Cálculo de curvas paramétricas

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

Cálculo de curvas paramétricas: Objetivos de aprendizaje

8.2.1. Determinar derivadas y ecuaciones de tangentes para curvas paramétricas.
8.2.2. Encuentre el área bajo una curva paramétrica.
8.2.3. Utilice la ecuación para la longitud de arco de una curva paramétrica.
8.2.4. Aplique la fórmula para el área de la superficie a un volumen generado por una curva paramétrica.

       Ahora que hemos introducido el concepto de curva parametrizada, nuestro siguiente paso es aprender a trabajar con este concepto en el contexto del cálculo. Por ejemplo, si conocemos una parametrización de una curva dada, ¿es posible calcular la pendiente de una recta tangente a la curva? ¿Qué tal la longitud del arco de la curva? ¿O el área debajo de la curva?

Otro escenario: supongamos que nos gustaría representar la ubicación de una pelota de béisbol después de que la pelota deja la mano de un lanzador. Si la posición de la pelota de béisbol está representada por la curva plana (x(t), y(t)), entonces deberíamos poder usar el cálculo para encontrar la velocidad de la pelota en un momento dado. Además, deberíamos poder calcular qué tan lejos ha viajado esa bola en función del tiempo. (Vea la solución de este problema).

Derivadas de ecuaciones paramétricas

Comenzamos preguntando cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva paramétrica en un punto. Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas

x(t) = 2t + 3,  y(t) = 3t − 4,  −2 ≤ t ≤ 3.

El gráfico de esta curva aparece en la Figura 8.2_1. Es un segmento de recta que comienza en (−1, −10) y termina en (9, 5).

Figura 8.2_1 Gráfica del segmento de recta descrito por las ecuaciones paramétricas dadas.

Podemos eliminar el parámetro resolviendo primero la ecuación x(t) = 2t + 3 para t:

Sustituyendo esto en y(t), obtenemos

La pendiente de esta recta viene dada por dy/dx = 3/2. A continuación, calculamos x′(t)  y  y′(t). Esto da x′(t) = 2  y  y′(t) = 3. Darse cuenta de

Esto no es una coincidencia, como se describe en el siguiente teorema.

TEOREMA 8.2.1 Derivada de ecuaciones paramétricas

Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas x = x(t)  e  y = y(t). Suponga que existen las derivadas x′(t)  e  y′(t), y suponga que x′(t) ≠ 0. Entonces la derivada dy/dx viene dada por

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Prueba
Este teorema se puede probar usando la regla de la cadena. En particular, suponga que el parámetro t puede eliminarse, dando como resultado una función diferenciable y = F(x). Entonces y(t) = F(x(t)). Diferenciar ambos lados de esta ecuación usando la regla de la cadena produce

y′(t) = F′(x(t)) x(t),
entonces
 

Pero F′(x(t)) = dy/dx, lo que prueba el teorema. ◊


La ecuación de este teorema 8.2.1 se puede utilizar para calcular derivadas de curvas planas, así como puntos críticos. Recuerde que un punto crítico de una función diferenciable y = f (x) es cualquier punto x = x₀ tal que f ′(x₀) = 0  o  f ′(x₀) no existe. Además esta ecuación da una fórmula para la obtención de la pendiente de una recta tangente a una curva definida paramétricamente independientemente de si la curva puede ser descrita por una función y = f (x) o no.

Ejemplo ilustrativo 8.2_1  Encontrar la derivada de una curva paramétrica

Calcule la derivada dy/dx para cada una de las siguientes curvas planas definidas paramétricamente y ubique los puntos críticos en sus respectivos gráficos.

Solución:
a.  Para aplicar la ecuación dada por el Teorema 8.2.1, primero calcule x′(t)  e  y′(t):

A continuación sustituya estas derivadas en la ecuación:

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Esta derivada no está definida cuando t = 0. Al calcular x(0)  y  y(0) se obtiene x(0) = (0)² − 3 = −3  y  y(0) = 2(0)  − 1 = −1, que corresponde al punto (−3, −1) en la gráfica. La gráfica de esta curva es una parábola que abre hacia la derecha y el punto (−3, −1) es su vértice, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 8.2_2 Gráfica de la parábola descrita por ecuaciones paramétricas en el inciso a.

b.  Para aplicar la ecuación dada por el Teorema 8.2.1, primero calcule x′(t)  e  y′(t):

A continuación sustituya estas derivadas en la ecuación:

Esta derivada es cero cuando t = ± 1. Cuando t = −1 tenemos

x(−1) = 2(−1) + 1 = −1  y  y(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6,

que corresponde al punto (−1, 6) en el gráfico. Cuando t = 1 tenemos

x(1) = 2(1) + 1 = 3  y  y(1) = (1)³ − 3 (1) + 4 = 1 − 3 + 4 = 2,

que corresponde al punto (3, 2) del gráfico. El punto (3, 2) es un mínimo relativo y el punto (−1, 6) es un máximo relativo, como se ve en el siguiente gráfico.

Figura 8.2_3 Gráfico de la curva descrita por ecuaciones paramétricas en la parte b.

c.  Para aplicar la ecuación dada por el Teorema 8.2.1, primero calcule x′(t)  e  y′(t):

A continuación sustituya estas derivadas en la ecuación:

Esta derivada es cero cuando cost = 0 y no está definida cuando sent = 0. Esto da t = 0, π/2, π, 3π/2 y 2π como puntos críticos para t. Sustituyendo cada uno de estos en x(t)  y  y(t), obtenemos

t x(t) y(t)
0 5 0
π/2 0 5
π −5 0
3π/2 0 −5
2π 5 0

Estos puntos corresponden a los lados, arriba y abajo de la circunferencia que está representado por las ecuaciones paramétricas (Figura 8.2_4). En los bordes izquierdo y derecho del círculo, la derivada no está definida, y en la parte superior e inferior, la derivada es igual a cero.

Figura 8.2_4 Gráfica de la curva descrita por ecuaciones paramétricas en la parte c.

Ejercicio de control 8.2_1

Calcule la derivada dy/dx para la curva plana definida por las ecuaciones

x(t) = t² − 4ty(t) = 2t³ − 6t,  −2 ≤ t ≤ 3

y ubica los puntos críticos en su gráfica.

Ejemplo ilustrativo 8.2_2 Encontrar una recta tangente

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones

x(t) = t² − 3,  y(t) = 2t − 1, −3 ≤ t ≤ 4  cuando  t = 2.

Solución:
Primero encuentre la pendiente de la recta tangente usando la ecuación dada en el Teorema 8.2.1, lo que requiere calcular x′(t)  y  y′(t):

A continuación sustituya estas derivadas en la ecuación:

Cuando t = 2, dy/dx = 1/2, entonces esta es la pendiente de la recta tangente. Calculando x(2)  e  y(2)  se obtiene

x(2) = (2)² − 3 = 1  y  y(2) = 2(2) − 1 = 3, 

que corresponde al punto (1, 3) del gráfico (Figura 8.2_5). Ahora usa la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta para encontrar la ecuación de la recta tangente:

Figura 8.2_5 Recta tangente a la parábola descrita por las ecuaciones paramétricas dadas cuando t = 2.

Ejercicio de control 8.2_2

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones

x(t) = t² − 4ty(t) = 2t³ − 6t, −2 ≤ t ≤ 3   cuando  t = 5.

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