Aproximando áreas

Aproximando áreas: Objetivos de aprendizaje

5.1.1 Usar la notación sigma (sumatoria) para calcular sumas y potencias de enteros.
5.1.2. Usar la suma de áreas rectangulares para aproximar el área bajo una curva.
5.1.3. Usar sumas de Riemann para aproximar el área.

Arquímedes estaba fascinado con el cálculo de las áreas de superficies que presentan variadas formas, en otras palabras, de calcular la cantidad de espacio encerrado por la forma. Utilizó un proceso que se conoce como el método de exhaución (“agotamiento”), que utilizaba formas cada vez más pequeñas, cuyas áreas se podían calcular exactamente, para llenar una región irregular y, por lo tanto, obtener aproximaciones cada vez más cercanas al área total. En este proceso, un área delimitada por curvas se rellena con rectángulos, triángulos u otras figuras geométricas con fórmulas de área conocida. Estas áreas se suman para aproximar el área de la región estudiada.

En esta sección, desarrollamos técnicas para aproximar el área entre una curva, definida por una función f (x), y el eje x en un intervalo cerrado [a, b]. Al igual que Arquímedes, primero aproximamos el área bajo la curva usando formas de área conocida (es decir, rectángulos). Al usar rectángulos cada vez más pequeños, nos acercamos cada vez más al área. Tomar un límite nos permite calcular el área exacta bajo de la curva.

Comencemos presentando alguna notación para facilitar los cálculos. Luego consideramos el caso cuando f (x) es continuo y no negativo. Más adelante en el capítulo, relajamos algunas de estas restricciones y desarrollamos técnicas que se aplican en casos más generales.

Notación Sigma (sumatoria)

Como se mencionó, utilizaremos formas de área conocida para aproximar el área de una región irregular limitada por curvas. Este proceso a menudo requiere sumar largas cadenas de números. Para que sea más fácil escribir estas sumas largas, vemos aquí una nueva notación, llamada notación sigma (también conocida como notación de suma). La letra mayúscula griega Σ, sigma, se utiliza para expresar sumas largas de valores en una forma compacta. Por ejemplo, si queremos agregar todos los enteros del 1 al 20 sin notación sigma, tenemos que escribir

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20.

Probablemente podríamos dejar de escribir un par de términos (designados por puntos suspensivos) y dar la suma como

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 19 + 20, 

lo que es mejor, pero todavía engorroso. Con la notación sigma, escribimos esta suma como

Que es mucho más compacto.

Por lo general, la notación sigma se presenta en la forma

donde aᵢ describe los términos que se agregarán, y la i se llama índice. Cada término se evalúa, luego sumamos todos los valores, comenzando con el valor cuando i = 1 y terminando con el valor cuando i = n.

Por ejemplo, una expresión como

se interpreta como s₂ + s₃ + s₄ + s₅ + s₆ + s₇. Tenga presente que el índice se usa solo para realizar un seguimiento de los términos que se agregarán, no se tiene en cuenta en el cálculo de la suma misma. De tal modo que el índice se denomina variable ficticia. Podemos usar cualquier letra que nos guste para el índice. Típicamente, los matemáticos usan i, j, k, m y n para los índices..

Ejemplo ilustrativo 5.1_1. Usando la notación Sigma

a. Escriba en notación sigma y evalúe la suma de los términos de la formaEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-544.pngpara i = 1, 2, 3, 4, 5.

b. Escriba la siguiente suma en notación sigma:Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-539.pngSolución:
a. EscribaEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-540.pngb. El denominador de cada término es un cuadrado perfecto. Usando la notación sigma, esta suma se puede reescribir comoEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-541.png

Regla 5.1_1: Propiedades de la notación sigma

Supongamos que a1, a2, …, an y b1, b2, …, bn representan dos secuencias de términos y que c sea una constante. Las siguientes propiedades son válidas para todos los enteros positivos m y n  , con 1 ≤ m ≤ n.

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es 5.1_4.png

Prueba

Aquí probamos las propiedades 2. y 3., y dejamos la prueba de las otras tres propiedades como Ejercicios.

2. Se tiene queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-542.png

3. Se tiene queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-543.png

Algunas fórmulas, para sumatorias encontradas con frecuencia, simplifican aún más el proceso de suma. Estas se muestran en la siguiente tabla, para sumas de los primeros n enteros y para las sumas de las potencias segundas y terceras de los primeros n enteros.

Regla 5.1_2: Sumas de números enteros y sumas de potencias de números enteros

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es 5.1_5.png

Ejemplo ilustrativo 5.1_2. Evaluación de una suma usando la notación Sigma

Escriba usando notación sigma y evalúe las siguientes sumas:
a. La suma de los términos de la forma  (i − 3)² para i = 1, 2, …, 200.
b. La suma de los términos de la forma (i³ − i²) para i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Solución:
a. Desarrollando el producto notable (i − 3)², podemos dar la expresión como la suma de tres términos:

b. Se utiliza la propiedad de notación sigma iv. y las reglas para la suma de términos cuadrados y la suma de términos de cubos:

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-546.png

Ejemplo ilustrativo 5.1_3. Encontrar la suma de los valores de una función

Encuentre la suma de los valores de f (x) = x³ para los enteros 1, 2, 3, …, 10.

Solución:
Usando la fórmula respectiva, tenemos

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