9.8.7 ECUACIONES DE COEFICIENTES CONSTANTES CON IMPULSOS

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9.8.7 ECUACIONES DE COEFICIENTES CONSTANTES CON IMPULSOS

Hasta ahora en este capítulo, hemos considerado problemas de valor inicial para la ecuación de coeficientes constantes

ay′′ + by′ + cy = f(t),

donde f es continua o continua por tramos en [0, ∞). En esta sección consideramos problemas de valor inicial donde f representa una fuerza que es muy grande por un corto tiempo y cero en caso contrario. Decimos que tales fuerzas son impulsivas. Las fuerzas impulsivas ocurren, por ejemplo, cuando dos objetos chocan. Dado que no es factible representar tales fuerzas como funciones continuas o continuas por partes, debemos construir un modelo matemático diferente para tratar con ellas.

Si f es una función integrable y f(t) = 0 para t fuera del intervalo [t₀, t₀ + h], entonces se llama el impulso total de f. Estamos interesados en la situación idealizada donde h es tan pequeño que se puede suponer que el impulso total se aplica instantáneamente en t = t₀. Decimos en este caso que f es una función impulso. En particular, denotamos por δ(t − t₀) la función impulso con impulso total igual a uno, aplicado en t = t₀. (La función de impulso δ(t) obtenida al establecer t₀ = 0 es la función δ de Dirac.) Sin embargo, debe entenderse que δ(t − t₀) no es una función en el sentido estándar, ya que nuestra “definición” implica que δ(t − t₀) = 0 si t ≠ t₀, mientras que

Del cálculo sabemos que ninguna función puede tener estas propiedades; sin embargo, existe una rama de las matemáticas conocida como teoría de las distribuciones donde la definición puede hacerse rigurosa. Dado que la teoría de las distribuciones está más allá del alcance de este libro, adoptaremos un enfoque intuitivo para las funciones de impulso.

Nuestra primera tarea es definir lo que queremos decir con la solución del problema de valor inicial

ay′′ + by′ + cy = δ(t − t₀), y(0) = 0, y′(0) = 0,

donde t₀ es un número fijo no negativo. El siguiente teorema motivará nuestra definición.

Teorema 9.8.7.1

Supongamos que t₀ ≥ 0. Para cada número positivo h, sea y_h la solución del problema de valor inicial

ay_h′′ + by_h′ + cy_h = f_h(t), y_h(0) = 0, y_h′ (0) = 0, (9.8.7.1)

donde

(9.8.7.2)

entonces f_h tiene un impulso total unitario igual al área del rectángulo sombreado en la Figura 9.8.7.1. Entonces

(9.8.7.3)

donde

♦

Figura 9.8.7.1 y = f_h(t)

Prueba:

Tomando la transformada de Laplace en (9.8.7.1) se obtiene

(as² + bs + c)Y_h(s) = F_h(s),

así que

El teorema de convolución implica que

Por tanto, (9.8.7.2) implica que

(9.8.7.4)

Como y_h(t) = 0 para todo h si 0 ≤ t ≤ t₀, se sigue que

lím _h→0+ y_h(t) = 0 si 0 ≤ t ≤ t₀. (9.8.7.5)

Ahora mostraremos que

lím _h→0+ y_h(t) = 0 si w(t − t₀) si t > t₀. (9.8.7.6)

Suponga que t es fijo y t > t₀. De (9.8.7.4),

(9.8.7.7)

Ya que

(9.8.7.8)

podemos escribir

De lo anterior y (9.8.7.7)

Por lo tanto

(9.8.7.9)

Ahora sea M_h el valor máximo de |w(t − τ) − w(t − t₀)| ya que τ varía en el intervalo [t₀, t₀ + h].
(Recuerde que t y t₀ son fijos). Entonces (9.8.7.8) y (9.8.7.9) implican que

(9.8.7.10)

Pero lim_h→0+ M_h = 0, ya que w es continua. Por lo tanto (9.8.7.10) implica (9.8.7.6). Esto y (9.8.7.5) implican (9.8.7.3). ♦

El teorema 9.8.7.1 motiva la siguiente definición.

Definición 9.8.7.1

Si t₀ > 0, entonces la solución del problema de valor inicial

ay′′ + by′ + cy = δ(t − t₀), y(0) = 0, y′(0) = 0, (9.8.7.11)

se define como

y = u(t − t₀)w(t − t₀),

donde

♦

En aplicaciones físicas donde la entrada f y la salida y de un dispositivo están relacionadas por la ecuación diferencial

ay′′ + by′ + cy = f(t),

w se llama la respuesta de impulso del dispositivo. Tenga en cuenta que w es la solución del problema de valor inicial

aw′′ + bw′ + cw = 0, w(0) = 0, w′(0) = 1/a, (9.8.7.12)

como se puede ver usando la transformada de Laplace para resolver este problema. (Verifique). Por otro lado, podemos resolver (9.8.7.12) por los métodos de la Sección 9.5.2 y mostrar que w está definido en (−∞, ∞) por

o (9.8.7.13)

dependiendo de si el polinomio p(r) = ar² + br + c tiene ceros reales distintos r₁ y r₂, un cero repetido r₁ o ceros complejos conjugados λ ± iω. (En la mayoría de las aplicaciones físicas, los ceros del polinomio característico tienen partes reales negativas, por lo que lim_t→∞ w(t) = 0.) Esto significa que y = u(t − t₀)w(t − t₀) se define en ( −∞, ∞) y tiene las siguientes propiedades:

y(t) = 0, t < t₀,

ay′′ + by′ + cy = 0 en (−∞, t₀) y ( t₀, ∞),

y′₋(t₀) = 0, y′₊(t₀) = 1/a (9.8.7.14)

**Figura 9.8.7.2** Una ilustración del Teorema 9.8.7.1

(recuerde que y′₋(t₀) y y′₊(t₀) son derivadas por la derecha y por la izquierda, respectivamente) y y′(t₀) no existe. Así, aunque definimos y = u(t − t₀)w(t − t₀) como la solución de (9.8.7.11), esta función no satisface la ecuación diferencial en (9.8.7.11) en t₀, ya que no es diferenciable allí; de hecho (9.8.7.14) indica que un impulso provoca una discontinuidad de salto en la velocidad. (Para ver que esto es razonable, piensa en lo que sucede cuando golpeas una pelota con un bate). Esto significa que el problema de valor inicial (9.8.7.11) no tiene sentido si t₀ = 0, ya que y′(0) no tiene sentido. No existe en este caso. Sin embargo y = u(t)w(t) se puede definir como la solución del problema de valor inicial modificado

ay′′ + by′ + cy = δ(t), y(0) = 0, y′₋(0) = 0,

donde la condición sobre la derivada en t = 0 ha sido reemplazada por una condición sobre la derivada por la izquierda.

La Figura 9.8.7.2 ilustra el Teorema 9.8.7.1 para el caso en que la respuesta al impulso w es la primera expresión en (9.8.7.13) y r₁ y r₂ son distintos y ambos negativos. La curva continua en la figura es la gráfica de w. Las curvas punteadas son soluciones de (9.8.7.1) para varios valores de h. A medida que h disminuye, la gráfica de y_h se mueve hacia la izquierda hacia la gráfica de w.

Ejemplo 9.8.7.1

Encuentre la solución del problema de valor inicial

ay′′ − 2y′ + y = δ(t − t₀), y(0) = 0, y′(0) = 0 (9.8.7.15)

donde t₀ > 0. Luego interprete la solución para el caso donde t₀ = 0.

Solución:

Aquí

por lo que la Definición 9.8.7.2 da como resultado

como la solución de (9.8.7.15) si t₀ > 0. Si t₀ = 0, entonces (9.8.7.15) no tiene solución; sin embargo, y = u(t)te^−t (que normalmente escribiríamos simplemente como y = te^−t es la solución del problema de valor inicial modificado

ay′′ − 2y′ + y = δ(t), y(0) = 0, y′₋(0) = 0,

La gráfica de y = u(t − t₀)(t − t₀)e^{−(t − t₀)} se muestra en la Figura 9.8.7.3. ♦

Figura 9.8.7.3 y = u(t − t₀)(t − t₀)e^{−(t − t₀)}

La definición 9.8.7.1 y el principio de superposición motivan la siguiente definición.

Definición 9.8.7.2

Supongamos que α es una constante distinta de cero y f es continua por tramos en [0, ∞). Si t₀ > 0, entonces la solución del problema de valor inicial

ay′′ + by′ + cy = f(t) + αδ(t − t₀), y(0) = k₀, y′(0) = k₁