9. Ecuaciones diferenciales

Ejercicios propuestos del Capítulo 9.5.1

Ecuaciones lineales de segundo orden: Objetivos de aprendizaje

    En este CAPÍTULO 9.5 estudiamos una clase particularmente importante de ecuaciones de segundo orden. Debido a sus muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería, las ecuaciones diferenciales de segundo orden han sido históricamente la clase de ecuaciones diferenciales más estudiada. La investigación sobre la teoría de ecuaciones diferenciales de segundo orden continúa hasta nuestros días. Este capítulo está dedicado a ecuaciones de segundo orden que se pueden escribir en la formaEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-19.pngSe dice que estas ecuaciones son lineales. Como en el caso de las ecuaciones lineales de primer orden, se dice que la ED lineal de segundo orden es homogénea si F ≡ 0, o no homogénea si F no es idénticamente 0.

La SECCIÓN 9.5.1 está dedicada a la teoría de ecuaciones lineales homogéneas.

La SECCIÓN 9.5.2 trata de ecuaciones homogéneas de la forma especialEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-20.pngdonde a, b y c son constantes (a ≠ 0). Cuando haya completado esta sección, sabrá todo lo que hay que saber sobre cómo resolver estas ecuaciones.

La SECCIÓN 9.5.3 presenta la teoría de ecuaciones lineales no homogéneas.

Las SECCIONES 9.5.4 y 9.5.5 presentan el método de coeficientes indeterminados, que se puede utilizar para resolver ecuaciones no homogéneas de la forma

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donde a, b y c son constantes y F tiene una forma especial que todavía es lo suficientemente general como para ocurrir en muchas aplicaciones. En esta sección hacemos un amplio uso de la idea de variación de parámetros presentada en el Capítulo 9.2.

La SECCIÓN 9.5.6 trata de la reducción de orden, una técnica basada en la idea de variación de parámetros, que nos permite encontrar la solución general de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea siempre que conozcamos una solución no trivial (no idénticamente cero) de la ecuación homogénea asociada. 

La SECCIÓN 9.5.7 trata del método tradicionalmente llamado variación de parámetros, que nos permite encontrar la solución general de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea siempre que conozcamos dos soluciones no triviales (con razón no constante) de la ecuación homogénea asociada.

9.5.1 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS

Se dice que una ecuación diferencial de segundo orden es lineal si se puede escribir como

y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x).                     (9.5.1.1)

Llamamos a la función f de la derecha una función de forzamiento, ya que en aplicaciones físicas a menudo está relacionada con una fuerza que actúa sobre algún sistema modelado por la ecuación diferencial. Decimos que (9.5.1.1) es homogénea si f ≡ 0 o no homogénea si f no es idénticamente 0. Dado que estas definiciones son como las definiciones correspondientes de la sección 9.2.1 para la ecuación lineal de primer orden

y′ + p(x)y = f (x),                    (9.5.1.2)

es natural esperar similitudes entre los métodos de resolución de (9.5.1.1) y (9.5.1.2). Sin embargo, resolver (9.5.1.1) es más difícil que resolver (9.5.1.2). Por ejemplo, mientras que el Teorema 9.2.1.1 da una fórmula para hallar la solución general de (9.5.1.2) en el caso donde f ≡ 0 y el Teorema 9.2.1.2 da una fórmula para el caso donde f no es idénticamente 0, no hay fórmulas para hallar la solución general de (9.5.1.1) en cualquier caso. Por lo tanto, debemos contentarnos con resolver ecuaciones lineales de segundo orden de formas especiales.

En la Sección 9.2.1, primero consideramos la ecuación homogénea y′ + p(x)y = 0, y luego usamos una solución no trivial de esta ecuación para encontrar la solución general de la ecuación no homogénea y′ + p(x)y = f (x). Aunque la progresión del caso homogéneo al no homogéneo no es tan simple para la ecuación lineal de segundo orden, todavía es necesario resolver la ecuación homogénea

y + p(x)y + q(x)y = 0                     (9.5.1.3)

para resolver la ecuación no homogénea (9.5.1.1). Esta sección está dedicada a (9.5.1.3).

   

       El siguiente teorema proporciona condiciones suficientes para la existencia y unicidad de las soluciones de problemas de valor inicial para (9.5.1.3). Omitimos la prueba.

Teorema 9.5.1.1

Suponga que p y q son continuas en un intervalo abierto (a, b), sea x₀ cualquier punto en (a, b) y sean k₀ y k₁ números reales arbitrarios. Entonces el problema de valor inicial

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tiene una solución única en (a, b).

Como y ≡ 0 es obviamente una solución de (9.5.1.3), la llamamos solución trivial. Cualquier otra solución es no trivial. Bajo los supuestos del teorema 9.5.1.1, la única solución del problema de valor inicial

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en (a, b) es la solución trivial (Ejercicio 9.5.24).

    Los siguientes tres ejemplos ilustran conceptos que desarrollaremos más adelante en esta sección. No debería preocuparse por cómo encontrar las soluciones dadas de las ecuaciones en estos ejemplos. Esto se explicará en secciones posteriores.

Ejemplo ilustrativo 9.5.1_1

Los coeficientes de y′ y y en

y y = 0                     (9.5.1.4)

son las funciones constantes p ≡ 0 y q ≡ −1, que son continuas en (−∞, ∞). Por lo tanto, el teorema 9.5.1.1 implica que todo problema de valor inicial para (9.5.1.4) tiene una solución única en (−∞, ∞).

(a) Verifique que y₁ = eˣ  y  y₂ = e⁻ˣ son soluciones de (9.5.1.4) en (−∞, ∞).
(b) Verifique que si c₁ y c₂ son constantes arbitrarias, y = c₁eˣ + c₂e⁻ˣ es una solución de (9.5.1.4) en (−∞, ∞).
(c) Resuelva el problema de valor inicial

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Solución:

(a) Si y₁ = eˣ entonces y₁′ = eˣ  y  y₁″ = eˣ = y₁, entonces y₁″ − y₁ = 0. Si y₂ = e⁻ˣ, entonces y = −e⁻ˣ y″ = e⁻ˣ = y₂, entonces y₂″  y₂ = 0.

(b) Si

y = c₁eˣ + ce⁻ˣ                  (9.5.1.6)

entonces

y′ = c₁eˣ ce⁻ˣ                  (9.5.1.7)

y

y″ = c₁eˣ + ce⁻ˣ

entonces

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para todo x. Por lo tanto y = c₁eˣ + ce⁻ˣ es una solución de (9.5.1.4) en (−∞, ∞).

(c) Podemos resolver (9.5.1.5) eligiendo c₁ y c en (9.5.1.6) de modo que y(0) = 1 e y′(0) = 3. Estableciendo x = 0 en (9.5.1.6) y (9.5.1.7 ) muestra que esto es equivalente a

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Resolver estas ecuaciones produce c₁ = 2 y c = −1. Por lo tanto y = 2eˣe⁻ˣ  es la única solución de (9.5.1.5) en (−∞, ∞).  ◊

Ejemplo ilustrativo 9.5.1_2

Sea ω una constante positiva. Los coeficientes de y′ y y en

y″ + ω2y = 0              (9.5.1.8)

son las funciones constantes p ≡ 0 y q ≡ ω2, que son continuas en (−∞, ∞). Por lo tanto, el teorema 9.5.1.1 implica que todo problema de valor inicial para (9.5.1.8) tiene una solución única en (−∞, ∞).

(a) Verifique que y1 = cosωx y y2 = senωx son soluciones de (9.5.1.8) en (−∞, ∞).
(b) Verifique que si c1 y c2 son constantes arbitrarias, entonces y = c1cosωx + c2senωx es una solución de (9.5.1.8) en (−∞, ∞).
(c) Resuelva el problema del valor inicial

y″ + ω2y = 0,   y(0) = 1, y′(0) = 3       (9.5.1.9)

Solución:

(a)  Si y1 = cosωx, entonces  y1′ = −ωsenωx  y  y1″ = −ω2cosωx = −ω2y1, entonces  y1 + ω2y1 = 0.

Si y2 = senωx, entonces  y2′ = ωcosωx  y  y2″ = −ω2senωx = −ω2y2, entonces  y2″ + ω2y2 = 0.

(b)  Si      

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-81.png              (9.5.1.10)

entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-82.png              (9.5.1.11)

y

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de tal modo que

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para todo x. Por lo tanto y = c1 cosωx + c2senωx es una solución de (9.5.1.8) en (−∞, ∞).

(c)  Para resolver (9.5.1.9), debemos elegir c1 y c2 en (9.5.1.10) de modo que y(0) = 1  e  y′(0) = 3. Estableciendo x = 0 en (9.5.1.10) y (9.5. 1.11) muestra que c1 = 1  y  c2 = 3/ω. Por lo tanto

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es la única solución de (9.5.1.9) en (−∞, ∞).  ◊

       El teorema 9.5.1.1 implica que si k0 y k1 son números reales arbitrarios, entonces el problema de valor inicial

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tiene una solución única en un intervalo (a, b) que contiene x0, siempre que P0, P1 y P2 sean continuos y P0 no tenga ceros en (a, b). Para ver esto, reescribimos la ecuación diferencial en (9.5.1.12) como

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y aplique el teorema 9.5.1.1 con p = P1/P0  y  q = P2P0.

Ejemplo ilustrativo 9.5.1_3

La ecuación

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-88.png              (9.5.1.13)

tiene la forma de la ecuación diferencial en (9.5.1.12), con P0(x) = x2, P1(x) = x, y P2(x) = −4, que son todas continuas en (−∞, ∞) . Sin embargo, dado que P0(0) = 0 debemos considerar las soluciones de (9.5.1.13) en (−∞, 0) y (0, ∞). Dado que P0 no tiene ceros en estos intervalos, el teorema 9.5.1.1 implica que el problema de valor inicial

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tiene una solución única en (0, ∞) si x0 > 0, o en (−∞, 0)  si  x0 < 0.

(a)  Verifique que y1 = x2 es una solución de (9.5.1.13) en (−∞, ∞)  y  y2 = 1/x2 es una solución de (9.5.1.13) en (−∞, 0) y (0, ∞).
(b)  Verifique que si  c1  y  c2 son constantes cualesquiera, entonces y = c1x2 + c2/x2 es una solución de (9.5.1.13) en (−∞, 0) y (0, ∞).
(c)  Resuelva el problema de valor inicial

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-90.png      (9.5.1.14)

(d)  Resuelva el problema de valor inicial

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Solución:

(a)  Si y1 = x2, entonces y1′ = 2x  y  y1″= 2, de tal modo que

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para x en (−∞, ∞).

Si y2 = 1/x2, entonces y2′ = −2/x3  y  y2″ = 6/x4, de tal modo que

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para x en (−∞, 0) o (0, ∞).

(b)  Si

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entonces

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y

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de tal modo que

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para x en (−∞, 0) o (0, ∞).

(c)  Para resolver (9.5.1.14), elegimos c1 y c2 en (9.5.1.16) de modo que y(1) = 2 e y′(1) = 0. Estableciendo x = 1 en (9.5..1.16) y (9.5. 1.17) muestra que esto es equivalente a

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Resolver estas ecuaciones produce c1 = 1 y c2 = 1. Por lo tanto, y = x2 + 1/x2 es la única solución de (9.5.1.14) en (0, ∞).

(d)  Podemos resolver (9.5.1.15) eligiendo c1 y c2 en (9.5.1.16) de modo que y(−1) = 2  y  y′ (−1) = 0. Establecer x = −1 en (9.5.1.16) y (9.5.1.17) muestra que esto es equivalente a

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Resolver estas ecuaciones produce c1 = 1 y c2 = 1. Por lo tanto, y = x2 + 1/x2 es la única solución de (9.5.1.15) en (−∞, 0).  ♦

        Aunque las fórmulas para las soluciones de (9.5.1.14) y (9.5.1.15) son ambas y = x2 + 1/x2, no debe concluir que estos dos problemas de valores iniciales tienen la misma solución. Recuerde que la solución de un problema de valor inicial se define en un intervalo que contiene el punto inicial; por lo tanto, la solución de (9.5.1.14) es y = x2 + 1/x2 en el intervalo (0, ∞), que contiene el punto inicial x0 = 1, mientras que la solución de (9.5.1.15) es y = x2 + 1/x2 en el intervalo (−∞, 0), que contiene el punto inicial x0 = −1.

La solución general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden

Si y1 e y2 se definen en un intervalo (a, b) y c1 y c2 son constantes, entonces

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es una combinación lineal de y1 e y2. Por ejemplo, y = 2cosx + 7senx es una combinación lineal de y1 = cosx y y2 = senx, con c1 = 2 y c2 = 7.

El siguiente teorema establece un hecho que ya hemos verificado en los ejemplos 9.5.1.1, 9.5.1.2 y 9.5.1.3.

Teorema 9.5.1.2

Si y1 y y2 son soluciones de la ecuación homogénea

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en (a, b), entonces cualquier combinación lineal

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de y1 y y2 también es una solución de (9.5.1.18) en (a, b).  ♦

Prueba:
Si Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-106.png entonces Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-107.png y Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-108.png
Por lo tanto
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ya que y1 y y2 son soluciones de (9.5.1.18). ◊

       Decimos que {y1, y2} es un conjunto fundamental de soluciones de (9.5.1.18) en (a, b) si cada solución de (9.5.1.18) en (a, b) se puede escribir como una combinación lineal de y1 y y2 como en (9.5.1.19). En este caso decimos que (9.5.1.19) es la solución general de (9.5.1.18) en (a, b).

Independencia lineal

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