Derivadas de las funciones trigonométricas

Derivadas de las funciones trigonométricas: Objetivos de aprendizaje

3.5.1. Encuentra las derivadas de las funciones seno y coseno.
3.5.2. Encuentre las derivadas de las funciones trigonométricas estándar.
3.5.3. Calcule las derivadas de orden superior del seno y el coseno.

    Uno de los tipos de movimiento más importantes en física es el movimiento armónico simple, que se asocia con sistemas tales como un objeto con masa que oscila en un resorte. El movimiento armónico simple se puede describir mediante el uso de la funciones seno o coseno. En esta sección ampliamos nuestro conocimiento de fórmulas de derivadas para incluir derivadas de estas y otras funciones trigonométricas. Comenzamos con las derivadas de las funciones seno y coseno y luego las usamos para obtener fórmulas para las derivadas de las cuatro funciones trigonométricas restantes. Ser capaz de calcular las derivadas de las funciones seno y coseno nos permitirá encontrar la velocidad y la aceleración del movimiento armónico simple.

Derivadas de las funciones seno y coseno.

Comenzamos nuestra exploración de la derivada para la función seno usando la fórmula de la definición de la función derivada para hacer una suposición razonable sobre su derivada. Recordemos que para una función f (x),

En consecuencia, para valores de h muy cercanos a 0, f (x) ≈ f (x + h) − f (x) h. Vemos que al usar h = 0.01,

Configurando la notación mediantey usando una utilidad gráfica, podemos obtener la gráfica de una aproximación a la derivada de senx (Figura 3.5_1).

Tras la inspección, la gráfica de D(x) parece estar muy cerca de la gráfica de la función coseno. De hecho, mostraremos que

Si siguiéramos los mismos pasos para aproximar la derivada de la función coseno, encontraríamos que

TEOREMA 3.5.1. Las derivadas de senx y cosx

La derivada de la función seno es el coseno y la derivada de la función coseno es el seno negativo.

Prueba Debido a que las pruebas para d/dx (senx) = cosx y d/dx (cosx) = – senx utilizan técnicas similares, solo proporcionamos la prueba para d/dx (senx) = cosx. Antes de comenzar, recuerde dos límites trigonométricos importantes que aprendimos en Introducción a los límites: Las gráficas de y = (senh)/h y y = (cosh − 1)/h se muestran en la Figura 3.5_2.

Figura 3.5_2 Estas gráficas muestran dos límites importantes necesarios para establecer las fórmulas de derivadas para las funciones seno y coseno.

 

También recordamos la siguiente identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos:

sen(x + h) = senxcosh + cosxsenh.

Ahora que hemos reunido todas las ecuaciones e identidades necesarias, procedemos con la prueba.

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La figura 3.5_3 muestra la relación entre la gráfica de f (x) = senx y su derivada f ′(x) = cosx. Observe que en los puntos donde f (x) = senx tiene una tangente horizontal, su derivada f ′(x) = cosx toma el valor cero. También vemos que donde f (x) = sinx está aumentando, f ′(x = cosx > 0 y donde f (x) = senx está disminuyendo, f ′(x) = cosx < 0.

Ejemplo ilustrativo 3.5_1. Diferenciando una función que contiene sen x

Encuentre la derivada de f (x) = 5x³senx.

Solución:
Usando la regla del producto, tenemos

Después de simplificar, obtenemos

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Ejemplo ilustrativo 3.5_2. Encontrar la derivada de una función que contiene cos x

Encuentre la derivada de g(x) = cosx/4x².

Solución:

Al aplicar la regla del cociente, tenemos

Simplificando, obtenemos

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Ejemplo ilustrativo 3.5_3. Una aplicación a la velocidad

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de tal manera que su posición en el tiempo t viene dada por s(t) = 2sent − t para 0 ≤ t ≤ 2π. ¿A qué horas está la partícula en reposo?

Solución:
Para determinar cuándo la partícula está en reposo, establezca s′(t) = v(t) = 0. Comience por encontrar s′(t). Obtenemos

entonces debemos resolver

Las soluciones a esta ecuación son t = π/3 y t = 5π/3. Así, la partícula está en reposo en los tiempos t = π/3 y t = 5π/3. ◊

Derivados de otras funciones trigonométricas

Dado que las cuatro funciones trigonométricas restantes pueden expresarse como cocientes que involucran seno, coseno o ambos, podemos usar la regla del cociente para encontrar fórmulas para sus derivadas.

Ejemplo ilustrativo 3.5_4. La derivada de la función tangente

Encuentre la derivada de f (x) = tanx.

Solución:
Comience expresando tanx como el cociente de senx y cosx:

Ahora aplique la regla del cociente para obtener

Simplificando, obtenemos

Reconociendo que cos²x + sin²x = 1, según el teorema de Pitágoras, ahora tenemos

Finalmente, use la identidad secx = 1/cosx para obtener

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Las derivadas de las funciones trigonométricas restantes se pueden obtener utilizando técnicas similares. Proporcionamos estas fórmulas en el siguiente teorema.

TEOREMA 3.5.2. Derivadas de tanx, cotx, secx y cscx

Las derivadas de las funciones trigonométricas restantes (tanx, cotx, secx y cscx) son las siguientes:

Ejemplo ilustrativo 3.5_5. Encontrar la ecuación de una recta tangente

Encuentre la ecuación de una recta tangente a la gráfica de f (x) = cotx en x = π/4.

Solución:
Para encontrar la ecuación de la recta tangente, necesitamos un punto y una pendiente en ese punto. Para encontrar el punto, calcule

Así, la recta tangente pasa a través del punto (π/4, 1). Ahora, encuentre la pendiente calculando la derivada de f (x) = cotx y evaluándola en π/4:

Usando la ecuación punto-pendiente de la recta, obtenemos

o equivalente,

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Ejemplo ilustrativo 3.5_6. Encontrar la derivada de funciones trigonométricas

Encuentre la derivada de f (x) = cscx + xtanx.

Solución:
Para encontrar esta derivada, debemos usar tanto la regla de la suma como la regla del producto. Usando la regla de la suma, encontramos

En el primer término, d/dx (cscx) = – cscxcotx, y aplicando la regla del producto al segundo término obtenemos

Por lo tanto, tenemos

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Derivadas de orden superior

Las derivadas de orden superior de senx y cosx siguen un patrón repetitivo. Siguiendo el patrón, podemos encontrar cualquier derivada de orden superior de senx y cosx.

Ejemplo ilustrativo 3.5_7. Encontrar derivadas de orden superior de y = senx

Encuentre las primeras cuatro derivadas de y = senx.

Solución:

Análisis

Una vez que reconocemos el patrón de derivadas, podemos encontrar cualquier derivada de orden superior determinando el paso en el patrón al que corresponde. Por ejemplo, cada cuarta derivada de senx es igual a senx, entonces

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Ejemplo ilustrativo 3.5_8. Uso del patrón para derivadas de orden superior de y = senx

Hallar

Solución:

Podemos ver de inmediato que para la 74 ava derivada de senx, 74 = 4 (18) + 2, entonces

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Ejemplo ilustrativo 3.5_9. Una aplicación para la aceleración

Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de tal manera que su posición en el tiempo t viene dada por s(t) = 2 − sent. Encuentre v(π/4) y a(π/4). Compare estos valores y decida si la partícula se está acelerando o desacelerando.

Solución:

Primero encuentre v(t) = s′(t):

Así,

Luego, encuentre a(t) = v′(t). Por lo tanto, a(t) = v′(t) = sent y tenemos

Como v(π/4) = – 1/√2 < 0 y a(π/4) = 1/√2 > 0, vemos que la velocidad y la aceleración están actuando en direcciones opuestas; es decir, el objeto se acelera en la dirección opuesta a la dirección en la que viaja. En consecuencia, la partícula se está desacelerando. ◊