| 1. Funciones y sus gráficas |
Conceptos clave
1.1 Revisión de funciones
♦ Una función es un mapeo de un conjunto de entradas a un conjunto de salidas con exactamente una salida para cada entrada.
♦ Si no se establece ningún dominio para una función y = f (x), se considera que el dominio es el conjunto de todos los números reales x para los que se define la función.
♦ Al trazar la gráfica de una función f, cada línea vertical puede intersecar la gráfica, como máximo, una vez.
♦ Una función puede tener cualquier número de ceros, pero tiene, como máximo, una intersección con el eje y.
♦ Para definir la composición g∘f, el rango de f debe estar contenido en el dominio de g.
♦ Las funciones pares son simétricas con respecto al eje y, mientras que las funciones impares son simétricas con respecto al origen.
1.2 Clases básicas de funciones
♦ La función de potencia f (x) = xn es una función par si n es par y n ≠ 0, y es una función impar si n es impar.
♦ La función raíz f (x) = x1/n tiene el dominio [0, ∞) si n es par y el dominio (−∞, ∞) si n es impar. Si n es impar, entonces f (x) = x1/n es una función impar.
♦ El dominio de la función racional f (x) = p(x)/q(x), donde p(x) y q(x) son funciones polinomiales, es el conjunto de x tal que q(x) ≠ 0.
♦ Las funciones que involucran las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división y potencias son funciones algebraicas. Todas las demás funciones son trascendentales. Las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son ejemplos de funciones trascendentales.
♦ Una función polinomial f con grado n ≥ 1 satisface f (x) → ± ∞ cuando x → ± ∞. El signo de la salida como x → ∞ depende únicamente del signo del coeficiente principal y de si n es par o impar.
♦ Los cambios verticales y horizontales, las escalas verticales y horizontales y las reflexiones sobre los ejes x e y son ejemplos de transformaciones de funciones.
1.3 Funciones trigonométricas
♦ La medida en radianes se define de manera que el ángulo asociado con el arco de longitud 1 en el círculo unitario tiene una medida en radianes 1. Un ángulo con una medida en grados de 180° tiene una medida en radianes de π rad.
♦ Para ángulos agudos θ, los valores de las funciones trigonométricas se definen como razones de dos lados de un triángulo rectángulo en el que uno de los ángulos agudos es θ.
♦ Para un ángulo general θ, sea (x, y) un punto en un círculo de radio r correspondiente a este ángulo θ. Las funciones trigonométricas se pueden escribir como razones que involucran x, y, y r.
♦ Las funciones trigonométricas son periódicas. Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen un período 2π. Las funciones tangente y cotangente tienen un período π.
1.4 Funciones inversas
♦ Para que una función tenga una inversa, la función debe ser uno a uno. Dada la gráfica de una función, podemos determinar si la función es uno a uno usando la prueba de la línea horizontal.
♦ Si una función no es uno a uno, podemos restringir el dominio a un dominio más pequeño donde la función es uno a uno y luego definir la inversa de la función en el dominio más pequeño.
♦ Para una función f y su inversa f − 1, f (f − 1(x)) = x para todo x en el dominio de f − 1 y f − 1( f (x)) = x para todo x en el dominio de f.
♦ Dado que las funciones trigonométricas son periódicas, necesitamos restringir sus dominios para definir las funciones trigonométricas inversas.
♦ La gráfica de una función f y su inversa f − 1 son simétricas con respecto a la recta y = x.
1.5 Funciones exponenciales y logarítmicas
♦ La función exponencial y = bx crece si b > 1 y decrece si 0 < b < 1. Su dominio es (−∞, ∞) y su rango es (0, ∞).
♦ La función logarítmica y = logb(x) es la inversa de y = bx. Su dominio es (0, ∞) y su rango es (−∞, ∞).
♦ La función exponencial natural es y = ex y la función logarítmica natural es y = lnx = logex.
♦ Dada una función exponencial o función logarítmica en base a, podemos hacer un cambio de base para convertir esta función a cualquier base b > 0, b ≠ 1. Normalmente convertimos a base e.
♦ Las funciones hiperbólicas involucran combinaciones de las funciones exponenciales ex y e − x. Como resultado, las funciones hiperbólicas inversas involucran el logaritmo natural.