Longitud del arco de una curva y área de una superficie

Área de una superficie de revolución

Los conceptos que usamos para encontrar la longitud de arco de una curva se pueden extender para encontrar el área de superficie de una superficie de revolución. El área de superficie es el área total de la capa externa de un objeto. Para objetos como cubos o ladrillos, por ejemplo, la superficie del objeto es la suma de las áreas de todas sus caras. Para superficies curvas, la situación es un poco más compleja. Sea f(x) una función suave no negativa en el intervalo cerrado [a, b]. Deseamos encontrar el área de la superficie de la revolución creada al girar la gráfica de y = f(x) alrededor del eje x como se muestra en la siguiente figura.

Como lo hemos hecho muchas veces antes, vamos a dividir el intervalo [a, b] y aproximar el área de superficie calculando el área de superficie de formas más simples. Comenzamos usando segmentos de recta para aproximar la curva, como lo hicimos anteriormente en esta sección. Para i = 0, 1, 2, …, n, sea P = {x_i} una partición regular de [a, b]. Luego, para i = 1, 2, …, n, se construye un segmento de recta desde el punto (x_{i − 1}, f(x_{i − 1})) hasta el punto (x_i, f(x_i)). Ahora, giramos estos segmentos de recta alrededor del eje x para generar una aproximación de la superficie de revolución como se muestra en la siguiente figura.

Para calcular el área de superficie de la banda, necesitamos encontrar el área de superficie lateral, S, del tronco (el área de solo la superficie exterior inclinada del tronco, sin incluir las áreas de las caras superior o inferior). Sean r₁ y r₂ los radios del extremo ancho y el extremo estrecho del tronco, respectivamente, y sea l la altura inclinada del tronco como se muestra en la siguiente figura.

Sabemos que la superficie lateral de un cono está dada por

Área de superficie lateral = πrs,

donde r es el radio de la base del cono y s es la altura inclinada (vea la siguiente figura).

Dado que un tronco puede considerarse como una pieza de un cono, el área de la superficie lateral del tronco está dada por el área de la superficie lateral de todo el cono menos el área de la superficie lateral del cono más pequeño (la parte puntiaguda) que se cortó (ver la siguiente figura).

Las secciones transversales del cono pequeño y el cono grande son triángulos semejantes, por lo que vemos que

Resolviendo para s, obtenemos

Entonces el área de superficie lateral (SA) del tronco es

Ahora usemos esta fórmula para calcular el área de superficie de cada una de las bandas formadas al girar los segmentos de recta alrededor del eje x. Una banda representativa se muestra en la siguiente figura.

Tenga en cuenta que la altura inclinada de este tronco es solo la longitud del segmento de recta utilizado para generarlo. Entonces, aplicando la fórmula del área de superficie, tenemos

Ahora, como lo hicimos en el desarrollo de la fórmula de longitud de arco, aplicamos el Teorema del valor medio para seleccionar x_i* ∈ [x_{i − 1}, x_i] de modo que f ′ (x_i*) = (Δy_i) / Δx. Esto nos da

Además, dado que f (x) es continua, según el Teorema del valor medio, hay un punto x_i** ∈ [x_{i − 1}, x_i] tal que f (x_i**) = (1/2) [f(x_{i − 1}) + f(x_i)], entonces obtenemos

Esto casi parece una suma de Riemann, excepto que tenemos funciones evaluadas en dos puntos diferentes, x_i* y  x_i** en el intervalo [x_{i − 1}, x_i]. Aunque no examinamos los detalles aquí, resulta que debido a que f (x) es suave, si dejamos n → ∞, el límite funciona igual que una suma de Riemann incluso con los dos puntos de evaluación diferentes. Esto tiene sentido intuitivamente. Tanto x_i* como x_i** están en el intervalo[x_{i − 1}, x_i], por lo que tiene sentido que cuando n → ∞, tanto x_i* como x_i**  tienda a x. Aquellos de ustedes que estén interesados en los detalles deben consultar un texto de cálculo avanzado.

Tomando el límite cuando n → ∞, obtenemos

Al igual que con la longitud del arco, podemos realizar un desarrollo similar para las funciones de y para obtener una fórmula para el área de superficie de las superficies de revolución alrededor del eje y. Estos hallazgos se resumen en el siguiente teorema.

Teorema 6.4.3.  Área superficial de una superficie de revolución

Sea f(x) una función suave no negativa en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces, el área superficial de la superficie de revolución formada al girar la gráfica de f(x) alrededor del eje x viene dada por

Del mismo modo, sea g(y) una función suave no negativa en el intervalo cerrado [c, d]. Entonces, el área superficial de la superficie de revolución formada al girar la gráfica de g(y) entorno del eje y viene dada por

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Ejercicios resueltos