Ecuaciones paramétricas

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

ECUACIONES PARAMÉTRICAS: Objetivos de aprendizaje

8.1.1. Trazar una curva descrita por ecuaciones paramétricas.

8.1.2. Convertir las ecuaciones paramétricas de una curva en la forma y = f (x).

8.1.3. Reconocer las ecuaciones paramétricas de curvas básicas, como una recta y un círculo.

8.1.4. Reconocer las ecuaciones paramétricas de la cicloide.

       En esta sección examinamos las ecuaciones paramétricas y sus gráficas. En el sistema de coordenadas bidimensional, las ecuaciones paramétricas son útiles para describir curvas que no son necesariamente funciones. El parámetro es una variable independiente de la que dependen tanto la variable x como la variable y, y a medida que aumenta el parámetro, los valores de x e y trazan una ruta a lo largo de una curva plana. Por ejemplo, si el parámetro es t (una opción común), entonces t podría representar el tiempo. Entonces x e y se definen como funciones del tiempo t, y el conjunto de puntos (x(t), y(t)) puede describir la posición en el plano de un objeto dado a medida que se mueve a lo largo de una trayectoria curva.

Ecuaciones paramétricas y sus gráficas

      Considere la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Nuestro año dura aproximadamente 365.25 días, pero para esta discusión usaremos 365 días. El 1 de enero de cada año, la ubicación física de la Tierra con respecto al Sol es casi la misma, excepto en los años bisiestos, cuando el retraso introducido por 1/4 de día adicional de tiempo en órbita está incorporado en el calendario. Llamamos al 1 de enero “día 1” del año. Entonces, por ejemplo, el día 31 es el 31 de enero, el día 59 es el 28 de febrero, y así sucesivamente.

El número del día en un año puede considerarse una variable que determina la posición de la Tierra en su órbita. A medida que la Tierra gira alrededor del Sol, su ubicación física cambia en relación con el Sol. Después de un año completo, estamos de vuelta donde comenzamos, e inicia un nuevo año. De acuerdo con las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario, la forma de la órbita es elíptica, con el Sol en un foco de la elipse. Estudiamos esta idea con más detalle en las secciones cónicas.

Figura 8.1_1  La órbita de la Tierra alrededor del Sol en un año.

La Figura 8.1_1 representa la órbita de la Tierra alrededor del Sol durante un año. El punto etiquetado como F₂ es uno de los focos de la elipse; el otro foco está ocupado por el sol. Si superponemos ejes de coordenadas sobre este gráfico, podemos asignar pares ordenados a cada punto de la elipse (Figura 8.1_2). Entonces, cada valor de x en el gráfico es un valor de posición en función del tiempo, y cada valor de y también es un valor de posición en función del tiempo. Por lo tanto, cada punto en la gráfica corresponde a un valor de la posición de la Tierra en función del tiempo.

Figura 8.1_2  Ejes de coordenadas superpuestos en la órbita de la Tierra.

Podemos determinar las funciones para x(t) e y(t), parametrizando así la órbita de la Tierra alrededor del Sol. La variable t se llama parámetro independiente y, en este contexto, representa el tiempo relativo al comienzo de cada año.

Una curva en el plano (x, y) se puede representar paramétricamente. Las ecuaciones que se utilizan para definir la curva se denominan ecuaciones paramétricas.

DEFINICIÓN 8.1.1.  ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Si x e y son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces las ecuaciones

x = x(t)   e   y = y(t)

se denominan ecuaciones paramétricas  y  t se llama parámetro. El conjunto de puntos (x, y) obtenidos a medida que t varía a lo largo del intervalo I se denomina gráfica de las ecuaciones paramétricas. La gráfica junto con las ecuaciones paramétricas se denomina asimismo curva paramétrica o curva plana, y se denota por C.

Observe en esta definición que x e y se usan de dos maneras distintas. Primero  como funciones de la variable independiente t. Como t varía durante el intervalo I, las funciones x(t) e y(t) generan un conjunto de pares ordenados (x, y). Este conjunto de pares ordenados genera la gráfica de las ecuaciones paramétricas. En este segundo uso, para designar los pares ordenados, x e y son variables. Es importante distinguir las variables x e y de las funciones x(t) e y(t).

EJEMPLO ILUSTRATIVO 8.1_1. Graficar una curva definida paramétricamente

Dibuje las curvas descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas:

  1. x(t) = t − 1, y(t) = 2t + 4, −3 ≤ t ≤ 2
  2. x(t) = t² − 3, y(t) = 2t + 1, −2 ≤ t ≤ 3
  3. x(t) = 4 cost, y(t) = 4 sent, 0 ≤ t ≤ 2π

Solución:

a.  x(t) = t − 1, y(t) = 2t + 4, −3 ≤ t ≤ 2

Para crear un gráfico de esta curva, primero configure una tabla de valores. Dado que la variable independiente tanto en x(t) como en y(t) es t, deje que t aparezca en la primera columna. Entonces, x(t)  y  y(t) aparecerán en la segunda y tercera columnas de la tabla.

t x(t) y(t)
−3 −4 −2
−2 −3 0
−1 −2 2
0 −1 4
1 0 6
2 1 8

La segunda y tercera columnas de esta tabla proporciona un conjunto de puntos que se trazarán. El gráfico de estos puntos aparece en la Figura 8.1_3. Las flechas del gráfico indican la orientación del gráfico, es decir, la dirección en la que se mueve un punto en el gráfico cuando t varía de −3 a 2.

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Figura 8.1_3  Gráfica de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas en la parte a).

b. x(t) = t² − 3, y(t) = 2t + 1, −2 ≤ t ≤ 3

Para crear una gráfica de esta curva, nuevamente configuramos una tabla de valores.

t x(t) y(t)
-2 1 -3
-1 -2 -1
0 -3 1
1 -2 3
2 1 5
3 6 7

Las columnas segunda y tercera en esta tabla dan un conjunto de puntos para ser trazados (Figura 8.1_4). El primer punto en el gráfico (correspondiente a t = −2) tiene coordenadas (1, −3), y el último punto (correspondiente a t = 3) tiene coordenadas (6, 7). A medida que t progresa de −2 a 3, el punto en la curva viaja a lo largo de una parábola. La dirección en la que se mueve el punto se llama nuevamente orientación y se indica en la gráfica.

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Figura 8.1_4  Gráfica de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas en la parte b).

c. x(t) = 4cost, y(t) = 4sent, 0 ≤ t ≤ 2π

En este caso, usamos múltiplos de π/6 para t y creamos la siguiente tabla de valores:

t x(t) y(t)
0 4 0
π/6 2√3 ≈ 3.5 2
π/3 2 2√3 ≈ 3.5
π/2 0 4
2π/3 -2 2√3 ≈ 3.5
5π/6 -2√3 ≈ -3.5 2
π -4 0
7π/6 -2√3 ≈ -3.5 2
2π/3 -2 -2√3 ≈ -3.5
3π/2 0 -4
5π/3 2 -2√3 ≈ -3.5
11π/6 2√3 ≈ 3.5 2
4 0

La gráfica de esta curva plana aparece en el siguiente figura.

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Figura 8.1_5  Gráfica de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas en la parte c).

Esta es la gráfica de una circunferencia de radio 4 centrado en el origen, con una orientación hacia la izquierda. El punto inicial y los puntos finales de la curva tienen coordenadas (4, 0).


Ejercicio de control 8.1_1

Dibuje la curva descrita por las ecuaciones paramétricas

x(t) = 3t + 2, y(t) = t² − 1, −3 ≤ t ≤ 2.

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