Aproximando áreas

Aproximando áreas: Objetivos de aprendizaje

5.1.1 Usar la notación sigma (sumatoria) para calcular sumas y potencias de enteros.
5.1.2. Usar la suma de áreas rectangulares para aproximar el área bajo una curva.
5.1.3. Usar sumas de Riemann para aproximar el área.

Arquímedes estaba fascinado con el cálculo de las áreas de varias formas, en otras palabras, la cantidad de espacio encerrado por la forma. Utilizó un proceso que se conoce como el método de exhaución (“agotamiento”), que utilizaba formas cada vez más pequeñas, cuyas áreas se podían calcular exactamente, para llenar una región irregular y, por lo tanto, obtener aproximaciones cada vez más cercanas al área total. En este proceso, un área delimitada por curvas se rellena con rectángulos, triángulos y formas con fórmulas de área exacta. Estas áreas se suman para aproximar el área de la región curva.

En esta sección, desarrollamos técnicas para aproximar el área entre una curva, definida por una función f (x), y el eje x en un intervalo cerrado [a, b]. Al igual que Arquímedes, primero aproximamos el área bajo la curva usando formas de área conocida (es decir, rectángulos). Al usar rectángulos cada vez más pequeños, nos acercamos cada vez más al área. Tomar un límite nos permite calcular el área exacta debajo de la curva.

Comencemos presentando alguna notación para facilitar los cálculos. Luego consideramos el caso cuando f (x) es continuo y no negativo. Más adelante en el capítulo, relajamos algunas de estas restricciones y desarrollamos técnicas que se aplican en casos más generales.

Notación Sigma (sumatoria)

Como se mencionó, utilizaremos formas de área conocida para aproximar el área de una región irregular limitada por curvas. Este proceso a menudo requiere sumar largas cadenas de números. Para que sea más fácil escribir estas sumas largas, vemos aquí una nueva notación, llamada notación sigma (también conocida como notación de suma). La letra mayúscula griega Σ, sigma, se utiliza para expresar sumas largas de valores en una forma compacta. Por ejemplo, si queremos agregar todos los enteros del 1 al 20 sin notación sigma, tenemos que escribir

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20.

Probablemente podríamos dejar de escribir un par de términos (designados por puntos suspensivos) y dar la suma como

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 19 + 20, 

lo que es mejor, pero todavía engorroso. Con la notación sigma, escribimos esta suma como

Que es mucho más compacto.

Por lo general, la notación sigma se presenta en la forma

donde ai describe los términos que se agregarán, y la i se llama índice. Cada término se evalúa, luego sumamos todos los valores, comenzando con el valor cuando i = 1 y terminando con el valor cuando i = n.

Por ejemplo, una expresión como

se interpreta como s2 + s3 + s4 + s5 + s6 + s7. Tenga en cuenta que el índice se usa solo para realizar un seguimiento de los términos que se agregarán; no tiene en cuenta el cálculo de la suma misma. Por lo tanto, el índice se llama variable ficticia. Podemos usar cualquier letra que nos guste para el índice. Típicamente, los matemáticos usan i, j, k, m y n para los índices.

Regla: Propiedades de la notación sigma

Supongamos que a1, a2, …, an y b1, b2, …, bn representan dos secuencias de términos y que c sea una constante. Las siguientes propiedades son válidas para todos los enteros positivos n y para los enteros m, con 1 ≤ m ≤ n.

Algunas fórmulas más para funciones encontradas con frecuencia simplifican aún más el proceso de suma. Estos se muestran en la siguiente tabla, para sumas y potencias de enteros

Regla: Sumas y potencias de números enteros

Ejercicios resueltos

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