Determinación de volúmenes por rebanadas

DETERMINACIÓN DE VOLÚMENES POR REBANADAS: Objetivos de aprendizaje

6.2.1. Determine el volumen de un sólido integrando una sección transversal (el método de rebanado).
6.2.2. Encontrar el volumen de un sólido de revolución usando el método del disco.
6.2.3. Encontrar el volumen de un sólido de revolución con una cavidad utilizando el método de arandelas.

En la sección anterior, usamos integrales definidas para encontrar el área entre dos curvas. En esta sección, usamos integrales definidas para encontrar volúmenes de sólidos tridimensionales. Consideramos tres enfoques (corte, discos y arandelas) para encontrar estos volúmenes, dependiendo de las características del sólido.

Volumen y el método de corte (rebanadas)

Así como el área es la medida numérica de una región bidimensional, el volumen es la medida numérica de un sólido tridimensional. La mayoría de nosotros hemos calculado volúmenes de sólidos usando fórmulas geométricas básicas. El volumen de un sólido rectangular, por ejemplo, se puede calcular multiplicando la longitud, el ancho y la altura: V = lwh.

Las fórmulas para el volumen de una esfera

un cono

y una pirámide

También se han introducido. Aunque algunas de estas fórmulas se obtuvieron usando solo geometría, todas estas fórmulas se pueden obtener mediante la integración.

El cilindro

También podemos calcular el volumen de un cilindro. Aunque la mayoría de nosotros pensamos que un cilindro tiene una base circular, como una lata de sopa o una varilla de metal, en matemáticas la palabra cilindro tiene un significado más general. Para discutir los cilindros en este contexto más general, primero necesitamos definir algo de vocabulario.

Definimos la sección transversal de un sólido como la intersección de un plano con el sólido.

Un cilindro se define como cualquier sólido que se pueda generar por traslación de una región plana a lo largo de una línea perpendicular a la región, llamada eje del cilindro. Por lo tanto, todas las secciones transversales perpendiculares al eje de un cilindro son idénticas. El sólido que se muestra en la figura 6.3 es un ejemplo de un cilindro con una base no circular. Para calcular el volumen de un cilindro, simplemente multiplicamos el área A de la sección transversal por la altura h del cilindro: V = A⋅ h. En el caso de un cilindro circular recto (lata de sopa), esto se convierte en

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Si un sólido no tiene una sección transversal constante (y no es uno de los otros sólidos básicos), es posible que no tengamos una fórmula para su volumen. En este caso, podemos usar una integral definida para calcular el volumen del sólido. Hacemos esto cortando el sólido en trozos, estimando el volumen de cada rebanada y luego sumando esos volúmenes estimados. Todas las rebanadas deben ser paralelas entre sí, y cuando juntamos todas las rebanadas, deberíamos obtener todo el sólido. Considere, por ejemplo, el sólido S que se muestra en la Figura 6.4, que se extiende a lo largo del eje x.

Queremos dividir el sólido S en rodajas perpendiculares al eje x. Como veremos más adelante en el capítulo, puede haber momentos en los que queramos cortar el sólido en otra dirección, por ejemplo, con cortes perpendiculares al eje y. La decisión de qué manera cortar el sólido es muy importante. Si tomamos la decisión equivocada, los cálculos pueden volverse bastante desordenados. Más adelante en el capítulo, examinamos algunas de estas situaciones en detalle y observamos cómo decidir de qué manera cortar el sólido. Para los propósitos de esta sección, sin embargo, usamos cortes perpendiculares al eje x.

Debido a que el área de la sección transversal no es constante, dejamos que A(x) represente el área de la sección transversal en el punto x. Ahora dejemos que P = {x₀, x₁ …, x_n} sea una partición regular del intervalo cerrado [a, b], y para i = 1, 2, … n, dejemos que S_i represente la porción de S que se extiende desde x_{i − 1} a x_i. La siguiente figura muestra el sólido en rodajas con n = 3.

Finalmente, para i = 1, 2, … n, sea x_i* un punto arbitrario en [x_{i − 1}, x_i]. Entonces, el volumen del segmento S_i puede estimarse por V(S_i) ≈ A(x_i*)Δx. Sumando estas aproximaciones juntas, vemos que el volumen de todo el sólido S puede aproximarse por

Por ahora, podemos reconocer esto como una suma de Riemann, y nuestro siguiente paso es tomar el límite cuando  n → ∞. Entonces tenemos

La técnica que acabamos de describir se llama método de rebanado. Para aplicarlo, utilizamos la siguiente estrategia.

Estrategia para resolver problemas: Encontrar volúmenes por el método de REBANADO

1. Examine el sólido y determine la forma de una sección transversal del sólido. A menudo es útil hacer un dibujo si no se proporciona uno.
2. Determine una fórmula para el área de la sección transversal.
3. Integre la fórmula del área sobre el intervalo apropiado para obtener el volumen.

Recuerde que en esta sección, asumimos que los cortes son perpendiculares al eje x. Por lo tanto, la fórmula del área está en términos de x y los límites de integración se encuentran en el eje x. Sin embargo, la estrategia de resolución de problemas que se muestra aquí es válida independientemente de cómo elijamos cortar el sólido.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 6.2_1.  Derivando la fórmula para el volumen de una pirámide

Sabemos por la geometría que la fórmula para el volumen de una pirámide es V = (1/3)Ah. Si la pirámide tiene una base cuadrada, esto se convierte en V = (1/3)a²h, donde a denota la longitud de un lado de la base. Usaremos el método de corte para derivar esta fórmula.

Solución:

Queremos aplicar el método de corte a una pirámide con una base cuadrada. Para configurar la integral, considere la pirámide que se muestra en la Figura 6.6, orientada a lo largo del eje x.

(Figura 6.6 (a) Una pirámide con una base cuadrada está orientada a lo largo del eje x. (b) Una vista bidimensional de la pirámide se ve de lado.)

Primero queremos determinar la forma de una sección transversal de la pirámide. Sabemos que la base es un cuadrado, por lo que las secciones transversales también son cuadrados (paso 1). Ahora queremos determinar una fórmula para el área de uno de estos cuadrados transversales. Mirando la Figura 6.6 (b), y usando una proporción, dado que estos son triángulos semejantes, tenemos

Por lo tanto, el área de uno de los cuadrados de sección transversal es

Luego encontramos el volumen de la pirámide integrando de 0 a h (paso 3):

Esta es la fórmula que estábamos buscando.

Ejercicio de control 6.2_1

Utilice el método de corte para obtener la fórmula V = (1/3)πr²h para el volumen de un cono circular.