| 4.5 Derivadas y la forma de una gráfica |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 4.5

194. Si \(c\) es un punto crítico de \(f(x)\), ¿cuándo no hay un máximo o mínimo local en \(c\)? Explica.

195. Para la función \(y = x^3\), ¿es \(x = 0\) tanto un punto de inflexión como un máximo/mínimo local?

196. Para la función \(y = x^3\), ¿es \(x = 0\) un punto de inflexión?

197. ¿Es posible que un punto \(c\) sea tanto un punto de inflexión como un extremo local de una función dos veces diferenciable?

198. ¿Por qué se necesita continuidad para la prueba de la primera derivada? Da un ejemplo.

199. Explica si una función cóncava hacia abajo tiene que cruzar \(y = 0\) para algún valor de \(x\).

200. Explica si un polinomio de grado 2 puede tener un punto de inflexión.

      Para los siguientes ejercicios, analiza las gráficas de f ′, luego enumera todos los intervalos donde f es creciente o decreciente:

201.

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202.

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203.

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204.

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205.

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Para los siguientes ejercicios, analiza las gráficas de \(f’\), luego enumera todos los intervalos donde
a. \(f\) es creciente y decreciente y
b. se localizan los mínimos y máximos.

206.

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207. 

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208.

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209.

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210.

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      Para los siguientes ejercicios, analiza las gráficas de f ′, luego enumera todos los puntos de inflexión e intervalos de f donde es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo:

211.

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212.

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213.

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214.

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215.

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Para los siguientes ejercicios, dibuja una gráfica que satisfaga las especificaciones dadas para el dominio \(x \in [-3, 3]\). La función no tiene que ser continua ni diferenciable:

  1. \(f(x) > 0, f′(x) > 0\) sobre \(x > 1, -3 < x < 0, f′(x) = 0\) sobre \(0 < x < 1\)

  2. \(f′(x) > 0\) sobre \(x > 2, -3 < x < -1, f′(x) < 0\) sobre \(-1 < x < 2, f′′(x) < 0\) para toda \(x\)

  3. \(f′′(x) < 0\) sobre \(-1 < x < 1, f′′(x) > 0\) sobre \(-3 < x < -1, 1 < x < 3,\) máximo local en \(x = 0,\) mínimos locales en \(x = \pm 2\)

  4. Hay un máximo local en \(x = 2,\) un mínimo local en \(x = 1,\) y la gráfica no es ni cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo.

  5. Hay máximos locales en \(x = \pm 1,\) la función es cóncava hacia arriba para toda \(x,\) y la función permanece positiva para toda \(x\).

Para los siguientes ejercicios, determina: a. intervalos donde \(f\) es creciente o decreciente y
b. mínimos y máximos locales de \(f\).
Si es necesario, usa una calculadora para graficar las funciones, pero muestra tu trabajo.

  1. \(f(x) = \sin x + \sin^3 x\) sobre \(-\pi < x < \pi\)

  2. \(f(x) = x^2 + \cos x\)

Para el siguiente ejercicio, determine a. los intervalos donde f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, y b. los puntos de inflexión de f.

223. \(f(x) = x^3 – 4x^2 + x + 2\)

Para los siguientes ejercicios, determina

a. intervalos donde \(f\) es creciente o decreciente,

b. mínimos y máximos locales de \(f\),

c. intervalos donde \(f\) es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, y

d. los puntos de inflexión de \(f\).

224. \(f(x) = x^2 – 6x\)

225. \(f(x) = x^3 – 6x^2\)

226. \(f(x) = x^4 – 6x^3\)

227. \(f(x) = x^{11} – 6x^{10}\)

228. \(f(x) = x + x^2 – x^3\)

229. \(f(x) = x^2 + x + 1\)

230. \(f(x) = x^3 + x^4\)

Para los siguientes ejercicios, determine:

  • intervalos donde \(f\) es creciente o decreciente,
  • mínimos y máximos locales de \(f\),
  • intervalos donde \(f\) es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, y
  • los puntos de inflexión de \(f\).

Dibuje la curva, luego use una calculadora para comparar su respuesta. Si no puede determinar la respuesta exacta analíticamente, use una calculadora:

  1. [T] \(f(x) = \sin(\pi x) – \cos(\pi x) \text{ sobre } x = [-1, 1]\)
  2. [T] \(f(x) = x + \sin(2x) \text{ sobre } x = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)
  3. [Ω] \(f(x) = \sin x + \tan x \text{ sobre } (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)
  4. [T] \(f(x) = (x – 2)^2(x – 4)^2\)
  5. [T] \(f(x) = \frac{1}{1 – x}, x \ne 1\)
  6. [T] \(f(x) = \frac{\sin x}{x} \text{ sobre } x = [2\pi, 0) \cup (0, 2\pi]\)
  7. [T] \(f(x) = \sin(x)e^x \text{ sobre } x = [-\pi, \pi]\)
  8. [T] \(f(x) = \ln x \sqrt{x}, x > 0\)
  9. [T] \(f(x) = \frac{1}{4}\sqrt{x} + \frac{1}{x}, x > 0\)
  10. [T] \(f(x) = \frac{e^x}{x}, x \ne 0\)

Para los siguientes ejercicios, interprete las oraciones en términos de \(f\), \(f′\) y \(f′′\):

  1. La población está creciendo más lentamente. Aquí \(f\) es la población.
  2. Una bicicleta acelera más rápido, pero un coche va más rápido. Aquí \(f\) = Posición de la bicicleta menos Posición del coche.
  3. El avión aterriza suavemente. Aquí \(f\) es la altitud del avión.
  4. Los precios de las acciones están en su punto máximo. Aquí \(f\) es el precio de la acción.
  5. La economía está cobrando velocidad. Aquí \(f\) es una medida de la economía, como el PIB.

Para los siguientes ejercicios, considere un polinomio de tercer grado \(f(x)\), que tiene las propiedades \(f′(1) = 0\), \(f′(3) = 0\) (no aplicable a los ejercicios 249 y 250). Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

  1. \(f(x) = 0\) para algún \(1 \le x \le 3\)
  2. \(f′′(x) = 0\) para algún \(1 \le x \le 3\)
  3. No hay un máximo absoluto en \(x = 3\)
  4. Si \(f(x)\) tiene tres raíces, entonces tiene 1 punto de inflexión.
  5. Si \(f(x)\) tiene un punto de inflexión, entonces tiene tres raíces reales.
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