Ecuaciones lineales de segundo orden

(9. Ecuaciones diferenciales)

Ejercicios propuestos del Capítulo 9.5.1

Ecuaciones lineales de segundo orden: Objetivos de aprendizaje

    En este CAPÍTULO 9.5 estudiamos una clase particularmente importante de ecuaciones de segundo orden. Debido a sus muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería, las ecuaciones diferenciales de segundo orden han sido históricamente la clase de ecuaciones diferenciales más estudiada. La investigación sobre la teoría de ecuaciones diferenciales de segundo orden continúa hasta nuestros días. Este capítulo está dedicado a ecuaciones de segundo orden que se pueden escribir en la formaEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-19.pngSe dice que estas ecuaciones son lineales. Como en el caso de las ecuaciones lineales de primer orden, se dice que la ED lineal de segundo orden es homogénea si F ≡ 0, o no homogénea si F no es idénticamente 0.

La SECCIÓN 9.5.1 está dedicada a la teoría de ecuaciones lineales homogéneas.

La SECCIÓN 9.5.2 trata de ecuaciones homogéneas de la forma especialEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-20.pngdonde a, b y c son constantes (a ≠ 0). Cuando haya completado esta sección, sabrá todo lo que hay que saber sobre cómo resolver estas ecuaciones.

La SECCIÓN 9.5.3 presenta la teoría de ecuaciones lineales no homogéneas.

Las SECCIONES 9.5.4 y 9.5.5 presentan el método de coeficientes indeterminados, que se puede utilizar para resolver ecuaciones no homogéneas de la forma

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-22.png

donde a, b y c son constantes y F tiene una forma especial que todavía es lo suficientemente general como para ocurrir en muchas aplicaciones. En esta sección hacemos un amplio uso de la idea de variación de parámetros presentada en el Capítulo 9.2.

La SECCIÓN 9.5.6 trata de la reducción de orden, una técnica basada en la idea de variación de parámetros, que nos permite encontrar la solución general de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea siempre que conozcamos una solución no trivial (no idénticamente cero) de la ecuación homogénea asociada. 

La SECCIÓN 9.5.7 trata del método tradicionalmente llamado variación de parámetros, que nos permite encontrar la solución general de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea siempre que conozcamos dos soluciones no triviales (con razón no constante) de la ecuación homogénea asociada.

9.5.1 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS

Se dice que una ecuación diferencial de segundo orden es lineal si se puede escribir como

y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x).                     (9.5.1.1)

Llamamos a la función f de la derecha una función de forzamiento, ya que en aplicaciones físicas a menudo está relacionada con una fuerza que actúa sobre algún sistema modelado por la ecuación diferencial. Decimos que (9.5.1.1) es homogénea si f ≡ 0 o no homogénea si f no es idénticamente 0. Dado que estas definiciones son como las definiciones correspondientes de la sección 9.2.1 para la ecuación lineal de primer orden

y′ + p(x)y = f (x),                    (9.5.1.2)

es natural esperar similitudes entre los métodos de resolución de (9.5.1.1) y (9.5.1.2). Sin embargo, resolver (9.5.1.1) es más difícil que resolver (9.5.1.2). Por ejemplo, mientras que el Teorema 9.2.1.1 da una fórmula para hallar la solución general de (9.5.1.2) en el caso donde f ≡ 0 y el Teorema 9.2.1.2 da una fórmula para el caso donde f no es idénticamente 0, no hay fórmulas para hallar la solución general de (9.5.1.1) en cualquier caso. Por lo tanto, debemos contentarnos con resolver ecuaciones lineales de segundo orden de formas especiales.

En la Sección 9.2.1, primero consideramos la ecuación homogénea y′ + p(x) y = 0, y luego usamos una solución no trivial de esta ecuación para encontrar la solución general de la ecuación no homogénea y′ + p(x) y = f (x). Aunque la progresión del caso homogéneo al no homogéneo no es tan simple para la ecuación lineal de segundo orden, todavía es necesario resolver la ecuación homogénea

y + p(x)y + q(x)y = 0                     (9.5.1.3)

para resolver la ecuación no homogénea (9.5.1.1). Esta sección está dedicada a (9.5.1.3).

    El siguiente teorema proporciona condiciones suficientes para la existencia y unicidad de las soluciones de los problemas de valor inicial para (9.5.1.3). Omitimos la prueba.

Teorema 9.5.1.1

Suponga que p y q son continuas en un intervalo abierto (a, b), sea x₀ cualquier punto en (a, b) y sean k₀ y k₁ números reales arbitrarios. Entonces el problema del valor inicial

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-23.png

tiene una solución única en (a, b).

Como y ≡ 0 es obviamente una solución de (9.5.1.3), la llamamos solución trivial. Cualquier otra solución es no trivial. Bajo los supuestos del teorema 9.5.1.1, la única solución del problema de valor inicial

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-24.png

en (a, b) es la solución trivial (Ejercicio 9.5.24).

    Los siguientes tres ejemplos ilustran conceptos que desarrollaremos más adelante en esta sección. No debería preocuparse por cómo encontrar las soluciones dadas de las ecuaciones en estos ejemplos. Esto se explicará en secciones posteriores.

Ejemplo ilustrativo 9.5.1_1

Los coeficientes de y′ y y en

y y = 0                     (9.5.1.4)

son las funciones constantes p ≡ 0 y q ≡ −1, que son continuas en (−∞, ∞). Por lo tanto, el teorema 9.5.1.1 implica que todo problema de valor inicial para (9.5.1.4) tiene una solución única en (−∞, ∞).

(a) Verifique que y₁ = eˣ  y  y₂ = e⁻ˣ son soluciones de (9.5.1.4) en (−∞, ∞).
(b) Verifique que si c₁ y c₂ son constantes arbitrarias, y = c₁eˣ + c₂e⁻ˣ es una solución de (9.5.1.4) en (−∞, ∞).
(c) Resuelva el problema de valor inicial

Solución:

(a) Si y₁ = eˣ entonces y₁′ = eˣ  y  y₁″ = eˣ = y₁, entonces y₁″ − y₁ = 0. Si y₂ = e⁻ˣ, entonces y = −e⁻ˣ y″ = e⁻ˣ = y₂, entonces y₂″  y₂ = 0.

(b) Si

y = c₁eˣ + ce⁻ˣ                  (9.5.1.6)

entonces

y′ = c₁eˣ ce⁻ˣ                  (9.5.1.7)

y

y″ = c₁eˣ + ce⁻ˣ

entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-25.png

para todo x. Por lo tanto y = c₁eˣ + ce⁻ˣ es una solución de (9.5.1.4) en (−∞, ∞).

(c) Podemos resolver (9.5.1.5) eligiendo c₁ y c en (9.5.1.6) de modo que y(0) = 1 e y′(0) = 3. Estableciendo x = 0 en (9.5.1.6) y (9.5.1.7 ) muestra que esto es equivalente a

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-26.png

Resolver estas ecuaciones produce c₁ = 2 y c = −1. Por lo tanto y = 2eˣe⁻ˣ  es la única solución de (9.5.1.5) en (−∞, ∞).

Dejar un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Scroll Up