| 10. Cálculo vectorial – Vectores en el espacio | Ejercicios propuestos para el Capítulo 10.14 |

10.14 Campos de vectores conservadores

Objetivo de aprendizaje:

10.14.1 Describir curvas simples y cerradas; definir regiones conexas y simplemente conexas.
10.14.2 Explicar cómo encontrar una función potencial para un campo vectorial conservativo.
10.14.3 Usar el Teorema Fundamental para Integrales de Línea para evaluar una integral de línea en un campo vectorial.
10.14.4 Explicar cómo probar un campo vectorial para determinar si es conservativo.

En esta sección, continuamos el estudio de los campos vectoriales conservativos. Examinamos el Teorema Fundamental para Integrales de Línea, que es una generalización útil del Teorema Fundamental del Cálculo a las integrales de línea de campos vectoriales conservativos. También mostramos cómo probar si un campo vectorial dado es conservativo, y determinamos cómo construir una función potencial para un campo vectorial que se sabe que es conservativo.

Curvas y Regiones

Antes de continuar nuestro estudio de los campos vectoriales conservativos, necesitamos algunas definiciones geométricas. Los teoremas de las secciones siguientes se basan en la integración sobre ciertos tipos de curvas y regiones, por lo que desarrollamos aquí las definiciones de esas curvas y regiones.

Primero definimos dos tipos especiales de curvas: curvas cerradas y curvas simples. Como hemos aprendido, una curva cerrada es aquella que comienza y termina en el mismo punto. Una curva simple es aquella que no se cruza a sí misma. Una curva que es a la vez cerrada y simple es una curva cerrada simple (Figura 10.14.1).

Definición 10.14.1

La curva C es una closed curve si existe una parametrización \( \mathbf{r}(t), a \leq t \leq b \) de C tal que la parametrización recorre la curva exactamente una vez y \( \mathbf{r}(a) = \mathbf{r}(b) \). La curva C es una simple curve si C no se cruza a sí misma. Es decir, C es simple si existe una parametrización \( \mathbf{r}(t), a \leq t \leq b \) de C tal que \( \mathbf{r} \) es uno a uno sobre \( (a, b) \). Es posible que \( \mathbf{r}(a) = \mathbf{r}(b) \), lo que significa que la curva simple también está cerrada. ♦

Figura 10.14.1 Tipos de curvas que son simples o no simples y cerradas o no cerradas.

Ejemplo ilustrativo 10.14.1: Determinación de si una Curva es Simple y Cerrada

¿Es la curva con parametrización \( \mathbf{r}(t) = \left\langle \cos t, \frac{\sin(2t)}{2} \right\rangle, 0 \leq t \leq 2\pi \) una curva simple cerrada?

Solución:

Ten en cuenta que \( \mathbf{r}(0) = \langle 1, 0 \rangle = \mathbf{r}(2\pi) \); por lo tanto, la curva es cerrada. Sin embargo, la curva no es simple. Para ver esto, ten en cuenta que \( \mathbf{r}\left( \frac{\pi}{2} \right) = \langle 0, 0 \rangle = \mathbf{r}\left( \frac{3\pi}{2} \right) \), y por lo tanto la curva se cruza a sí misma en el origen (Figura 10.14.2).

Figura 10.14.2 Una curva que es cerrada pero no simple.

Ejercicio de control 10.14.1

¿Es la curva dada por parametrización \( \mathbf{r}(t) = \langle 2 \cos t, 3 \sin t \rangle \), \( 0 \leq t \leq 6\pi \), una curva simple cerrada? ♦

      Muchos de los teoremas de este capítulo relacionan una integral sobre una región con una integral sobre la frontera de la región, donde la frontera de la región es una curva cerrada simple o una unión de curvas cerradas simples. Para desarrollar estos teoremas, necesitamos dos definiciones geométricas para las regiones: la de región conexa y la de región simplemente conexa. Una región conexa es aquella en la que existe un camino dentro de la región que conecta dos puntos cualesquiera que se encuentren dentro de esa región. Una región simplemente conexa es una región conexa que no tiene ningún agujero. Estas dos nociones, junto con la noción de curva cerrada simple, nos permiten enunciar varias generalizaciones del Teorema Fundamental del Cálculo más adelante en el capítulo. Estas dos definiciones son válidas para regiones en cualquier número de dimensiones, pero solo nos interesan las regiones en dos o tres dimensiones.

Definición 10.14.2

Una región \( D \) es una región conexa si, para dos puntos cualesquiera \( P_1 \) y \( P_2 \), existe un camino desde \( P_1 \) hasta \( P_2 \) con un trazo contenido completamente dentro de \( D \). Una región \( D \) es una región simplemente conexa si \( D \) está conectada para cualquier curva cerrada simple \( C \) que se encuentre dentro de \( D \), y la curva \( C \) se puede reducir continuamente a un punto mientras se mantiene completamente dentro de \( D \). En dos dimensiones, una región es simplemente conexa si está conectada y no tiene agujeros. ♦

Todas las regiones simplemente conexas son conexas, pero no todas las regiones conexas son simplemente conexas (Figura 10.14.3).

Figura 10.14.3 No todas las regiones conexas son simplemente conexas. (a) Las regiones simplemente conexas no tienen agujeros. (b) Las regiones conexas que no son simplemente conexas pueden tener agujeros, pero aún se puede encontrar un camino en la región entre dos puntos cualesquiera. (c) Una región que no es conexa tiene algunos puntos que no pueden ser conectados por un camino en la región.

Ejercicio de control 10.14.2

¿Es conexa la región de la imagen inferior? ¿Es la región simplemente conexa?

♦

Teorema Fundamental para Integrales de Línea

Ahora que entendemos algunas curvas y regiones básicas, generalicemos el Teorema Fundamental del Cálculo a las integrales de línea. Recuerda que el Teorema Fundamental del Cálculo dice que si una función \( f \) tiene una antiderivada \( F \), entonces la integral de \( f \) desde \( a \) hasta \( b \) depende solo de los valores de \( F \) en \( a \) y en \( b \), es decir:

\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a). \]

Si pensamos en el gradiente como una derivada, entonces el mismo teorema se cumple para las integrales de línea vectoriales. Mostramos cómo funciona esto usando un ejemplo motivacional.

Ejemplo ilustrativo 10.14.2: Evaluación de una Integral de Línea y las Antiderivadas de los Puntos Extremos

Sea \( \mathbf{F}(x, y) = \langle 2x, 4y \rangle \). Calcula \( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \), donde \( C \) es el segmento de línea desde \( (0, 0) \) hasta \( (2, 2) \) (Figura 10.14.4).

Solución:

Usamos la Ecuación ♠ para calcular \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\). La curva C puede ser parametrizada por \(\mathbf{r}(t) = \langle 2t, 2t \rangle\), \(0 \leq t \leq 1\). Entonces, \(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \langle 4t, 8t \rangle\) y \(\mathbf{r}'(t) = \langle 2, 2 \rangle\), lo que implica que

\[\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 \langle 4t, 8t \rangle \cdot \langle 2, 2 \rangle dt \] \[ = \int_0^1 (8t + 16t) dt = \int_0^1 24t dt \] \[ = \left[12t^2\right]_0^1 = 12. \]

Nótese que F = \(\nabla f\), donde \(f(x, y) = x^2 + 2y^2\). Si pensamos en el gradiente como una derivada, entonces f es una “antiderivada” de F. En el caso de integrales de una sola variable, la integral de la derivada g’(x) es g(b) − g(a), donde a es el punto de inicio del intervalo de integración y b es el punto final. Si las integrales de línea vectoriales funcionan como integrales de una sola variable, entonces esperaríamos que la integral de línea de F fuera f(P₁) − f(P₀), donde P₁ es el punto final de la curva de integración y P₀ es el punto de inicio.

Nótese que este es el caso para este ejemplo:

\[\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = 12\]

y

\[f(2, 2) − f(0, 0) = 4 + 8 − 0 = 12.\]

En otras palabras, la integral de una “derivada” puede ser calculada evaluando una “antiderivada” en los extremos de la curva y restando, justo como para integrales de una sola variable. ♦

      El siguiente teorema establece que, bajo ciertas condiciones, lo que ocurrió en el ejemplo anterior se cumple para cualquier campo gradiente. El mismo teorema es válido para las integrales de línea vectoriales, al cual llamamos el Teorema Fundamental para las Integrales de Línea.

Teorema 10.14.1: Teorema Fundamental de las Integrales de Línea

Sea C una curva suave a trozos con parametrización \(\mathbf{r}(t)\), \(a \leq t \leq b\). Sea f una función de dos o tres variables con derivadas parciales de primer orden que existen y son continuas en C. Entonces,

\[\int_{C} \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(\mathbf{r}(b)) – f(\mathbf{r}(a)).\]

♦

Prueba:

Por la Ecuación ♠,

\[\int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \nabla f(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt.\]

Por la regla de la cadena,

\[\frac{d}{dt}(f(\mathbf{r}(t))) = \nabla f(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t).\]

Por lo tanto, por el Teorema Fundamental del Cálculo,

\[\begin{aligned} \int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} &= \int_a^b \nabla f(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt \\ &= \int_a^b \frac{d}{dt}(f(\mathbf{r}(t))) \, dt \\ &= \left[f(\mathbf{r}(t))\right]_{t=a}^{t=b} \\ &= f(\mathbf{r}(b)) – f(\mathbf{r}(a)). \end{aligned}\]

♦

Sabemos que si F es un campo vectorial conservativo, existen funciones potenciales f tales que \(\nabla f = \mathbf{F}\). Por lo tanto,

\[\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(\mathbf{r}(b)) – f(\mathbf{r}(a)).\]

En otras palabras, al igual que con el Teorema Fundamental del Cálculo, calcular la integral de línea \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\), donde F es conservativo, es un proceso de dos pasos: (1) encontrar una función potencial (“antiderivada”) f para F y (2) calcular el valor de f en los extremos de C y calcular su diferencia \(f(\mathbf{r}(b)) – f(\mathbf{r}(a))\). Ten en cuenta, sin embargo, que hay una diferencia importante entre el Teorema Fundamental del Cálculo y el Teorema Fundamental para Integrales de Línea. Una función de una variable que es continua debe tener una antiderivada. Sin embargo, un campo vectorial, incluso si es continuo, no necesita tener una función potencial.

Ejemplo ilustrativo 10.14.3: Aplicación del Teorema Fundamental

Calcular la integral \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = \left\langle 2x \ln y, \frac{x^2}{y} + z^2, 2yz \right\rangle\) y C es una curva con parametrización \(\mathbf{r}(t) = \langle t^2, t, t \rangle\), \(1 \leq t \leq e\)

1. sin usar el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea y
2. usando el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea.

Solución:

1. Primero, calculemos la integral sin el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea, y en su lugar use la Ecuación ♠:

\[\begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} &= \int_1^e \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt \\ &= \int_1^e \left\langle 2t^2 \ln t, \frac{t^4}{t} + t^2, 2t^2 \right\rangle \cdot \langle 2t, 1, 1 \rangle \, dt \\ &= \int_1^e (4t^3 \ln t + t^3 + 3t^2) \, dt \\ &= \int_1^e 4t^3 \ln t \, dt + \int_1^e (t^3 + 3t^2) \, dt \\ &= \int_1^e 4t^3 \ln t \, dt + \left[\frac{t^4}{4} + t^3\right]_1^e \\ &= 4 \int_1^e t^3 \ln t \, dt + \frac{e^4}{4} + e^3 – \frac{5}{4}. \end{aligned}\]

Integral \(\int_1^e t^3 \ln t \, dt\) requiere integración por partes. Sea \(u = \ln t\) y \(dv = t^3\). Entonces

\(du = \frac{1}{t} dt\), \(v = \frac{t^4}{4}\).

Por lo tanto,

\[\begin{aligned} \int_1^e t^3 \ln t \, dt &= \left[\frac{t^4}{4} \ln t\right]_1^e – \frac{1}{4} \int_1^e t^3 \, dt \\ &= \frac{e^4}{4} – \frac{1}{4}\left(\frac{e^4}{4} – \frac{1}{4}\right). \end{aligned}\]

Por lo tanto,

\[\begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} &= 4 \left( \frac{e^4}{4} – \frac{1}{4}\left(\frac{e^4}{4} – \frac{1}{4}\right) \right) + \frac{e^4}{4} + e^3 – \frac{5}{4} \\ &= e^4 – \frac{e^4}{4} + \frac{1}{4} + \frac{e^4}{4} + e^3 – \frac{5}{4} \\ &= e^4 + e^3 – 1. \end{aligned}\]

2. Dado que \(f(x, y, z) = x^2 \ln y + yz^2\) es una función potencial para \(\mathbf{F}\), usemos el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea para calcular la integral. Note que

\[\begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} &= \int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} \\ &= f(\mathbf{r}(e)) – f(\mathbf{r}(1)) \\ &= f(e^2, e, e) – f(1, 1, 1) \\ &= e^4 + e^3 – 1. \end{aligned}\]

Este cálculo es mucho más sencillo que el cálculo que hicimos en (a). Siempre que tengamos una función potencial, calcular una integral de línea usando el Teorema Fundamental para Integrales de Línea es mucho más fácil que calcular sin el teorema. ♦

El Ejemplo anterior ilustra una característica favorable del Teorema Fundamental de las Integrales de Línea: nos permite calcular más fácilmente muchas integrales de línea vectoriales. Siempre que tengamos una función potencial, calcular la integral de línea es solo cuestión de evaluar la función potencial en los puntos extremos y restar.

Ejercicio de control 10.14.3

Dado que \(f(x, y) = (x – 1)^2 y + (y + 1)^2 x\) es una función potencial para \(\mathbf{F} = \left\langle 2xy – 2y + (y + 1)^2, (x – 1)^2 + 2yx + 2x \right\rangle\), calcular la integral \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\), donde C es la mitad inferior del círculo unitario orientado en sentido antihorario.

♦

El Teorema Fundamental para Integrales de Línea tiene dos consecuencias importantes. La primera consecuencia es que si F es conservativo y C es una curva cerrada, entonces la circulación de F a lo largo de C es cero; es decir, \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0\). Para ver por qué esto es cierto, sea f una función potencial para F. Dado que C es una curva cerrada, el punto terminal \(\mathbf{r}(b)\) de C es el mismo que el punto inicial \(\mathbf{r}(a)\) de C; es decir, \(\mathbf{r}(a) = \mathbf{r}(b)\). Por lo tanto, por el Teorema Fundamental para Integrales de Línea,

\[\begin{aligned} \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} &= \int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} \\ &= f(\mathbf{r}(b)) – f(\mathbf{r}(a)) \\ &= f(\mathbf{r}(b)) – f(\mathbf{r}(b)) \\ &= 0. \end{aligned}\]

Recuerda que la razón por la que un campo vectorial conservativo F se llama “conservativo” es porque tales campos vectoriales modelan fuerzas en las que la energía se conserva. Hemos mostrado que la gravedad es un ejemplo de tal fuerza. Si pensamos en el campo vectorial F en la integral \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) como un campo gravitacional, entonces la ecuación \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0\) se deduce. Si una partícula viaja a lo largo de una trayectoria que comienza y termina en el mismo lugar, entonces el trabajo realizado por la gravedad sobre la partícula es cero.

La segunda consecuencia importante del Teorema Fundamental para Integrales de Línea es que las integrales de línea de campos vectoriales conservativos son independientes de la trayectoria; lo que significa que solo dependen de los extremos de la curva dada y no dependen de la trayectoria entre los extremos.

Definición 10.14.3

Sea F un campo vectorial con dominio D. El campo vectorial F es independiente de la trayectoria (o independiente del camino) si

\[\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\]

para cualesquiera trayectorias C₁ y C₂ en D con los mismos puntos iniciales y terminales. ♦

La segunda consecuencia se expresa formalmente en el siguiente teorema.

Teorema 10.14.2: Independencia de la Trayectoria en Campos Conservativos

Si F es un campo vectorial conservativo, entonces F es independiente de la trayectoria. ♦

Prueba:

Sea D el dominio de F y sean C₁ y C₂ dos trayectorias en D con los mismos puntos iniciales y terminales (Figura 10.14.5). Llama P₁ al punto inicial y P₂ al punto terminal. Dado que F es conservativo, existe una función potencial f para F. Por el Teorema Fundamental para Integrales de Línea,

\[\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(P_2) – f(P_1) = \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.\]

Por lo tanto, \(\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) y F es independiente de la trayectoria. ♦

Figura 10.14.5 El campo vectorial es conservativo y, por lo tanto, independiente del camino.

Para visualizar lo que significa la independencia del camino, imagine tres excursionistas que suben desde el campamento base hasta la cima de una montaña. El excursionista 1 toma una ruta empinada directamente desde el campamento hasta la cima. El excursionista 2 toma una ruta sinuosa que no es empinada desde el campamento hasta la cima. El excursionista 3 comienza tomando la ruta empinada, pero a mitad de camino hacia la cima decide que es demasiado difícil para él. Por lo tanto, regresa al campamento y toma el camino no empinado hasta la cima. Los tres excursionistas viajan por caminos en un campo gravitatorio. Dado que la gravedad es una fuerza en la que se conserva la energía, el campo gravitatorio es conservativo. Por la independencia del camino, la cantidad total de trabajo realizado por la gravedad en cada uno de los excursionistas es la misma porque todos comenzaron en el mismo lugar y terminaron en el mismo lugar. El trabajo realizado por los excursionistas incluye otros factores como la fricción y el movimiento muscular, por lo que la cantidad total de energía que cada uno gastó no es la misma, pero la energía neta gastada contra la gravedad es la misma para los tres excursionistas.

Hemos demostrado que si F es conservativo, entonces F es independiente del camino. Resulta que si el dominio de F es abierto y conexo, entonces la inversa también es cierta. Es decir, si F es independiente del camino y el dominio de F es abierto y conexo, entonces F es conservativo. Por lo tanto, el conjunto de campos vectoriales conservativos en dominios abiertos y conexos es precisamente el conjunto de campos vectoriales independientes del camino.

Teorema 10.14.3: La Prueba de Independencia del Camino para Campos Conservativos

Si F es un campo vectorial continuo que es independiente del camino y el dominio D de F es abierto y conexo, entonces F es conservativo. ♦

Prueba:

Demostramos el teorema para campos vectoriales en \(\mathbb{R}^2\). La demostración para campos vectoriales en \(\mathbb{R}^3\) es similar. Para mostrar que \(\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\) es conservativo, debemos encontrar una función potencial f para F. Para ese fin, sea X un punto fijo en D. Para cualquier punto \((x, y)\) en D, sea C una trayectoria desde X hasta \((x, y)\). Definimos \(f(x, y)\) por \(f(x, y) = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\). (Note que esta definición de f tiene sentido solo porque F es independiente de la trayectoria. Si F no fuera independiente de la trayectoria, entonces podría ser posible encontrar otra trayectoria C’ desde X hasta \((x, y)\) tal que \(\int_{C’} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \neq \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\), y en tal caso \(f(x, y)\) no sería una función). Queremos mostrar que f tiene la propiedad \(\nabla f = \mathbf{F}\).

Dado que el dominio D está abierto, es posible encontrar un disco centrado en \((x, y)\) tal que el disco esté contenido completamente dentro de D. Sea \((a, y)\) con \(a < x\) un punto en ese disco. Sea C una trayectoria desde X hasta \((x, y)\) que consta de dos piezas: C₁ y C₂. La primera pieza, C₁, es cualquier trayectoria desde X hasta \((a, y)\) que permanezca dentro de D; C₂ es el segmento de línea horizontal desde \((a, y)\) hasta \((x, y)\) (Figura 10.14.6). Entonces

\[f(x, y) = \int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} + \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.\]

La primera integral no depende de x, entonces

\[f_x = \frac{\partial}{\partial x} \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.\]

Si parametrizamos C₂ por \(\mathbf{r}(t) = \langle t, y \rangle\), \(a \leq t \leq x\), entonces

\[\begin{aligned} f_x &= \frac{\partial}{\partial x} \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \\ &= \frac{\partial}{\partial x} \int_a^x \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt \\ &= \frac{\partial}{\partial x} \int_a^x \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \frac{d}{dt}(\langle t, y \rangle) \, dt \\ &= \frac{\partial}{\partial x} \int_a^x \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \langle 1, 0 \rangle \, dt \\ &= \frac{\partial}{\partial x} \int_a^x P(t, y) \, dt. \end{aligned}\]

Por el Teorema Fundamental del Cálculo (parte 1),

\[f_x = \frac{\partial}{\partial x} \int_a^x P(t, y) \, dt = P(x, y).\]

Figura 10.14.6 Aquí, C₁ es cualquier camino desde X hasta (a, y) que se mantiene dentro de D, y C₂ es el segmento de línea horizontal desde (a, y) hasta (x, y).

Un argumento similar usando un segmento de línea vertical en lugar de un segmento de línea horizontal muestra que f_y = Q(x, y).

Por lo tanto, ∇f = F y F es conservativo. ♦

      Hemos dedicado mucho tiempo a discutir y demostrar la Independencia del Camino de los Campos Conservativos y la Prueba de Independencia del Camino para Campos Conservativos, pero podemos resumirlos simplemente: un campo vectorial F en un dominio abierto y conexo es conservativo si y solo si es independiente del camino. Es importante saber esto porque los campos vectoriales conservativos son extremadamente importantes en las aplicaciones, y estos teoremas nos dan una forma diferente de ver lo que significa ser conservativo usando la independencia del camino.

Ejemplo ilustrativo 10.14.4: Demostrando que un Campo Vectorial No es Conservativo

Use la independencia de la trayectoria para mostrar que el campo vectorial \(\mathbf{F}(x, y) = \langle x^2 y, y + 5 \rangle\) no es conservativo.

Solución:

Podemos indicar que F no es conservativo mostrando que F no es independiente de la trayectoria. Lo hacemos dando dos trayectorias diferentes, C₁ y C₂, que ambas comienzan en (0, 0) y terminan en (1, 1), y aún así \(\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \neq \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\).

Sea C₁ la curva con parametrización \(\mathbf{r}_1(t) = \langle t, t \rangle\), \(0 \leq t \leq 1\) y sea C₂ la curva con parametrización \(\mathbf{r}_2(t) = \langle t, t^2 \rangle\), \(0 \leq t \leq 1\) (Figura 10.14.7). Entonces

\[\begin{aligned} \int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} &= \int_0^1 \mathbf{F}(\mathbf{r}_1(t)) \cdot \mathbf{r}’_1(t) \, dt \\ &= \int_0^1 \langle t^3, t + 5 \rangle \cdot \langle 1, 1 \rangle \, dt \\ &= \int_0^1 (t^3 + t + 5) \, dt \\ &= \left[\frac{t^4}{4} + \frac{t^2}{2} + 5t\right]_0^1 = \frac{23}{4} \end{aligned}\]

y

\[\begin{aligned} \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} &= \int_0^1 \mathbf{F}(\mathbf{r}_2(t)) \cdot \mathbf{r}’_2(t) \, dt \\ &= \int_0^1 \langle t^4, t^2 + 5 \rangle \cdot \langle 1, 2t \rangle \, dt \\ &= \int_0^1 (t^4 + 2t^3 + 10t) \, dt \\ &= \left[\frac{t^5}{5} + \frac{t^4}{2} + 5t^2\right]_0^1 = \frac{57}{10}. \end{aligned}\]

Dado que \(\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \neq \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\), el valor de una integral de línea de F depende de la trayectoria entre dos puntos dados. Por lo tanto, F no es independiente de la trayectoria, y F no es conservativo.

Figura 10.14.7 Las curvas C₁ y C₂ están orientadas de izquierda a derecha. ♦

Ejercicio de control 10.14.4

Muestre que \(\mathbf{F}(x, y) = \langle xy, x^2 y^2 \rangle\) no es independiente de la trayectoria al considerar el segmento de línea de (0, 0) a (2, 2) y la pieza de la gráfica de \(y = \frac{x^2}{2}\) que va de (0, 0) a (2, 2). ♦

Campos Vectoriales Conservativos y Funciones Potenciales

Como hemos aprendido, el Teorema Fundamental para Integrales de Línea dice que si F es conservativo, entonces calcular \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) tiene dos pasos: primero, encontrar una función potencial f para F y, segundo, calcular \(f(P_1) – f(P_0)\), donde P₁ es el punto final de C y P₀ es el punto inicial. Para usar este teorema para un campo conservativo F, debemos ser capaces de encontrar una función potencial f para F. Por lo tanto, debemos responder la siguiente pregunta: Dado un campo vectorial conservativo F, ¿cómo encontramos una función f tal que \(\nabla f = \mathbf{F}\)? Antes de dar un método general para encontrar una función potencial, motivemos el método con un ejemplo.

Ejemplo ilustrativo 10.14.5: Encontrando una Función Potencial

Encuentre una función potencial para \(\mathbf{F}(x, y) = \langle 2xy^3, 3x^2 y^2 + \cos(y) \rangle\), demostrando así que F es conservativo.

Solución:

Suponga que f(x, y) es una función potencial para F. Entonces, \(\nabla f = \mathbf{F}\), y por lo tanto

\[f_x = 2xy^3 \text{ y } f_y = 3x^2 y^2 + \cos(y).\]

Integrando la ecuación \(f_x = 2xy^3\) con respecto a x se obtiene la ecuación

\[f(x, y) = x^2 y^3 + h(y).\]

Nótese que, dado que estamos integrando una función de dos variables con respecto a x, debemos agregar una constante de integración que es constante con respecto a x, pero aún puede ser una función de y. La ecuación \(f(x, y) = x^2 y^3 + h(y)\) puede ser confirmada tomando la derivada parcial con respecto a x:

\[\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3) + \frac{\partial}{\partial x}(h(y)) = 2xy^3 + 0 = 2xy^3.\]

Dado que f es una función potencial para F,

\[f_y = 3x^2 y^2 + \cos(y).\]

y por lo tanto

\[3x^2 y^2 + h'(y) = 3x^2 y^2 + \cos(y).\]

Esto implica que \(h'(y) = \cos(y)\), por lo que \(h(y) = \sin(y) + C\). Por lo tanto, cualquier función de la forma \(f(x, y) = x^2 y^3 + \sin(y) + C\) es una función potencial. Tomando, en particular, \(C = 0\) se obtiene la función potencial \(f(x, y) = x^2 y^3 + \sin(y)\).

Para verificar que f es una función potencial, note que \(\nabla f = \langle 2xy^3, 3x^2 y^2 + \cos(y) \rangle = \mathbf{F}\). ♦

Ejercicio de control 10.14.5

Encuentre una función potencial para \(\mathbf{F}(x, y) = \langle e^x y^3 + y, 3e^x y^2 + x \rangle\). ♦

      La lógica del ejemplo anterior se extiende a la búsqueda de la función potencial para cualquier campo vectorial conservativo en ℝ². Por lo tanto, tenemos la siguiente estrategia de resolución de problemas para encontrar funciones potenciales:

Estrategia para resolver problemas: Encontrar una función potencial para un campo vectorial conservativo \(\mathbf{F}(x, y) = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle\).

1. Integre P con respecto a x. Esto resulta en una función de la forma \(g(x, y) + h(y)\), donde \(h(y)\) es desconocido.
2. Tome la derivada parcial de \(g(x, y) + h(y)\) con respecto a y, lo cual resulta en la función \(g_y(x, y) + h'(y)\).
3. Use la ecuación \(g_y(x, y) + h'(y) = Q(x, y)\) para encontrar \(h'(y)\).
4. Integre \(h'(y)\) para encontrar \(h(y)\).
5. Cualquier función de la forma \(f(x, y) = g(x, y) + h(y) + C\), donde C es una constante, es una función potencial para F.

♦

Podemos adaptar esta estrategia para encontrar funciones potenciales para campos vectoriales en ℝ³, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ilustrativo 10.14.6: Encontrando una Función Potencial en ℝ³

Encuentre una función potencial para \(\mathbf{F}(x, y, z) = \langle 2xy, x^2 + 2yz^3, 3y^2 z^2 + 2z \rangle\), demostrando así que F es conservativo.

Solución:

Suponga que f es una función potencial. Entonces, \(\nabla f = \mathbf{F}\) y por lo tanto \(f_x = 2xy\). Integrando esta ecuación con respecto a x se obtiene la ecuación \(f(x, y, z) = x^2 y + g(y, z)\) para alguna función g. Observe que, en este caso, la constante de integración con respecto a x es una función de y y z.

Dado que f es una función potencial,

\[x^2 + 2yz^3 = f_y = x^2 + g_y.\]

Por lo tanto,

\[g_y = 2yz^3.\]

Integrando esta función con respecto a y se obtiene

\[g(y, z) = y^2 z^3 + h(z)\]

para alguna función \(h(z)\) de z solamente. (Note que, dado que sabemos que g es una función solamente de y y z, no necesitamos escribir \(g(y, z) = y^2 z^3 + h(x, z)\).) Por lo tanto,

\[f(x, y, z) = x^2 y + g(y, z) = x^2 y + y^2 z^3 + h(z).\]

Para encontrar f, ahora debemos encontrar solamente h. Dado que f es una función potencial,

\[3y^2 z^2 + 2z = f_z = 3y^2 z^2 + h'(z).\]

Esto implica que \(h'(z) = 2z\), por lo que \(h(z) = z^2 + C\). Dejando \(C = 0\) se obtiene la función potencial

\[f(x, y, z) = x^2 y + y^2 z^3 + z^2.\]

Para verificar que f es una función potencial, note que \(\nabla f = \langle 2xy, x^2 + 2yz^3, 3y^2 z^2 + 2z \rangle = \mathbf{F}\). ♦

Ejercicio de control 10.14.6

Encuentre una función potencial para \(\mathbf{F}(x, y, z) = \langle 12x^2, \cos(y) \cos(z), 1 – \sin(y) \sin(z) \rangle\). ♦

Podemos aplicar el proceso de encontrar una función potencial a una fuerza gravitacional. Recuerde que, si un objeto tiene masa unitaria y está ubicado en el origen, entonces la fuerza gravitacional en \(\mathbb{R}^2\) que el objeto ejerce sobre otro objeto de masa unitaria en el punto \((x, y)\) está dada por el campo vectorial

\[\mathbf{F}(x, y) = -G \left(\frac{x}{(x^2 + y^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2 + y^2)^{3/2}}\right),\]

donde G es la constante gravitacional universal. En el siguiente ejemplo, construiremos una función potencial para \(\mathbf{F}\), confirmando así lo que ya sabemos: que la gravedad es conservativa.

Ejemplo ilustrativo 10.14.7: Encontrando una función potencial

Encuentre una función potencial f para \(\mathbf{F}(x, y) = -G \left(\frac{x}{(x^2 + y^2)^{3/2}}, \frac{y}{(x^2 + y^2)^{3/2}}\right)\).

Solución:

Suponga que f es una función potencial. Entonces, \(\nabla f = \mathbf{F}\) y por lo tanto

\[f_x = \frac{-Gx}{(x^2 + y^2)^{3/2}}.\]

Para integrar esta función con respecto a x, podemos usar u-sustitución. Si \(u = x^2 + y^2\), entonces \(\frac{du}{2} = x dx\), por lo que

\[\begin{aligned} \int \frac{-Gx}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \, dx &= \int \frac{-G}{2u^{3/2}} \, du \\ &= \frac{G}{\sqrt{u}} + h(y) \\ &= \frac{G}{\sqrt{x^2 + y^2}} + h(y) \end{aligned}\]

para alguna función \(h(y)\). Por lo tanto,

\[f(x, y) = \frac{G}{\sqrt{x^2 + y^2}} + h(y).\]

Dado que f es una función potencial para F,

\[f_y = \frac{-Gy}{(x^2 + y^2)^{3/2}}.\]

Dado que \(f(x, y) = \frac{G}{\sqrt{x^2 + y^2}} + h(y)\), \(f_y\) también es igual a \(\frac{-Gy}{(x^2 + y^2)^{3/2}} + h'(y)\).

Por lo tanto,

\[\frac{-Gy}{(x^2 + y^2)^{3/2}} + h'(y) = \frac{-Gy}{(x^2 + y^2)^{3/2}},\]

lo cual implica que \(h'(y) = 0\). Así, podemos tomar \(h(y)\) para ser cualquier constante; en particular, podemos dejar \(h(y) = 0\). La función

\[f(x, y) = \frac{G}{\sqrt{x^2 + y^2}}\]

es una función potencial para el campo gravitacional F. Para confirmar que f es una función potencial, note que

\[\begin{aligned} \nabla f &= \left\langle -\frac{1}{2} \frac{G}{(x^2 + y^2)^{3/2}} (2x), -\frac{1}{2} \frac{G}{(x^2 + y^2)^{3/2}} (2y) \right\rangle \\ &= \left\langle \frac{-Gx}{(x^2 + y^2)^{3/2}}, \frac{-Gy}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \right\rangle \\ &= \mathbf{F}. \end{aligned}\]

♦

Ejercicio de control 10.14.7

Encuentre una función potencial f para la fuerza gravitacional tridimensional

\[\mathbf{F}(x, y, z) = \left\langle \frac{-Gx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \frac{-Gy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, \frac{-Gz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \right\rangle.\]

♦

Probando un Campo Vectorial

Hasta ahora, hemos trabajado con campos vectoriales que sabemos que son conservativos, pero si no nos dicen que un campo vectorial es conservativo, necesitamos poder probar si es conservativo. Recordemos que, si \(\mathbf{F}\) es conservativo, entonces \(\mathbf{F}\) tiene la propiedad de derivadas cruzadas (ver La propiedad de derivadas cruzadas de los campos vectoriales conservativos). Es decir, si \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\) es conservativo, entonces \(P_y = Q_x\), \(P_z = R_x\), y \(Q_z = R_y\). Así que, si \(\mathbf{F}\) tiene la propiedad de derivadas cruzadas, entonces ¿es \(\mathbf{F}\) conservativo? Si el dominio de \(\mathbf{F}\) es abierto y simplemente conexo, entonces la respuesta es sí.

Teorema 10.14.4: La Prueba de las Derivadas Parciales Cruzadas para Campos Conservativos

Si \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\) es un campo vectorial en una región abierta, simplemente conexa \(D\) y \(P_y = Q_x\), \(P_z = R_x\), y \(Q_z = R_y\) a lo largo de \(D\), entonces \(\mathbf{F}\) es conservativo. ♦

Aunque una prueba de este teorema está fuera del alcance de este texto, podemos descubrir su poder con algunos ejemplos. Más adelante, veremos por qué es necesario que la región sea simplemente conexa.

Combinando este teorema con la propiedad de las derivadas parciales cruzadas, podemos determinar si un campo vectorial dado es conservativo:

Teorema 10.14.5: Propiedad de las Derivadas Parciales Cruzadas de los Campos Conservativos

Sea \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\) un campo vectorial en una región abierta, simplemente conexa \(D\). Entonces \(P_y = Q_x\), \(P_z = R_x\), y \(Q_z = R_y\) a lo largo de \(D\) si y sólo si \(\mathbf{F}\) es conservativo. ♦

La versión de este teorema en \(\mathbb{R}^2\) también es cierta. Si \(\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle\) es un campo vectorial en un dominio abierto y simplemente conexo en \(\mathbb{R}^2\), entonces \(\mathbf{F}\) es conservativo si y solo si \(P_y = Q_x\).

Ejemplo ilustrativo 10.14.8: Determinando si un Campo Vectorial es Conservativo

Determinar si el campo vectorial \(\mathbf{F}(x, y, z) = \langle xy^2z, x^2yz, z^2 \rangle\) es conservativo.

Solución:

Observa que el dominio de \( \mathbf{F} \) es todo \( \mathbb{R}^2 \) y \( \mathbb{R}^3 \) es simplemente conexo. Por lo tanto, podemos usar la Propiedad de las Derivadas Cruzadas de los Campos Conservativos para determinar si \( \mathbf{F} \) es conservativo. Sea

\[P(x, y, z) = xy^2z, \quad Q(x, y, z) = x^2yz, \quad \text{y} \quad R(x, y, z) = z^2.\]

Dado que \( Q_z = x^2y \) y \( R_y = 0 \), el campo vectorial no es conservativo. ♦

Ejemplo ilustrativo 10.14.9: Determinando si un Campo Vectorial es Conservativo

Determina si el campo vectorial \(\mathbf{F}\left(x, y\right)=\left\langle x \ln\left(y\right), \frac{x^3}{2y}\right\rangle\) es conservativo.

Solución:

Nótese que el dominio de \( \mathbf{F} \) es la región de \( \mathbb{R}^2 \) donde \( y > 0 \). Por lo tanto, el dominio de \( \mathbf{F} \) corresponde a la parte del plano situada por encima del eje \( x \), y este dominio es simplemente conexo (es decir, no contiene agujeros y es una región conexa). Así, podemos aplicar la Propiedad de las Derivadas Parciales Cruzadas para campos conservativos para determinar si \( \mathbf{F} \) es conservativo. Sea

\[ P(x, y) = x \ln(y) \quad \text{y} \quad Q(x, y) = \frac{x^2}{2y}. \]

Luego, se cumple que \( P_y = \frac{x}{y} = Q_x \), lo que implica que \( \mathbf{F} \) es un campo vectorial conservativo. ♦

Ejercicio de control 10.14.8

Determina si el campo vectorial \(\mathbf{F}\left(x, y\right) = \left\langle \sin x \cos y, \cos x \sin y \right\rangle\) es conservativo. ♦

Al usar la Propiedad de las Derivadas Parciales Cruzadas de los Campos Conservativos, es importante recordar que un teorema es una herramienta y, como cualquier herramienta, solo se puede aplicar bajo las condiciones correctas. En el caso de la Propiedad de las Derivadas Parciales Cruzadas de los Campos Conservativos, el teorema solo se puede aplicar si el dominio del campo vectorial es simplemente conexo.

Para ver qué puede salir mal al aplicar incorrectamente el teorema, consideremos el campo vectorial:

\[ \mathbf{F}\left(x, y\right) = \frac{y}{x^2 + y^2} \mathbf{i} + \frac{-x}{x^2 + y^2} \mathbf{j}. \]

Este campo vectorial satisface la propiedad de las derivadas cruzadas, ya que

\[ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{x^2 + y^2} \right) = \frac{\left( x^2 + y^2 \right) – y(2y)}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} = \frac{x^2 – y^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} \]

y

\[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-x}{x^2 + y^2} \right) = \frac{-\left( x^2 + y^2 \right) + x(2x)}{\left( x^2 + y^2 \right)^2} = \frac{x^2 – y^2}{\left( x^2 + y^2 \right)^2}. \]

Dado que \(\mathbf{F}\) satisface la propiedad de las derivadas cruzadas, podríamos estar tentados a concluir que \(\mathbf{F}\) es conservativo. Sin embargo, \(\mathbf{F}\) no es conservativo. Para ver esto, sea

\[ \mathbf{r}\left(t\right) = \langle \cos t, \sin t \rangle, \quad 0 \leq t \leq \pi \]

una parametrización de la mitad superior de un círculo unitario orientado en sentido antihorario (denotado como \(C_1\)) y sea

\[ \mathbf{s}\left(t\right) = \langle \cos t, -\sin t \rangle, \quad 0 \leq t \leq \pi \]

una parametrización de la mitad inferior de un círculo unitario orientado en sentido horario (denotado como \(C_2\)). Nótese que \(C_1\) y \(C_2\) tienen el mismo punto inicial y final. Dado que \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\),

\[ \mathbf{F}\left(\mathbf{r}\left(t\right)\right) \cdot \mathbf{r}’ \left(t\right) = \langle \sin\left(t\right), -\cos\left(t\right) \rangle \cdot \langle -\sin\left(t\right), \cos\left(t\right) \rangle = -1 \]

y

\[ \mathbf{F}\left(\mathbf{s}(t)\right) \cdot \mathbf{s}’ \left(t\right) = \langle -\sin t, -\cos t \rangle \cdot \langle -\sin t, -\cos t \rangle = \sin^2 t + \cos^2 t = 1. \]

Por lo tanto,

\[ \int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^\pi -1 \, dt = -\pi \quad \text{y} \quad \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^\pi 1 \, dt = \pi. \]

Así, \(C_1\) y \(C_2\) tienen el mismo punto inicial y final, pero \(\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \neq \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\). Por lo tanto, \(\mathbf{F}\) no es independiente de la trayectoria y \(\mathbf{F}\) no es conservativo.

En resumen: \(\mathbf{F}\) satisface la propiedad de las derivadas cruzadas, pero \(\mathbf{F}\) no es conservativo. ¿Qué salió mal? ¿Esto contradice la Propiedad de las Derivadas Cruzadas para campos conservativos? El problema es que el dominio de \(\mathbf{F}\) es todo \(\mathbb{R}^2\) excepto el origen. En otras palabras, el dominio de \(\mathbf{F}\) tiene un agujero en el origen y, por lo tanto, el dominio no es simplemente conexo. Como el dominio no es simplemente conexo, la Propiedad de las Derivadas Cruzadas para campos conservativos no se aplica a \(\mathbf{F}\).

Cerramos esta sección con un ejemplo de la utilidad del Teorema Fundamental para Integrales de Línea. Ahora que podemos comprobar si un campo vectorial es conservativo, siempre podemos decidir si el Teorema Fundamental para Integrales de Línea puede usarse para calcular una integral de línea vectorial. Si se nos pide calcular una integral de la forma \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\), nuestra primera pregunta debería ser: ¿Es \(\mathbf{F}\) conservativo? Si la respuesta es sí, entonces debemos encontrar una función potencial y usar el Teorema Fundamental para Integrales de Línea para calcular la integral. Si la respuesta es no, entonces el Teorema Fundamental para Integrales de Línea no puede ayudarnos y debemos usar otros métodos, como la Ecuación ♠.

Ejemplo ilustrativo 10.14.10: Utilizando el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea.

Calcula la integral de línea \(\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\), donde \(\mathbf{F}(x, y, z) = \langle 2xe^y z + e^x z, x^2 e^y z, x^2 e^y + e^x \rangle\) y \(C\) es cualquier curva suave que va desde el origen hasta el punto \((1, 1, 1)\).

Solución:

Antes de intentar calcular la integral, debemos determinar si \(\mathbf{F}\) es conservativo y si el dominio de \(\mathbf{F}\) es simplemente conexo. El dominio de \(\mathbf{F}\) es todo \(\mathbb{R}^{3}\), que es conexo y no tiene agujeros. Por lo tanto, el dominio de \(\mathbf{F}\) es simplemente conexo. Sea

\[ P(x, y, z) = 2xe^{y}z + e^{x}z, \quad Q(x, y, z) = x^{2}e^{y}z, \quad \text{y} \quad R(x, y, z) = x^{2}e^{y} + e^{x}, \]

de modo que \(\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle\). Como el dominio de \(\mathbf{F}\) es simplemente conexo, podemos verificar las derivadas parciales cruzadas para determinar si \(\mathbf{F}\) es conservativo. Nótese que

\[ P_{y} = 2xe^{y}z = Q_{x}, \quad P_{z} = 2xe^{y} + e^{x} = R_{x}, \quad \text{y} \quad Q_{z} = x^{2}e^{y} = R_{y}. \]

Por lo tanto, \(\mathbf{F}\) es conservativo.

Para evaluar \(\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\) usando el Teorema Fundamental para Integrales de Línea, necesitamos encontrar una función potencial \(f\) para \(\mathbf{F}\). Sea \(f\) una función potencial para \(\mathbf{F}\). Entonces, \(\nabla f = \mathbf{F}\), y por lo tanto,

\[ f_{x} = 2xe^{y}z + e^{x}z. \]

Integrando esta ecuación con respecto a \(x\), obtenemos

\[ f(x, y, z) = x^{2}e^{y}z + e^{x}z + h(y, z), \]

para alguna función \(h\). Derivando esta ecuación con respecto a \(y\), obtenemos

\[ x^{2}e^{y}z + h_{y} = Q = x^{2}e^{y}z, \]

lo que implica que \(h_{y} = 0\). Por lo tanto, \(h\) es una función que depende solo de \(z\), y

\[ f(x, y, z) = x^{2}e^{y}z + e^{x}z + h(z). \]

Para encontrar \(h\), observamos que

\[ f_{z} = x^{2}e^{y} + e^{x} + h^{\prime}(z) = R = x^{2}e^{y} + e^{x}. \]

Por lo tanto, \(h^{\prime}(z) = 0\) y podemos tomar \(h(z) = 0\). Una función potencial para \(\mathbf{F}\) es

\[ f(x, y, z) = x^{2}e^{y}z + e^{x}z. \]

Ahora que tenemos una función potencial, podemos usar el Teorema Fundamental para Integrales de Línea para evaluar la integral. Según el teorema,

\[ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C} \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(1, 1, 1) – f(0, 0, 0) = 2e. \]

Análisis:

Observa que si no hubiéramos reconocido que F es conservativo, habríamos tenido que parametrizar C y usar la Ecuación ♠. Dado que la curva C es desconocida, utilizar el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea es mucho más sencillo. ♦

Ejercicio de control 10.14.9

Calcula la integral \[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \], donde \(\mathbf{F}(x, y) = (\sin x \sin y, 5 – \cos x \cos y)\) y \(C\) es una semicircunferencia con punto inicial \((0, \pi)\) y punto final \((0, -\pi)\). ♦

Ejemplo ilustrativo 10.14.11: Trabajo realizado sobre una partícula.

Sea \( \mathbf{F}(x, y) = \langle 2xy^2, 2x^2y \rangle \) un campo de fuerza. Supongamos que una partícula comienza su movimiento en el origen y termina en cualquier punto del plano que no esté sobre el eje \( x \) ni sobre el eje \( y \). Además, el movimiento de la partícula puede modelarse con una parametrización suave. Demuestra que \( \mathbf{F} \) realiza un trabajo positivo sobre la partícula.

Solución:

Demostramos que \(\mathbf{F}\) realiza un trabajo positivo sobre la partícula mostrando que \(\mathbf{F}\) es conservativo y luego usando el Teorema Fundamental para Integrales de Línea.

Para demostrar que \(\mathbf{F}\) es conservativo, supongamos que \(f(x, y)\) es una función potencial para \(\mathbf{F}\). Entonces,

\[ \nabla f = \mathbf{F} = \left\langle 2xy^{2}, 2x^{2}y \right\rangle, \]

y por lo tanto, \(f_{x} = 2xy^{2}\) y \(f_{y} = 2x^{2}y\). La ecuación \(f_{x} = 2xy^{2}\) implica que

\[ f(x, y) = x^{2}y^{2} + h(y), \]

donde \(h(y)\) es una función que depende solo de \(y\). Derivando ambos lados con respecto a \(y\), obtenemos

\[ f_{y} = 2x^{2}y + h^{\prime}(y). \]

Por lo tanto, \(h^{\prime}(y) = 0\), y podemos tomar \(h(y) = 0\).

Si \(f(x, y) = x^{2}y^{2}\), entonces notamos que

\[ \nabla f = \left\langle 2xy^{2}, 2x^{2}y \right\rangle = \mathbf{F}, \]

y por lo tanto, \(f\) es una función potencial para \(\mathbf{F}\).

Sea \((a, b)\) el punto en el que la partícula detiene su movimiento, y sea \(C\) la curva que modela el movimiento de la partícula. El trabajo realizado por \(\mathbf{F}\) sobre la partícula es

\[ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. \]

Por el Teorema Fundamental para Integrales de Línea,

\[ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C} \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(a, b) – f(0, 0) = a^{2}b^{2}. \]

Dado que \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\) por suposición, se cumple que \(a^{2}b^{2} > 0\). Por lo tanto,

\[ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} > 0, \]

y \(\mathbf{F}\) realiza un trabajo positivo sobre la partícula.

Análisis

Observa que este problema sería mucho más difícil sin usar el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea. Para aplicar las herramientas que hemos aprendido, tendríamos que dar una parametrización de la curva y usar la Ecuación ♠. Dado que la trayectoria de movimiento C puede ser tan exótica como queramos (siempre que sea suave), puede ser muy difícil parametrizar el movimiento de la partícula. ♦

Ejercicio de control 10.14.10

Sea \( \mathbf{F}(x, y) = \left( 4x^3y^4, 4x^4y^3 \right) \), y supongamos que una partícula se mueve desde el punto \((4, 4)\) hasta \((1, 1)\) a lo largo de cualquier curva suave. ¿El trabajo realizado por \( \mathbf{F} \) sobre la partícula es positivo, negativo o cero? ♦