4. Aplicaciones de la derivada

4.10. ANTIDERIVADAS: Objetivos de aprendizaje

4.10.1. Encontrar la antiderivada general de una función dada.
4.10.2. Explicar los términos y la notación utilizados para una integral indefinida.
4.10.3. Indicar la regla de la potencia para integrales.
4.10.4. Usar la antidiferenciación para resolver problemas simples de valor inicial.

    En este punto, hemos visto cómo calcular derivadas de muchas funciones y se nos ha presentado una variedad de sus aplicaciones. Ahora hacemos una pregunta que da vuelta a este proceso: Dada una función f, ¿cómo encontramos una función con la derivada f y por qué estaríamos interesados en tal función?

Respondemos la primera parte de esta pregunta definiendo Antiderivadas. La antiderivada de una función f es una función con una derivada f. ¿Por qué nos interesan las antiderivadas? La necesidad de antiderivadas surge en muchas situaciones, y observaremos varios ejemplos en el resto del texto. Aquí examinamos un ejemplo específico que involucra movimiento rectilíneo.

En nuestro examen en Derivadas del movimiento rectilíneo, mostramos que dada una función de posición s(t) de un objeto, entonces su función de velocidad v(t) es la derivada de s(t), es decir, v(t) = s′(t). Además, la aceleración a(t) es la derivada de la velocidad v(t), es decir, a(t)  = v′(t) = s″(t). Ahora supongamos que se nos da una función de aceleración a, pero no la función de velocidad v o la función de posición s. Como a(t) = v′(t), determinar la función de velocidad requiere que encontremos una antiderivada de la función de aceleración. Entonces, dado que v(t) = s′(t), determinar la función de posición requiere que encontremos una antiderivada de la función de velocidad. El movimiento rectilíneo es solo un caso en el que surge la necesidad de antiderivadas. Veremos muchos más ejemplos en el resto del texto. Por ahora, veamos la terminología y la notación de las antiderivadas, y determinemos las antiderivadas para varios tipos de funciones. Examinamos varias técnicas para encontrar antiderivadas de funciones más complicadas más adelante en el texto (en Introducción a las técnicas de integración).

El reverso de la diferenciación

En este punto, sabemos cómo encontrar derivadas de varias funciones. Ahora hacemos la pregunta opuesta. Dada una función f, ¿cómo podemos encontrar una función con la derivada f ? Si podemos encontrar una función F con derivada f, llamamos a F una antiderivada de f.

Definición 4.10.1. Antiderivada

Una función F es una antiderivada de la función f si

F ′(x) = f (x) 

para todo x en el dominio de f.

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Considere la función f (x) = 2x. Conociendo la regla de la potencia de diferenciación, concluimos que

F (x) = x²

es una antiderivada de f ya que F ′(x) = 2x. ¿Hay otras antiderivadas de f ?: si; Como la derivada de cualquier constante C es cero,

F (x) = x² + C

también es una antiderivada de f (x) = 2x. Por lo tanto, F (x) = x² + 5 y F (x) = x² − √2 también son antiderivadas de f (x) = 2x.

¿Hay otras antiderivadas de f (x) = 2x  que no sean de la forma x² + C para alguna constante C ? La respuesta es no. Por el Corolario 2 del Teorema del valor medio, sabemos que si F y G son funciones diferenciables tales que F ′(x) = G′(x), entonces F(x) − G(x) = C para alguna constante C. Este hecho lleva al siguiente teorema importante.

Teorema 4.10.1.  Forma general de una antiderivada

Sea F una antiderivada de f en un intervalo I. Entonces, para cada constante C, la función F(x) + C también es una antiderivada de f sobre I; si G es una antiderivada de f sobre I, hay una constante C para la cual G(x) = F(x) + C sobre I. En otras palabras, la forma más general de la antiderivada de f sobre I es F(x) + C.

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Integrales indefinidas

Ahora damos la notación formal utilizada para representar las antiderivadas y examinamos algunas de sus propiedades. Estas propiedades nos permiten encontrar antiderivadas de funciones más complicadas. Dada una función f, usamos la notación f ′(x) o df/dx para denotar la derivada de f. Ahora presentamos la notación para antiderivadas. Si F es una antiderivada de f, decimos que F(x) + C es la antiderivada más general de f  y escribimos

El símbolo ∫ se llama signo integral, y ∫ f (x) dx se llama integral indefinida de f.

 

Definición 4.10.2. Integral indefinida

Dada una función f, la integral indefinida de f, denotada

es la antiderivada más general de f. Si F es una antiderivada de f, entonces

La expresión f (x) se llama integrando y la variable x es la variable de integración.

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Dada la terminología introducida en esta definición, el acto de encontrar las antiderivadas de una función f generalmente se conoce como integración f.

Para una función f y una antiderivada F, las funciones F(x) + C, donde C es cualquier número real, a menudo se refieren como la familia de antiderivadas de f.

Por ejemplo, dado que x² es una antiderivada de 2x y cualquier antiderivada de 2x tiene la forma x² + C, escribimos

La colección de todas las funciones de la forma x² + C, donde C es cualquier número real, se conoce como la familia de antiderivadas de 2x. La figura 4.10_1 muestra las gráficas de algunos miembros de esta familia de Antiderivadas.

Para algunas funciones, la evaluación de integrales indefinidas se sigue directamente de las propiedades de los derivados. Por ejemplo, para n ≠ −1,

que viene directamente de

Este hecho se conoce como la regla de la potencia para integrales.

Teorema 4.10.2. Regla de la potencia para integrales

Para n ≠ −1,

Tabla de integrales para algunas funciones comunes

La evaluación de integrales indefinidas para algunas otras funciones también es un cálculo sencillo. La siguiente tabla enumera las integrales indefinidas para varias funciones comunes.

De la definición de integral indefinida de f, sabemos que

si y sólo si F es una antiderivada de f. Por lo tanto, al afirmar que

Es importante verificar si esta afirmación es correcta mostrando que F ′ (x) = f (x).