Series alternantes: Objetivos de aprendizaje
7.5.1 Use la prueba de series alternantes para probar la convergencia de una serie alternante.
7.5.2. Estima la suma de una serie alternante.
75.5.3. Explicar el significado de convergencia absoluta y convergencia condicional.
Hasta ahora en este capítulo, hemos discutido principalmente series con términos positivos. En esta sección presentamos series alternantes, aquellas series cuyos términos se alternan en signos. En un capítulo posterior mostraremos que estas series a menudo surgen cuando se estudian las series de potencias. Después de definir series alternantes, presentamos la prueba de series alternantes para determinar si tal serie converge.
La prueba de la serie alternante
Una serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos es una serie alternante. Por ejemplo, las series
y
son ambas series alternantes.
DEFINICIÓN 7.5_1. Serie alternante
|
Cualquier serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos se denomina serie alternante. Se puede escribir una serie alternante en la forma
o
Donde bn ≥ 0 para todos los enteros positivos n. |
La serie
es una serie geométrica. Como |r| = |−1/2| < 1, la serie converge.
La serie
se denomina serie armónica alternante. Mostraremos que mientras la serie armónica diverge, la serie armónica alternante converge.
Para probar esto, observamos la secuencia de sumas parciales {Sk} (Vea la figura 7.5_1)
PruebaConsidere los términos impares S2k + 1 para k ≥ 0. Como 1/(2k + 1) < 1 / 2k, sabemos que
|
Por lo tanto, {S2k + 1} es una secuencia decreciente. También,
Por lo tanto, {S2k + 1} está limitada inferiormente. Dado que {S2k + 1} es una secuencia decreciente que está limitada inferiormente, por el Teorema de convergencia monótono, {S2k + 1} converge. Del mismo modo, los términos pares {S2k} forman una secuencia creciente que está limitada superiormente porque
y
Por lo tanto, según el Teorema de convergencia monótona, la secuencia {S2k} también converge. Ya que
Dejando S = limk → ∞ S2k + 1 y usando el hecho de que 1/(2k + 1) → 0, concluimos que limk → ∞ S2k = S. Dado que los términos impares y los términos pares en la secuencia de sumas parciales convergen al mismo límite S, se puede demostrar que la secuencia de sumas parciales converge a S, y por lo tanto la serie armónica alterna converge a S.
(Figura 7.5_1. Para las series armónicas alternantes, los términos impares S2k + 1 en la secuencia de sumas parciales están decreciendo y limitándose por abajo. Los términos pares S2k están creciendo y limitados por arriba.)TEOREMA 7.5_1. Prueba de la serie alternante
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Una serie alternante de la forma.
converge si i. 0 ≤ bn + 1 ≤ bn para todos los n ≥ 1 y ii. limn → ∞ bn = 0. Esto se conoce como la prueba de series alternantes. |
Observamos que este teorema es cierto de manera más general siempre que exista algún número entero N tal que 0 ≤ bn + 1 ≤ bn para todos los n ≥ N.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.5_1. Convergencia de series alternantes
Para cada una de las siguientes series alternantes, determine si la serie converge o diverge.
Solución:
a. Ya que
la serie converge.
b. Como n/(n + 1) ↛ 0 cuando n → ∞, no podemos aplicar la prueba de series alternantes. En cambio, usamos la prueba del enésimo término para la divergencia. Ya que
la serie diverge.
Resto de una serie alternante
Es difícil calcular explícitamente la suma de la mayoría de las series alternantes, por lo que típicamente la suma se aproxima utilizando una suma parcial. Al hacerlo, estamos interesados en la cantidad de error en nuestra aproximación. Considere una serie alternante
que satisface las hipótesis de la prueba de series alternantes. Supongamos que S denota la suma de esta serie y {Sk} es la secuencia correspondiente de sumas parciales. De la figura 7.5_1, vemos que para cualquier número entero N ≥ 1, el resto RN satisface
TEOREMA 7.5_2. Restos en series alternantes
|
Considere una serie alternante de la forma
que satisface las hipótesis de la prueba de series alternantes. Supongamos que S denota la suma de la serie y SN denota la enésima suma parcial. Para cualquier número entero N ≥ 1, el resto RN = S − SN satisface
|
En otras palabras, si se aplican las condiciones de la prueba de series alternantes, entonces el error al aproximar las series infinitas por la enésima suma parcial SN es en magnitud como máximo del tamaño del siguiente término bN + 1.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.5_2. Estimando el resto de una serie alternante
Considere la serie alternante
Use la fórmula para la estimación del resto de una serie alternante para determinar un margen de error R10 si aproximamos la suma de la serie por la suma parcial S10.
Solución:
Del teorema indicado anteriormente,
Convergencia absoluta y condicional
Considere una serie infinita
y la serie relacionada
Aquí discutimos las posibilidades para la relación entre la convergencia de estas dos series. Por ejemplo, considere la serie armónica alternante
La serie cuyos términos son el valor absoluto de estos términos es la serie armónica, ya que
Dado que la serie armónica alternante converge, pero la serie armónica diverge, decimos que la serie armónica alternante exhibe convergencia condicional.
En comparación, considere la serie
La serie cuyos términos son los valores absolutos de los términos de esta serie es la serie
Dado que ambas series convergen, decimos que la serie
exhibe convergencia absoluta.
DEFINICIÓN 7.5_1. Convergencia absoluta y convergencia condicional
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Una serie infinita
exhibe convergencia absoluta si
converge. Una serie infinita
exhibe convergencia condicional si la serie dada converge pero
diverge. |
Como se muestra en la serie armónica alternante, una serie
puede converger, pero
puede divergir. En el siguiente teorema, sin embargo, mostramos que si
converge, entonces
converge.
TEOREMA 7.5_3. La convergencia absoluta implica convergencia
|
Si
converge, entonces
converge. |
PruebaSuponga que |
converge Mostramos esto usando el hecho de que an = |an| o an = -|an| y por lo tanto |an| + an = 2|an| o |an| + an = 0. Por lo tanto, 0 ≤ |an| + an ≤ 2|an|. En consecuencia, por la prueba de comparación, ya que
converge, la serie
converge Al usar las propiedades algebraicas para series convergentes, concluimos que
converge.EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.5_3. Convergencia absoluta versus convergencia condicional
Para cada una de las siguientes series, determine si la serie converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge.
Solución:
a. Podemos ver que
diverge utilizando la prueba de comparación de límites con la serie armónica. De hecho,
Por lo tanto, la serie no converge absolutamente. Sin embargo, dado que
la serie converge. Podemos concluir que
converge condicionalmente.
b. Observando que |cosn| ≤ 1, para determinar si la serie converge absolutamente, compare
con la serie
Ya que
converge, por la prueba de comparación,
converge, y por lo tanto
converge absolutamente. ◊
Para ver la diferencia entre la convergencia absoluta y la condicional, observe lo que sucede cuando reorganizamos los términos de la serie armónica alternante
Mostramos que podemos reorganizar los términos para que la nueva serie diverja. Ciertamente, si reorganizamos los términos de una suma finita, la suma no cambia. Sin embargo, cuando trabajamos con una suma infinita, pueden suceder cosas interesantes.
Comience agregando suficientes términos positivos para producir una suma que sea mayor que un número real M > 0. Por ejemplo, deje M = 10 y encuentre un número entero k tal que
Luego restar 1/4. Continuando de esta manera, hemos encontrado una manera de reorganizar los términos en la serie armónica alternante para que la secuencia de sumas parciales para la serie reorganizada sea ilimitada y, por lo tanto, diverja.
Los términos en la serie armónica alternante también se pueden reorganizar para que la nueva serie converja a un valor diferente. En el ejemplo 7.5_4, mostraremos cómo reorganizar los términos para crear una nueva serie que converja a 3ln(2)/2. Señalamos que las series armónicas alternantes se pueden reorganizar para crear una serie que converja a cualquier número real r; sin embargo, la prueba de ese hecho está más allá del alcance de este texto.
En general, cualquier serieque converge condicionalmente puede reorganizarse para que la nueva serie diverja o converja a un número real diferente. Una serie que converge absolutamente no tiene esta propiedad. Para cualquier serieque converge absolutamente, el valor dees el mismo para cualquier reordenamiento de los términos. Este resultado se conoce como el Teorema de reordenamiento de Riemann, que está más allá del alcance de estas primeras lecciones introductorias.
EJEMPLO ILUSTRATIVO 7.5_4. Reorganizando la serie
Usa el hecho de que
para reorganizar los términos en la serie armónica alternante para que la suma de las series reorganizadas sea 3ln(2)/2.
Solución:
Sea
Ya que
por las propiedades algebraicas de series convergentes,
Ahora introduzca la serie
tal que para todos n ≥ 1, b2n − 1 = 0 y b2n = an/2. Entonces
Luego, usando las propiedades de límite algebraico de series convergentes, ya que
convergen, la serie
converge y
Ahora agregando los términos correspondientes, an y bn, vemos que
Notamos que la serie en el lado derecho del signo igual es un reordenamiento de la serie armónica alternante. Ya que
concluimos que
Por lo tanto, hemos encontrado una reorganización de la serie armónica alternante que tiene la propiedad deseada. ◊
Muy bueno
Gracias por el comentario ∑
Buena forma de explicar, y buena publicación para obtener información sobre mi tema de presentación, que voy a exponer en la universidad. Gracias!