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9.1.3 Campos direccionales para ecuaciones de primer orden

       Es imposible encontrar fórmulas explícitas para soluciones de algunas ecuaciones diferenciales. Incluso si existen tales fórmulas, pueden ser tan complicadas que son inútiles. En este caso, podemos recurrir a métodos gráficos o numéricos para tener una idea de cómo se comportan las soluciones de la ecuación dada.

En la Sección 9.2.3 abordaremos la cuestión de la existencia de soluciones de una ecuación de primer orden

y′ = f (x, y)          (9.1.3_1)

En esta sección simplemente asumiremos que (9.1.3_1) tiene soluciones y discutiremos un método gráfico para obtener una solución aproximada. En el Capítulo 9.3 discutimos métodos numéricos para obtener soluciones aproximadas de (9.1.3_1).

Recuerde que una solución de (9.1.3_1) es una función y = y(x) tal que

y′ = f (x, y(x))

para todos los valores de x en algún intervalo, y una curva integral es la gráfica de una solución o está formada por segmentos que son gráficas de soluciones. Por lo tanto, no poder resolver (9.1.3_1) es equivalente a no conocer las ecuaciones de las curvas integrales de (9.1.3_1). Sin embargo, es fácil calcular las pendientes de estas curvas. Para ser específicos, la pendiente de una curva integral de (9.1.3_1) a través de un punto dado (x₀, y₀) viene dada por el número f (x₀, y₀). Esta es la base del método de los campos direccionales.

Si f se define en un conjunto R, podemos construir un campo direccional para (9.1.3_1) en R dibujando un pequeño segmento de recta a través de cada punto (x, y) en R con pendiente f (x, y). Por supuesto, como cuestión práctica, no podemos dibujar segmentos de recta a través de cada punto en R; más bien, debemos seleccionar un conjunto finito de puntos en R.
Por ejemplo, supongamos que f se define en la región rectangular cerrada

R: {a ≤ x ≤ b,  c ≤ y ≤ d}.

Seanpuntos igualmente espaciados en [a, b] ypuntos igualmente espaciados en [c, d]. Decimos que los puntos

forman una cuadrícula rectangular (Figura 9.1.3_1). A través de cada punto de la cuadrícula dibujamos un pequeño segmento de recta con pendiente f (xᵢ , yⱼ). El resultado es un campo de direcciones para (9.1.3_1) en R. Si los puntos de la cuadrícula son lo suficientemente numerosos y cercanos, podemos dibujar curvas integrales aproximadas de (9.1.3_1) trazando curvas tangentes a cada uno de los puntos siguiendo la dirección  indicada por las pendientes de los segmentos de recta asociadas a cada punto de la cuadrícula.

Figura 9.1.3_1 Una cuadrícula rectangular

Desafortunadamente, trazar un campo de direcciones y graficar curvas integrales aproximadas de esta manera es demasiado tedioso para hacerlo efectivamente a mano. Sin embargo, hay software para hacer esto. Como verá, la combinación de campos de direcciones y curvas integrales proporciona información útil sobre el comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial, incluso si no podemos obtener soluciones exactas.

Como ya mencionamos antes estudiaremos métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden dadas en la forma y′ = f (x, y) (9.1.3_1) en el Capítulo 9.3.

Estos métodos de campos direccionales se pueden usar para trazar curvas de solución de (9.1.3_1) en una región rectangular R si f es continua en R.
Las figuras 9.1.3_2, 9.1.3_3 y 9.1.3_4 muestran campos de direcciones y curvas de solución para las ecuaciones diferenciales

que son de la forma (9.1.3_1) con f continua para todos los puntos (x, y).

Figura 9.1.3_2 Un campo direccional y curvas integrales para

Figura 9.1.3_3 Un campo direccional y curvas integrales para

Figura 9.1.3_4 Un campo direccional y curvas integrales para

Los métodos del Capítulo 9.3 no funcionarán para resolver numéricamente la ecuación

y′ = −x/y          (9.1.3_2)

si R contiene parte del eje x, ya que f (x, y) = −x/y no está definida cuando y = 0.

De manera similar, los métodos numéricos del Capítulo 9.3 no funcionarán para la ecuaciónsi R contiene alguna parte del círculo unitario x² + y² = 1, porque el lado derecho de (9.1.3_3) no está definido si x² + y² = 1.

Sin embargo, (9.1.3_2) y (9.1.3_3) pueden escribirse como

donde A y B son continuos en cualquier región rectangular R. Debido a esto, algunos programas de computación que analizan ecuaciones diferenciales se basan en la resolución numérica de pares de ecuaciones de la formadonde x e y se consideran funciones de un parámetro t. Si x = x(t) e y = y(t) satisfacen estas ecuaciones, luegoentonces y = y(x) satisface (9.1.3_4).

Las ecuaciones. (9.1.3_2) y (9.1.3_3) pueden reformularse como en (9.1.3_4) con

y

respectivamente. Incluso si f es continua y de otro modo “agradable” en R, su software puede requerir que reformule la ecuación y′ = f (x, y) como

que tiene la forma (9.1.3_5) con A(x, y) = f (x, y) y B(x, y) = 1.

La figura 9.1.3_5 muestra un campo de direcciones y algunas curvas integrales para (9.1.3_2). Como vimos en el Ejemplo 9.1.2_1 y verificaremos nuevamente en la Sección 9.2.2, las curvas integrales de (9.1.3_2) son circunferencias centradas en el origen.

Figura 9.1.3_5 Un campo de direcciones y curvas integrales para y′ = −x/y

La figura 9.1.3_6 muestra un campo direccional y algunas curvas integrales para (9.1.3_3). Las curvas integrales cerca de la parte superior e inferior son curvas de solución. Sin embargo, las curvas integrales cerca del medio son más complicadas.
Por ejemplo, la figura 9.1.3_7 muestra la curva integral a través del origen. Los vértices del rectángulo discontinuo están en la circunferencia x² + y² = 1 (a ≈ .846, b ≈ .533), donde todas las curvas integrales de (9.1.3_3) tienen pendiente infinita. Hay tres curvas de solución de (9.1.3_3) en la curva integral de la figura: el segmento por encima del nivel y = b es la gráfica de una solución en (−∞, a), el segmento por debajo del nivel y = −b es la gráfica de una solución en (−a, ∞), y el segmento entre estos dos niveles es la gráfica de una solución en (−a, a).

Figura 9.1.3_6 Un campo direccional y curvas integrales para

Figura 9.1.3_7

USO DE TECNOLOGÍA

    A medida que estudies este capítulo de ED, a menudo se te pedirá que uses software y graficadoras para computadora. Los ejercicios con este propósito se marcan como C (se requiere computadora o calculadora), C/G (se requiere computadora y/o graficadora) o L (trabajo de laboratorio que requiere software y / o graficadora). A menudo, es posible que no comprenda completamente cómo el software hace lo que hace. Esto es similar a la situación en la que se encuentra la mayoría de las personas cuando conducen automóviles o miran televisión, y no disminuye el valor del uso de la tecnología moderna como ayuda para el aprendizaje. Sólo tenga cuidado de utilizar la tecnología como un complemento del pensamiento en lugar de sustituirlo.