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9.12.4 Ecuación de Laplace en coordenadas polares

En la Sección 9.12.3 resolvimos problemas de valores en la frontera para la ecuación de Laplace sobre un rectángulo con lados paralelos a los ejes x, y. Ahora consideraremos los problemas de valores de frontera para la ecuación de Laplace sobre regiones con fronteras mejor descritas en términos de coordenadas polares. En este caso es apropiado considerar a u como función de (r, θ) y escribir la ecuación de Laplace en forma polar como

       (9.12.4.1)

donde

    y   

      Comenzamos con el caso donde la región es un disco circular de radio ρ, con centro en el origen; es decir, queremos definir una solución formal del problema de valor en la frontera

      (9.12.4.2)

(Figura 9.12.4.1). Tenga en cuenta que (9.12.4.2) no impone ninguna restricción sobre u(r, θ) cuando r = 0. Abordaremos esta pregunta en el momento apropiado.

Figura 9.12.4.1 El problema del valor en la frontera (9.12.4.2)

      Primero buscamos productos v(r, θ) = R(r)Θ(θ) que satisfagan (9.12.4.1). Para esta función,

para todo (r, θ) con r ≠ 0 si

donde λ es una constante de separación. (Verifique). Esta ecuación es equivalente a

Θ′′ + λΘ = 0

y

r²R′′ + rR′ − λR = 0.        (9.12.4.3)

Dado que (r, π) y (r, −π) son las coordenadas polares del mismo punto, imponemos condiciones de frontera periódicas en Θ; es decir,

Θ′′ + λΘ = 0,  Θ(−π) = Θ(π),  Θ′(−π) = Θ′(π).        (9.12.4.4)

Como no queremos que RΘ sea idénticamente cero, λ debe ser un valor propio de (9.12.4.4) y Θ debe ser una función propia asociada. Del Teorema 9.11.1.6, los valores propios de (9.12.4.4) son λ₀ = 0 con funciones propias asociadas Θ₀ = 1 y, para n = 1, 2, 3, . . ., λ_n = n², con función propia asociada cosnθ y sennθ por lo tanto,

Θ_n = α_n cosnθ + β_n sennθ

donde α_n y β_n son constantes.

      Sustituyendo λ = 0 en (9.12.4.3) se obtiene

r²R′′ + rR′ = 0,

así

y

R₀ = c₂ + c₁ en r.        (9.12.4.5)

Si c₁ ≠ 0 entonces

lo cual no tiene sentido si interpretamos u₀(r, θ) = R₀(r)Θ₀(θ) = R₀(r) como la distribución de temperatura en estado estacionario en un disco cuyo límite se mantiene a la temperatura constante R₀(ρ). Por lo tanto, ahora requerimos que R₀ esté acotado como r → 0+. Esto implica que c₁ = 0, y tomamos c₂ = 1. Por lo tanto, R₀ = 1 y v₀(r, θ) = R₀(I)Θ₀(θ) = 1. Nótese que v₀ satisface (9.12.4.2) con f (θ) = 1.

      Sustituyendo λ = n² en (9.12.4.3) se obtiene la ecuación de Euler

        (9.12.4.6)

para R_n. El polinomio característico de esta ecuación es

s(s − 1) + s − n² = (s − n)(s + n)  

por lo que la solución general de (9.12.4.6) es

R_n = c₁rⁿ + c₂r⁻ⁿ,        (9.12.4.7)

por el Teorema 9.7.4.3. De acuerdo con nuestra suposición anterior sobre R₀, ahora requerimos que R_n esté acotado cuando r → 0+. Esto implica que c₂ = 0, y elegimos c₁ = ρ⁻ⁿ. Entonces R_n(r) = rⁿ/ρⁿ, así

Ahora v_n satisface (9.12.4.2) con

f (θ) = α_n cosnθ + β_n sennθ.

Más generalmente, si α₀, α₁,. . . , α_m  y  β₁, β₂, . . . , β_m son constantes arbitrarias entonces

satisface (9.12.4.2) con

Esto motiva la siguiente definición.

Definición 9.12.4.1

La solución formal acotada del problema de valores en la frontera (9.12.4.2) es

,       (9.12.4.8)

donde

es la serie de Fourier de f en [−π, π]; es decir,

    y        y   

Ya que converge para cada k si 0 < r < ρ, el Teorema 9.12.1.1 se puede usar para mostrar que si 0 < r < ρ entonces (9.12.4.8) se puede diferenciar término por término cualquier número de veces con respecto a r y θ. Dado que los términos en (9.12.4.8) satisfacen la ecuación de Laplace si r > 0, (9.12.4.8) satisface la ecuación de Laplace si 0 < r < ρ. Por lo tanto, dado que u(ρ, θ) = F(θ), u es una solución real de (9.12.4.2) si y solo si

F(θ) = f (θ),   −π ≤ θ < π.

Del Teorema 9.11.2.2, esto es cierto si f es continua y uniforme a trozos en [−π, π] y f (−π) = f (π).

Ejemplo ilustrativo 9.12.4.1

Encuentre la solución formal acotada de (9.12.4.2) con f (θ) = θ(π² − θ²).

Solución:

Del Ejemplo 9.11.2.6,

así que

      ♦

Ejemplo ilustrativo 9.12.4.2

Defina la solución formal de

      (9.12.4.9)

donde 0 < ρ₀ < ρ (Figura 9.12.4.2).

Figura 9.12.4.2 El problema del valor en la frontera (9.12.4.9)

Solución:

Usamos la separación de variables exactamente como antes, excepto que ahora elegimos las constantes en (9.12.4.5) y (9.12.4.7) para que R_n(ρ₀) = 0 para n = 0, 1, 2,. . . . En vista de la condición de Dirichlet no homogénea en el límite r = ρ, también es conveniente exigir que R_n(ρ) = 1 para n = 0, 1, 2,. . . . Te dejamos a ti verificar que

    y   

satisface estos requisitos. Por lo tanto

y

donde α_n y β_n son constantes arbitrarias.

      Si  α₀, α₁,. . . , α_m   y   β₁, β₂, . . . , β_m  son constantes arbitrarias entonces

satisface (9.12.4.9), con

Esto nos motiva a definir la solución formal de (9.12.4.9) para f general como

donde

es la serie de Fourier de f en [−π, π].

Ejemplo ilustrativo 9.12.4.3

Defina la solución formal acotada de

      (9.12.4.10)

donde 0 < γ < 2π (Figura 9.12.4.3).

Figura 9.12.4.3 El problema de valor en la frontera (9.12.4.10)

Solución:

Ahora v(r, θ) = R(r)Θ(θ), donde

r²R′′ + rR′ − λR = 0        (9.12.4.11)

y

Θ′′ + λΘ = 0,   Θ(0) = 0,   Θ(γ) = 0.         (9.12.4.12)

Del Teorema 9.11.1.2, los valores propios de (9.12.4.12) son λ_n = n²π²/γ², con la función propia asociada Θ_n = sennπθ/γ, n = 1, 2, 3,. . . . Sustituyendo λ = n²π²/γ² en (9.12.4.11) se obtiene la ecuación de Euler

El polinomio característico de esta ecuación es

así

por el Teorema 9.7.4.3. Para obtener una solución que permanezca acotada cuando r → 0+ hacemos c₂ = 0. Debido a la condición de Dirichlet en r = ρ, es conveniente tener r(ρ) = 1; por lo tanto, tomamos c₁ = ρ^−nπ/γ, entonces

Ahora

satisface (9.12.4.10) con

Más generalmente, si α₁, α₂, . . . , α_m y son constantes arbitrarias entonces

satisface (9.12.4.10) con

Esto nos motiva a definir la solución formal acotada de (9.12.4.10) como

donde

es la expansión del seno de Fourier de f en [0, γ]; es decir,