Sucesiones

SUCESIONES: Objetivos de aprendizaje

7.1.1. Encontrar la fórmula para el término general de una sucesión.
7.1.2. Calcular el límite de una sucesión si existe.
7.1.3. Determinar la convergencia o divergencia de una sucesión dada.

En esta sección, presentamos sucesiones (secuencias) y definimos lo que significa que una secuencia converja o diverja. Mostramos cómo encontrar límites de secuencias que convergen, a menudo utilizando las propiedades de límites para las funciones discutidas anteriormente. Cerramos esta sección con el Teorema de la convergencia monótona, una herramienta que podemos usar para demostrar que ciertos tipos de sucesiones convergen.

Terminología de sucesiones

Para trabajar con este nuevo tema, necesitamos algunos términos y definiciones nuevos. Primero, una sucesión infinita es una lista ordenada de números de la forma

Cada uno de los números en la sucesión se llama término. El símbolo n se llama índice variable para la sucesión. Usamos la notación

para denotar esta sucesión. Se utiliza una notación similar para los conjuntos, pero una sucesión es una lista ordenada, mientras que un conjunto no está ordenado. Debido a que existe un número particular a para cada entero positivo n, también podemos definir una sucesión como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos.

Consideremos la lista ordenada infinita

Esta es una sucesión en la que los términos primero, segundo y tercero están dados por a1 = 2, a2 = 4 y a3 = 8. Probablemente pueda ver que los términos en esta sucesión tienen el siguiente patrón:

Suponiendo que este patrón continúa, podemos escribir el enésimo término en la sucesión mediante la fórmula explícita

Usando esta notación, podemos escribir esta secuencia como

Alternativamente, podemos describir esta sucesión de una manera diferente. Como cada término es dos veces el término anterior, esta sucesión se puede definir de forma recursiva expresando el enésimo término an en términos del término anterior an − 1. En particular, podemos definir esta secuencia como la sucesión { an } donde a1 = 2 y para todo n ≥ 2, cada término an está definido por la relación de recurrencia an = 2an − 1.

Definición 7.1.1. Sucesión infinita

Una sucesión infinita {an} es una lista ordenada de números de la forma

    \[a_1,a_2, ..., a_n , ... \]

El subíndice n se denomina índice variable de la sucesión. Cada número

    \[a_n\]

es un término de la sucesión. A veces, las sucesiones se definen mediante fórmulas explícitas, en cuyo caso

    \[a_n = f (n) \]

para alguna función f(n) definida sobre los enteros positivos. En otros casos, las sucesiones se definen mediante el uso de una relación de recurrencia. En una relación de recurrencia, un término (o más) de la secuencia se da explícitamente, y los términos posteriores se definen a partir de términos anteriores de la sucesión .


Tenga en cuenta que el índice no tiene que comenzar en n = 1, podría comenzar con otro entero. Por ejemplo, una sucesión dada por la fórmula explícita

    \[a_n = f (n) \]

podría comenzar en n = 0, en cuyo caso la secuencia sería

    \[a_0, a_1, a_2, ... \]

De manera similar, para una secuencia definida por una relación de recurrencia, el término a₀ puede darse explícitamente, y los términos an para n ≥ 1 pueden definirse en términos de an − 1. Como una secuencia {an} tiene exactamente un valor para cada entero positivo n, puede describirse como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Como resultado, tiene sentido discutir acerca de la gráfica de una sucesión. La gráfica de una secuencia {an} consiste en todos los puntos (n, an) para todos los enteros positivos n. La figura 7.1_1 muestra la gráfica de {2}.

Figura 7.1_1 Los puntos trazados representan una gráfica de la sucesión {2}.

Sucesiones aritméticas y geométricas

Dos tipos de sucesiones ocurren con frecuencia y reciben nombres especiales: sucesiones  aritméticas y sucesiones geométricas.

En una sucesión aritmética, la diferencia entre cada par de términos consecutivos es la misma. Por ejemplo, considere la sucesión

3, 7, 11, 15, 19,….

Puede ver que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es 4. Suponiendo que este patrón continúe, esta secuencia es una sucesión aritmética. Se puede describir esta sucesión utilizando la relación de recurrencia

Tenga en cuenta que

Por lo tanto, la secuencia también se puede describir utilizando la fórmula explícita

En general, una sucesión aritmética es cualquier secuencia de la forma

En una sucesión geométrica, la razón de cada par de términos consecutivos es la misma. Por ejemplo, considere la secuencia

Vemos que la razón de cualquier término al término precedente es −1/3. Suponiendo que este patrón continúa, esta secuencia es una sucesión geométrica. Se puede definir recursivamente como

Alternativamente, dado que

la secuencia se puede describir usando la fórmula explícita

La secuencia {2} que discutimos anteriormente es una sucesión geométrica, donde la razón de cualquier término al término anterior es 2.

En general, una sucesión geométrica es cualquier secuencia de la forma

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.1_1. Encontrar fórmulas explícitas par dos sucesiones

Para cada una de las siguientes secuencias, encuentre una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia.

Solución:
a. Primero, tenga en cuenta que los términos de la secuencia se alternan de negativos a positivos. Los términos impares en la secuencia son negativos y los términos pares son positivos. Por lo tanto, el enésimo término incluye un factor de (−1). Luego, considere la secuencia de numeradores {1, 2, 3, …} y la secuencia de denominadores {2, 3, 4, …}. Podemos ver que ambas secuencias son secuencias aritméticas. El enésimo término en la secuencia de numeradores es n, y el enésimo término en la secuencia de denominadores es n + 1. Por lo tanto, la secuencia se puede describir mediante la fórmula explícita

b. La secuencia de numeradores 3, 9, 27, 81, 243, … es una secuencia geométrica. El numerador del enésimo término es 3. La secuencia de denominadores 4, 7, 10, 13, 16, … es una secuencia aritmética. El denominador del enésimo término es 4 + 3 (n − 1) = 3n + 1. Por lo tanto, podemos describir la secuencia mediante la fórmula explícita

EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.1_2. Sucesión definida por relaciones de recurrencia

Para cada una de las siguientes secuencias definidas recursivamente, encuentre una fórmula explícita para la secuencia.

Solución:
a. Escribiendo los primeros términos, tenemos

En general,

b. Escriba los primeros términos:

De este patrón, deducimos la fórmula explícita

Ejercicios resueltos

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