Vectores en tres dimensiones

(Cálculo vectorial)

VECTORES EN TRES DIMENSIONES: Objetivos de aprendizaje

10.2.1. Describe el espacio tridimensional matemáticamente.
10.2.2. Ubica puntos en el espacio usando coordenadas.
10.2.3. Escribe la fórmula de la distancia en tres dimensiones.
10.2.4. Escribe las ecuaciones para planos y esferas simples.
10.2.5. Realizar operaciones vectoriales en R³.

Ejercicios resueltos del Capítulo 10 (enunciados tomados del libro de Zill)

       Los vectores son herramientas útiles para resolver problemas bidimensionales. La vida, sin embargo, ocurre en tres dimensiones. Para expandir el uso de vectores a aplicaciones más realistas, es necesario crear un marco para describir el espacio tridimensional. Por ejemplo, aunque un mapa bidimensional es una herramienta útil para navegar de un lugar a otro, en algunos casos la topografía del terreno es importante. ¿Su ruta planeada va a través de las montañas? ¿Tienes que cruzar un río? Para apreciar completamente el impacto de estas características geográficas, debes usar tres dimensiones. Esta sección presenta una extensión natural del plano de coordenadas cartesianas bidimensional a un sistema de coordenadas de un espacio en tres dimensiones.

Sistemas de coordenadas tridimensionales

Como hemos aprendido, el sistema de coordenadas rectangulares bidimensionales contiene dos ejes perpendiculares: el eje horizontal x y el eje vertical y. Podemos agregar una tercera dimensión, el eje z, que es perpendicular tanto al eje x como al eje y. Llamamos a este sistema el sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales. Representa las tres dimensiones que encontramos en la vida real.

DEFINICIÓN. Sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales

El sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales consta de tres ejes perpendiculares: el eje x, el eje y y el eje z. Debido a que cada eje es una recta numérica que representa todos los números reales en R, el sistema tridimensional a menudo se denota por R³.

En la figura 10.2_1 (a), el eje z positivo se muestra sobre el plano que contiene los ejes x e y. El eje x positivo aparece a la izquierda y el eje y positivo está a la derecha. Una pregunta natural es: ¿Cómo se determinó el acuerdo? El sistema que se muestra sigue la regla de la mano derecha. Si tomamos nuestra mano derecha y alineamos los dedos con el eje x positivo, luego doblamos los dedos para que apunten en la dirección del eje y positivo, nuestro pulgar apunta en la dirección del eje z positivo. En este texto, siempre trabajamos con sistemas de coordenadas configurados de acuerdo con la regla de la mano derecha. Algunos sistemas siguen una regla de la mano izquierda, pero la regla de la derecha se considera la representación estándar.

Figura 10.2_1 (a) Podemos extender el sistema de coordenadas rectangulares bidimensionales agregando un tercer eje, el eje z, que es perpendicular tanto al eje x como al eje y. (b) La regla de la mano derecha se usa para determinar la ubicación de los ejes de coordenadas en el plano cartesiano estándar.

En dos dimensiones, describimos un punto en el plano con las coordenadas (x, y). Cada coordenada describe cómo se alinea el punto con el eje correspondiente. En tres dimensiones, se agrega una nueva coordenada, z, para indicar la alineación con el eje z: (x, y, z). Un punto en el espacio se identifica por las tres coordenadas (Figura 10.2_2). Para trazar el punto (x, y, z), vaya x unidades a lo largo del eje x, luego y unidades en la dirección del eje y, luego, z unidades en la dirección del eje z.

Figura 10.2_2 Para trazar el punto (x, y, z) vaya x unidades a lo largo del eje x, luego y unidades en la dirección del eje y, luego z unidades en la dirección del eje z.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.2_1. Puntos de localización en el espacio

Localiza el punto (1, −2, 3) en el espacio tridimensional.

Solución:

Para localizar este punto en R³, comience dibujando tres lados de un prisma rectangular a lo largo de los ejes de coordenadas: una unidad en la dirección x positiva, 2 unidades en la dirección y negativa y 3 unidades en la dirección z positiva. Complete el prisma para trazar el punto (Figura 10.2_3).

Figura 10.2_3 Dibujando el punto (1, −2, 3).

Ejercicio de control 10.2_1

Dibuja el punto (−2, 3, −1) en un espacio tridimensional.

       En el espacio bidimensional, el plano de coordenadas está definido por un par de ejes perpendiculares. Estos ejes nos permiten nombrar cualquier ubicación dentro del plano. En tres dimensiones, definimos planos de coordenadas por los ejes de coordenadas, tal como en dos dimensiones. Ahora hay tres ejes, por lo que hay tres pares de ejes que se cruzan. Cada par de ejes forma un plano de coordenadas: el plano xy, el plano xz y el plano yz (Figura 10.2_4).

Definimos formalmente el plano xy como el siguiente conjunto: {(x, y, 0): x, y ∈ R}. Del mismo modo, el plano xz y el plano yz se definen como {(x, 0, z): x, z ∈ R} y {(0, y, z): y, z ∈ R}, respectivamente.

Para visualizar esto, imagina que estás construyendo una casa y estás parado en una habitación con solo dos de las cuatro paredes terminadas. (Suponga que las dos paredes terminadas son adyacentes entre sí). Si se para de espaldas a la esquina donde se encuentran las dos paredes terminadas, de frente a la habitación, el piso es el plano xy, la pared a su derecha es el xz-plano, y la pared a su izquierda es el yz-plano.

Figura 2.10.2_4 El plano que contiene los ejes x e y se llama plano xy. El plano que contiene los ejes x y z se llama plano xz, y los ejes y y z definen el plano yz.

En dos dimensiones, los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes. Del mismo modo, los planos de coordenadas dividen el espacio entre ellos en ocho regiones alrededor del origen, llamadas octantes. Los octantes llenan R³ de la misma manera que los cuadrantes llenan R², como se muestra en la Figura 10.2_5.

Figura 10.2_5 Los puntos que se encuentran en octantes tienen tres coordenadas distintas de cero.

       La mayoría del trabajo en el espacio tridimensional es una extensión cómoda de los conceptos correspondientes en dos dimensiones. En esta sección, usamos nuestro conocimiento de los círculos para describir las esferas, luego ampliamos nuestra comprensión de los vectores a tres dimensiones. Para lograr estos objetivos, comenzamos adaptando la fórmula de la distancia al espacio tridimensional.

Si dos puntos se encuentran en el mismo plano de coordenadas, entonces es sencillo calcular la distancia entre ellos. Consideramos que la distancia d entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) en el plano de coordenadas xy viene dada por la fórmula

La fórmula para la distancia entre dos puntos en el espacio es una extensión natural de esta fórmula.

TEOREMA. Distancia entre dos puntos en el espacio

La distancia d entre los puntos (x₁, y₁, z₁) y (x₂, y₂, z₂) viene dada por la fórmula

La demostración de este teorema se deja como ejercicio. (Sugerencia: primero encuentre la distancia d₁ entre los puntos (x₁, y₁, z₁) y (x₂, y₂, z₁) como se muestra en la figura 10.2_6)

Figura 10.2_6 La distancia entre P₁ y P₂ es la longitud de la diagonal del prisma rectangular que tiene P₁ y P₂ como esquinas opuestas.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.2_2. Distancia en el espacio

Encuentre la distancia entre los puntos P₁ = (3, −1, 5) y P₂ = (2, 1, −1).

Solución:

Sustituya los valores directamente en la fórmula de la distancia:

Ejercicio de control 10.2_2

Encuentre la distancia entre los puntos P₁ = (1, −5, 4)  y  P₂ = (4, −1, −1).

       Antes de pasar a la siguiente sección, veamos cómo R³ difiere de R². Por ejemplo, en R², las rectas que no son paralelas siempre deben cruzarse. Este no es el caso en R³. Por ejemplo, considere las rectas en azul y rojo que se muestran en la Figura 10.2_7. Estas dos rectas ni son paralelas, ni se intersecan.

Figura 10.2_7 Estas dos rectas no son paralelas, pero tampoco se intersecan.

R³ también puede tener círculos que estén interconectados pero que no tengan puntos en común, como en la Figura 10.2_8.

Figura 10.2_8 Estos círculos están interconectados, pero no tienen puntos en común.

Tenemos mucha más flexibilidad trabajando en tres dimensiones que si nos quedamos con solo dos dimensiones.

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