(\mathit{u} = -3\mathit{x}\). Entonces \(d\mathit{u} = -3 d\mathit{x}\), y tenemos
\(\int \frac{3}{2^{3\mathit{x}}} d\mathit{x} = \int 3 \cdot 2^{-3\mathit{x}} d\mathit{x} = -\int 2^{\mathit{u}} d\mathit{u} = -\frac{1}{\ln 2} 2^{\mathit{u}} + C = -\frac{1}{\ln 2} 2^{-3\mathit{x}} + C\). ♦
Ejercicio de control 6.7.7
Evalúa la siguiente integral: \(\int \mathit{x}^{\,2} 2^{\mathit{x}^{\,3}} d\mathit{x}\). ♦