9. Ecuaciones diferenciales
9.10. Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales
Ejercicios resueltos del capítulo 9

9.10.2 SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

       Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que se puede escribir en la forma

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se llama sistema lineal.

 

El sistema lineal (9.10.2.1) se puede escribir en forma de matriz como

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o más brevemente como

y′ = A(t) y + f (t),              (9.10.2.2)

donde

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Llamamos A la matriz de coeficientes de (9.10.2.2) y f la función de forzamiento. Diremos que A y f son continuas si sus entradas son continuas. Si f = 0, entonces (9.10.2.2) es homogéneo; de lo contrario, (9.10.2.2) es no homogéneo.

 

Un problema de valor inicial para (9.10.2.2) consiste en encontrar una solución de (9.10.2.2) que sea igual a un vector constante dadoEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-32.png

en algún punto inicial t0. Escribimos este problema de valor inicial como

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      El siguiente teorema proporciona condiciones suficientes para la existencia de soluciones de problemas con valores iniciales para (9.10.2.2). Omitimos la prueba.

 

Teorema 9.10.2.1

Suponga que la matriz de coeficientes A y la función de forzamiento f son continuas en un intervalo abierto (a, b), sea t0 un valor en (a, b), y sea k un n-vector constante arbitrario. Entonces el problema del valor inicial

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tiene una solución única en (a, b). ♦

Ejemplo ilustrativo 9.10.2_1

(a)  Escriba el sistemaEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-34.pngen forma de matriz y concluya del teorema 9.10.2.1 que todo problema de valor inicial para (9.10.2.3) tiene una solución única en (−∞, ∞).

(b)  Verifique queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-35.pnges una solución de (9.10.2.3) para todos los valores de las constantes c1 y c2.

(c)  Encuentre la solución del problema de valor inicial

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Solución:

(a)  El sistema (9.10.2.3) se puede escribir en forma de matriz como

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Un problema de valor inicial para (9.10.2.3) se puede escribir como

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Dado que la matriz de coeficientes y la función de forzamiento son ambas continuas en (−∞, ∞), el teorema 9.10.2.1 implica que este problema tiene una solución única en (−∞, ∞).

(b)  Si y está dado por (9.10.2.4), entonces

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(c)  Debemos elegir c1 y c2 en (9.10.2.4) para queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-40.png

que es equivalente aEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-41.pngResolver este sistema produce c1 = 1, c2 = −2, entoncesEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-42.png

OBSERVACIÓN: La teoría de n × n sistemas lineales de ecuaciones diferenciales es análoga a la teoría de la ecuación escalar de n-ésimo orden

P0(t) y(n) + P1(t) y(n − 1) + · · · + Pn(t) y = F(t),              (9.10.2.6)

como se desarrolla en las Secciones 9.9.1. Por ejemplo, reescribiendo (9.10.2.6) como un sistema lineal equivalente se puede demostrar que el teorema 9.10.2.1 implica el teorema 9.9.1.1 (ejercicio 12).

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