A1. Álgebra lineal con aplicaciones

A1. Álgebra lineal con aplicaciones

  • 7. Transformaciones lineales
  • 8. Ortogonalidad
  • 9. Cambio de base
  • 10. Espacios de productos internos
  • 11. Formas canónicas

  Prefacio

        Este libro de texto es una introducción a las ideas y técnicas del álgebra lineal para estudiantes de primer o segundo año con un conocimiento práctico del álgebra de la escuela secundaria. Los contenidos tienen suficiente flexibilidad para presentar una introducción tradicional al tema o para permitir un curso más aplicado. Los capítulos 1 a 4 contienen un curso de un semestre para principiantes, mientras que los capítulos 5 a 9 contienen un curso de segundo semestre (consulte los Esquemas de cursos sugeridos a continuación). El texto trata principalmente sobre álgebra lineal real con números complejos que se mencionan cuando es apropiado (revisado en el Apéndice A). En general, el objetivo del texto es lograr un equilibrio entre las habilidades computacionales, la teoría y las aplicaciones del álgebra lineal. El cálculo no es un requisito previo; los lugares donde se menciona pueden omitirse.

      Como regla general, los estudiantes de álgebra lineal aprenden estudiando ejemplos y resolviendo problemas. En consecuencia, el libro contiene una variedad de ejercicios (más de 1200, muchos con múltiples partes), ordenados según su dificultad. Además, el texto incluye más de 375 ejemplos resueltos, muchos de los cuales son de naturaleza computacional. Los ejemplos también se utilizan para motivar (e ilustrar) conceptos y teoremas, llevando al estudiante de lo concreto a lo abstracto. Si bien el tratamiento es riguroso, las pruebas se presentan a un nivel apropiado para el estudiante y pueden omitirse sin pérdida de continuidad. Como resultado, el libro se puede utilizar para impartir un curso que enfatice el cálculo y los ejemplos, o para dar un tratamiento más teórico (algunas pruebas más extensas se aplazan hasta el final de la Sección).

      El álgebra lineal se aplica a las ciencias naturales, la ingeniería, la administración y las ciencias sociales, así como a las matemáticas. En consecuencia, se incluyen 18 secciones opcionales de “aplicaciones” en el texto que presentan temas tan diversos como redes eléctricas, modelos económicos, cadenas de Markov, recurrencias lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales y códigos lineales sobre campos finitos. Además, algunas aplicaciones (por ejemplo, sistemas dinámicos lineales y gráficos dirigidos) se introducen en contexto. Las secciones de aplicaciones aparecen al final de los capítulos correspondientes para animar a los estudiantes a navegar.

ESQUEMA DE CURSOS SUGERIDOS

       Este texto incluye la base para un curso de dos semestres en álgebra lineal.

♠   Los capítulos 1 a 4 proporcionan un curso estándar de un semestre de 35 conferencias, que incluyen ecuaciones lineales, álgebra matricial, determinantes, diagonalización y vectores geométricos, con aplicaciones según lo permita el tiempo. En Calgary, cubrimos las Secciones 1.1–1.3, 2.1–2.6, 3.1–3.3 y 4.1–4.4 y todos los estudiantes de ciencias e ingeniería toman el curso en su primer semestre. Los requisitos previos incluyen un conocimiento práctico del álgebra de la escuela secundaria (manipulaciones algebraicas y cierta familiaridad con los polinomios); no se requiere cálculo.

♠   Los capítulos 5 a 9 contienen un curso del segundo semestre que incluye Rn, espacios vectoriales abstractos, transformaciones lineales (y sus matrices), ortogonalidad, matrices complejas (hasta el teorema espectral) y aplicaciones. Aquí hay más material del que se puede cubrir en un semestre, y en Calgary cubrimos las Secciones 5.1–5.5, 6.1–6.4, 7.1–7.3, 8.1–8.7 y 9.1–9.3 con un par de aplicaciones según lo permita el tiempo.

♠   El Capítulo 5 es un capítulo “puente” que introduce conceptos como extensión, independencia y base en el entorno concreto de Rn, antes de aventurarse en el resumen en el Capítulo 6. La duplicación se equilibra con el valor de revisar estas nociones, y permite que el alumno se centre en el capítulo 6 en la nueva idea de un sistema abstracto. Además, el Capítulo 5 completa la discusión de rango y diagonalización de los capítulos anteriores, e incluye una breve introducción a la ortogonalidad en Rn, que crea la posibilidad de un curso de un semestre orientado a matrices que cubra el Capítulo 1-5 para los estudiantes que no deseen estudiar el teoría abstracta.

DEPENDENCIAS DE LOS CAPÍTULOS

      El siguiente cuadro sugiere cómo el material presentado en cada capítulo se basa en conceptos cubiertos en ciertos capítulos anteriores. Una flecha sólida significa que la fácil asimilación de las ideas y técnicas presentadas en el capítulo posterior depende de la familiaridad con el capítulo anterior. Una flecha discontinua indica que se hace alguna referencia al capítulo anterior, pero no es necesario cubrir el capítulo.

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ASPECTOS DESTACADOS DEL TEXTO

♠   Definición de multiplicación de matrices en dos etapas. Primero, en la Sección 2.2, los productos matriz-vector se presentan de forma natural al considerar el lado izquierdo de un sistema de ecuaciones lineales como un producto. En segundo lugar, los productos matriz-matriz se definen en la Sección 2.3 tomando las columnas de un producto AB como A multiplicado por las columnas correspondientes de B. Esto se motiva al considerar el producto matriz como una composición de mapas (ver el siguiente elemento). Esto funciona bien desde el punto de vista pedagógico y la definición habitual de producto punto se sigue fácilmente. Como beneficio adicional, la prueba de asociatividad de la multiplicación de matrices ahora toma cuatro líneas.

♠   Matrices como transformaciones. Las multiplicaciones de matriz-columna se consideran (en la sección 2.2) como transformaciones Rn → Rm. Estos mapas se utilizan luego para describir reflexiones geométricas simples y rotaciones en R2, así como sistemas de ecuaciones lineales.

♠   Transformaciones lineales tempranas. Se ha dicho que los espacios vectoriales existen para que las transformaciones lineales puedan actuar sobre ellos, por lo que estos mapas son un tema recurrente en el texto. Motivado por las transformaciones matriciales introducidas anteriormente, las transformaciones lineales Rn → Rm se definen en la Sección 2.6, sus matrices estándar se derivan y luego se utilizan para describir rotaciones, reflexiones, proyecciones y otros operadores en R2.

♠   Diagonalización precoz. Según lo solicitado por ingenieros y científicos, esta importante técnica se presenta en el primer término utilizando solo determinantes e inversas de matriz (antes de definir la independencia y la dimensión). Se dan aplicaciones al crecimiento de la población y las recurrencias lineales.

♠   Primeros sistemas dinámicos. Estos se introducen en el Capítulo 3 y conducen (a través de la diagonalización) a aplicaciones como la posible extinción de especies. Los estudiantes principiantes en ciencias e ingeniería pueden relacionarse con esto porque pueden ver (a menudo por primera vez) la relevancia del tema para el mundo real.

♠   Capítulo puente. El Capítulo 5 permite a los estudiantes lidiar con conceptos difíciles (como independencia, extensión y base) en el entorno concreto de Rn antes de tener que lidiar con espacios vectoriales abstractos en el Capítulo 6.

♠   Ejemplos. El texto contiene más de 375 ejemplos resueltos, que presentan las principales técnicas de la asignatura, ilustran las ideas centrales y se relacionan con los ejercicios de cada sección.

♠   Ejercicios. El texto contiene una variedad de ejercicios (casi 1175, muchos con múltiples partes), comenzando con problemas de cálculo y progresando gradualmente a ejercicios más teóricos. Algunas soluciones están disponibles al final del libro o en el Manual de soluciones del estudiante. Hay un manual de soluciones completo disponible para los instructores.

♠   Aplicaciones. Hay aplicaciones opcionales al final de la mayoría de los capítulos (consulte la lista a continuación). Si bien algunos se presentan en el transcurso del texto, la mayoría aparecen al final del capítulo relevante para alentar a los estudiantes a navegar.

♠   Apéndices. Debido a que se necesitan números complejos en el texto, se describen en el Apéndice A, que incluye la forma polar y las raíces de la unidad. Los métodos de demostración se analizan en el Apéndice B, seguidos de la inducción matemática en el Apéndice C. En el Apéndice D se incluye una breve discusión de los polinomios. Todos estos temas se presentan en el nivel de la escuela secundaria.

♠   Autoestudio. Este texto es autocontenido y, por lo tanto, es adecuado para el autoaprendizaje.

♠   Rigor. Las pruebas se presentan lo más claramente posible (algunas al final de la sección), pero son opcionales y el instructor puede elegir cuánto quiere probar. Sin embargo, las pruebas están ahí, por lo que este texto es más riguroso que la mayoría. El álgebra lineal proporciona uno de los mejores lugares donde los estudiantes comienzan a pensar de manera lógica y a discutir de manera concisa. Con este fin, hay ejercicios que le piden al estudiante que “muestre” alguna implicación simple, y otros que le piden que pruebe una afirmación determinada o que dé un contraejemplo. Personalmente presento algunas pruebas en el primer curso del semestre y más en el segundo (ver los Esquemas sugeridos del curso).

♠   Teoremas principales. En el libro se presentan varios resultados importantes. Ejemplos: singularidad de la forma escalonada reducida; la expansión del cofactor para los determinantes; el teorema de Cayley-Hamilton; la forma canónica de Jordan; El teorema de Schur sobre la forma triangular de bloques; los ejes principales y teoremas espectrales; y otros. Las pruebas se incluyen porque los estudiantes más fuertes deben al menos estar conscientes de lo que está involucrado.

Strang

Strang 4

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