Longitud de arco y curvatura

LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA: Objetivos de aprendizaje

10.10.1 Determine la longitud de la trayectoria de una partícula en el espacio utilizando la función de longitud de arco.
10.10.2 Explica el significado de la curvatura de una curva en el espacio y establece su fórmula.
10.10.3 Describa el significado de los vectores normales y binormales de una curva en el espacio.

En esta sección, estudiamos fórmulas relacionadas con curvas en dos y tres dimensiones, y vemos cómo están relacionadas con varias propiedades de la misma curva. Por ejemplo, supongamos que una función de valor vectorial describe el movimiento de una partícula en el espacio. Nos gustaría determinar qué tan lejos ha viajado la partícula en un intervalo de tiempo determinado, que puede describirse por la longitud del arco de la ruta que sigue. O suponga que la función de valor vectorial describe una carretera que estamos construyendo y queremos determinar qué tan bruscamente se curva la carretera en un punto dado. Esto se describe por la curvatura de la función en ese punto. Exploramos cada uno de estos conceptos en esta sección.

Longitud de arco para funciones vectoriales

Hemos visto cómo una función de valor vectorial describe una curva en dos o tres dimensiones. Recuerde las fórmulas alternativas para la curvatura, que establece que la fórmula para la longitud del arco de una curva definida por las funciones paramétricas x = x (t), y = y (t), t₁ ≤ t ≤ t₂ viene dada por

De manera similar, si definimos una curva suave usando una función de valor vectorial r (t) = f (t) i + g (t) j, donde a ≤ t ≤ b, la longitud del arco viene dada por la fórmula

En tres dimensiones, si la función de valor vectorial se describe por r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k durante el mismo intervalo a ≤ t ≤ b, se da la longitud del arco por

TEOREMA 10.10.1 Fórmulas de longitud de arco i. Curva plana: dada una curva suave C definida por la función r (t) = f (t) i + g (t) j, donde t se encuentra dentro del intervalo [a, b], la longitud del arco de C sobre el intervalo es ii. Curva espacial: dada una curva suave C definida por la función r (t) = f (t) i + g (t) j + h (t) k, donde t se encuentra dentro del intervalo [a, b], la longitud del arco de C durante el intervalo es

Las dos fórmulas son muy similares; solo difieren en el hecho de que una curva espacial tiene tres funciones componentes en lugar de dos. Tenga en cuenta que las fórmulas se definen para curvas suaves: curvas donde la función de valor vectorial r (t) es diferenciable con una derivada distinta de cero. La condición de suavidad garantiza que la curva no tenga cúspides (o esquinas) que puedan hacer que la fórmula sea problemática.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.10_1. Encontrar la longitud del arco

Calcule la longitud del arco para cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales:
a. r (t) = (3t − 2) i + (4t + 5) j, 1 ≤ t ≤ 5
b. r(t) = ⟨tcost, tsent, 2t⟩, 0 ≤ t ≤ 2π

Solución:

a. Usando la primera ecuación del Teorema 10.10.1, r ′ (t) = 3i + 4j, entonces

b. Usando la segunda ecuación del Teorema 10.10.1, r ′ (t) = ⟨cost − tsent, sent + tcost, 2⟩, entonces

Aquí podemos usar una fórmula de integración de tablas

entonces obtenemos

Ahora volvemos a la hélice presentada anteriormente en este capítulo. Una función de valor vectorial que describe una hélice se puede escribir en la forma

donde R representa el radio de la hélice, h representa la altura (distancia entre dos giros consecutivos) y la hélice completa N giros. Derivemos una fórmula para la longitud del arco de esta hélice usando la segunda ecuación del Teorema 10.10.1. Ante todo,

Por lo tanto,

Esto proporciona una fórmula para la longitud de un cable necesario para formar una hélice con N vueltas que tiene radio R y altura h.

Parametrización de longitud de arco

Ahora tenemos una fórmula para la longitud del arco de una curva definida por una función vectorial. Avancemos un paso más y examinemos qué es una función de longitud de arco.

Si una función de valor vectorial representa la posición de una partícula en el espacio como una función del tiempo, entonces la función de longitud de arco mide qué tan lejos viaja esa partícula en función del tiempo. La fórmula para la función de longitud de arco se sigue directamente de la fórmula para la longitud de arco:

Si la curva tiene dos dimensiones, solo aparecen dos términos debajo de la raíz cuadrada dentro de la integral. La razón para usar la variable independiente u es distinguir entre el tiempo y la variable de integración. Dado que s (t) mide la distancia recorrida en función del tiempo, s ‘(t) mide la velocidad de la partícula en un momento dado. Como tenemos una fórmula para s (t) en la ecuación anterior, podemos diferenciar ambos lados de la ecuación:

Si suponemos que r (t) define una curva suave, entonces la longitud del arco siempre aumenta, por lo que s ′ (t) > 0 para t > a. Por último, si r (t) es una curva en la que ∥ r ′ (t) ∥ = 1 para todo t, entonces

lo que significa que t representa la longitud del arco siempre que a = 0.

TEOREMA 10.10.2 Función de longitud de arco Deje r (t) describir una curva suave para t ≥ a. Entonces la función de longitud de arco viene dada por Además, entonces el parámetro t representa la longitud del arco desde el punto de partida en t = a.

Una aplicación útil de este teorema es encontrar una parametrización alternativa de una curva dada, llamada parametrización de longitud de arco. Recuerde que cualquier función de valor vectorial se puede volver a parametrizar mediante un cambio de variables. Por ejemplo, si tenemos una función r (t) = ⟨3cost, 3sent⟩, 0 ≤ t ≤ 2π que parametriza una circunferencia de radio 3, podemos cambiar el parámetro de t a 4t, obteniendo una nueva parametrización r (t) = ⟨3cos4t, 3sen4t⟩. La nueva parametrización aún define una circunferencia de radio 3, pero ahora solo necesitamos usar los valores 0 ≤ t ≤ π/2 para atravesar la circunferencia una vez.

Supongamos que encontramos la función de longitud de arco s (t) y somos capaces de resolver esta función para t como una función de s. Luego podemos volver a parametrizar la función original r (t) sustituyendo la expresión por t nuevamente en r (t). La función de valor vectorial ahora se escribe en términos del parámetro s. Como la variable s representa la longitud del arco, llamamos a esto una parametrización de la función original r (t). Una ventaja de encontrar la parametrización de longitud de arco es que la distancia recorrida a lo largo de la curva a partir de s = 0 ahora es igual al parámetro s. La parametrización de longitud de arco también aparece en el contexto de la curvatura (que examinaremos más adelante en esta sección) y las integrales de línea, que estudiamos en la Introducción al cálculo vectorial.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.10_2. Encontrar una parametrización de longitud de arco

Encuentre la parametrización de longitud de arco para cada una de las siguientes curvas:
a. r (t) = 4cost i + 4sent j, t ≥ 0
b. r (t) = ⟨t + 3,2t − 4,2t⟩, t ≥ 3

Solución:
a. Primero encontramos la función de longitud de arco usando la Ecuación del Teorema 10.10.2:

que da la relación entre la longitud del arco s y el parámetro t como s = 4t; entonces, t = s / 4. A continuación, reemplazamos la variable t en la función original r (t) = 4cost i + 4sent j con la expresión s / 4 para obtener

Esta es la parametrización de longitud de arco de r (t). Como la restricción original en t fue dada por t ≥ 0, la restricción en s se convierte en s / 4 ≥ 0, o s ≥ 0.

b. La función de longitud de arco viene dada por la ecuación dada en el Teorema 10.10.2:

Por lo tanto, la relación entre la longitud del arco s y el parámetro t es s = 3t − 9, entonces t = s/3 + 3. Sustituyendo esto en la función original r (t) = ⟨t + 3,2t − 4,2t⟩ produce

Esta es una parametrización de longitud de arco de r (t). La restricción original en el parámetro t era t ≥ 3, por lo que la restricción en s es (s / 3) + 3 ≥ 3, o s ≥ 0.