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6.8 Crecimiento y Decaimiento Exponencial

Objetivos de aprendizaje:

2.8.1 Utilice el modelo de crecimiento exponencial en aplicaciones, incluyendo el crecimiento de la población y el interés compuesto.
2.8.2 Explique el concepto de tiempo de duplicación.
2.8.3 Utilice el modelo de decaimiento exponencial en aplicaciones, incluyendo el decaimiento radiactivo y la ley de enfriamiento de Newton.
2.8.4 Explique el concepto de vida media.

Una de las aplicaciones más frecuentes de las funciones exponenciales involucra modelos de crecimiento y decaimiento. El crecimiento y decaimiento exponencial aparecen en una gran cantidad de aplicaciones naturales. Desde el crecimiento de la población y el interés compuesto continuo hasta el decaimiento radiactivo y la ley de enfriamiento de Newton, las funciones exponenciales son omnipresentes en la naturaleza. En esta sección, examinamos el crecimiento y decaimiento exponencial en el contexto de algunas de estas aplicaciones.

Modelo de Crecimiento Exponencial

Muchos sistemas exhiben crecimiento exponencial. Estos sistemas siguen un modelo de la forma \(\mathit{y} = \mathit{y}_0 e^{\mathit{kt}}\), donde \(\mathit{y}_0\) representa el estado inicial del sistema y \(\mathit{k}\) es una constante positiva, llamada constante de crecimiento. Note que en un modelo de crecimiento exponencial, tenemos

\(\mathit{y}’ = \mathit{k} \mathit{y}_0 e^{\mathit{kt}} = \mathit{k} \mathit{y}\).

Es decir, la tasa de crecimiento es proporcional al valor actual de la función. Esta es una característica clave del crecimiento exponencial. La ecuación anterior involucra derivadas y se llama ecuación diferencial. Aprendemos más sobre ecuaciones diferenciales en Introducción a Ecuaciones Diferenciales.

Regla 6.8.1: Modelo de Crecimiento Exponencial

Los sistemas que exhiben crecimiento exponencial aumentan según el modelo matemático

\(\mathit{y} = \mathit{y}_0 e^{\mathit{kt}}\),

donde \(\mathit{y}_0\) representa el estado inicial del sistema y \(\mathit{k} > 0\) es una constante, llamada constante de crecimiento. ♦

      El crecimiento de la población es un ejemplo común de crecimiento exponencial. Considere una población de bacterias, por ejemplo. Parece plausible que la tasa de crecimiento de la población sea proporcional al tamaño de la población. Después de todo, cuantas más bacterias haya para reproducirse, más rápido crecerá la población. La Figura 6.8.1 y la Tabla 6.8.1 representan el crecimiento de una población de bacterias con una población inicial de 200 bacterias y una constante de crecimiento de 0.02. Observe que después de solo 2 horas (120 minutos), ¡la población es 10 veces su tamaño original!

Figura 6.8.1 Un ejemplo de crecimiento exponencial para bacterias.

Tiempo (min)	Tamaño de la población (número de bacterias)
10	244
20	298
30	364
40	445
50	544
60	664
70	811
80	991
90	1210
100	1478
110	1805
120	2205

Tabla 6.8.1 Crecimiento Exponencial de una Población Bacteriana

Tenga en cuenta que estamos utilizando una función continua para modelar lo que es inherentemente un comportamiento discreto. En cualquier momento dado, la población del mundo real contiene un número entero de bacterias, aunque el modelo adopta valores no enteros. Cuando utilizamos modelos de crecimiento exponencial, siempre debemos tener cuidado de interpretar los valores de la función en el contexto del fenómeno que estamos modelando.

Ejemplo ilustrativo 6.8.1: Crecimiento de la Población

Considere la población de bacterias descrita anteriormente. Esta población crece según la función \(\mathit{f}(\mathit{t}) = 200e^{0.02\mathit{t}}\), donde \(\mathit{t}\) se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias están presentes en la población después de 5 horas (300 minutos)? ¿Cuándo la población alcanza las 100,000 bacterias?

Solución:

Tenemos \(\mathit{f}(\mathit{t}) = 200e^{0.02\mathit{t}}\). Entonces

\(\mathit{f}(300) = 200e^{0.02(300)} \approx 80,686\).

Hay 80,686 bacterias en la población después de 5 horas.

Para encontrar cuándo la población alcanza las 100,000 bacterias, resolvemos la ecuación

\(\begin{aligned} 100,000 &= 200e^{0.02\mathit{t}} \\ 500 &= e^{0.02\mathit{t}} \\ \ln 500 &= 0.02\mathit{t} \\ \mathit{t} &= \frac{\ln 500}{0.02} \approx 310.73. \end{aligned}\)

La población alcanza las 100,000 bacterias después de 310.73 minutos. ♦

Ejercicio de control 6.8.1

Considere una población de bacterias que crece según la función \(\mathit{f}(\mathit{t}) = 500e^{0.05\mathit{t}}\), donde \(\mathit{t}\) se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias hay presentes en la población después de 4 horas? ¿Cuándo la población alcanza los 100 millones de bacterias? ♦

Ahora, centremos nuestra atención en una aplicación financiera: el interés compuesto. El interés que no se compone se llama interés simple. El interés simple se paga una vez, al final del período de tiempo especificado (generalmente 1 año). Entonces, si ponemos $1000 en una cuenta de ahorros que gana un 2% de interés simple por año, entonces al final del año tenemos

1000(1 + 0.02) = $1020.

El interés compuesto se paga varias veces al año, dependiendo del período de capitalización. Por lo tanto, si el banco compone el interés cada 6 meses, abona la mitad del interés del año a la cuenta después de 6 meses. Durante la segunda mitad del año, la cuenta gana intereses no solo sobre los $1000 iniciales, sino también sobre los intereses ganados durante la primera mitad del año. Hablando matemáticamente, al final del año, tenemos

1000\(\left(1 + \frac{0.02}{2}\right)^2 = $1020.10\).

De manera similar, si el interés se compone cada 4 meses, tenemos

1000\(\left(1 + \frac{0.02}{3}\right)^3 = $1020.13\),

y si el interés se compone diariamente (365 veces al año), tenemos $1020.20. Si extendemos este concepto, de modo que el interés se compone continuamente, después de t años tenemos

1000 \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{0.02}{n}\right)^{nt}\).

Ahora manipulemos esta expresión para que tengamos una función de crecimiento exponencial. Recuerde que el número e se puede expresar como un límite:

\(e = \lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m}\).

Con base en esto, queremos que la expresión dentro de los paréntesis tenga la forma \(\left(1 + \frac{1}{m}\right)\). Sea \(\mathit{n} = 0.02\mathit{m}\). Note que como \(\mathit{n} \to \infty\), \(\mathit{m} \to \infty\) también. Entonces obtenemos

\(1000 \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{0.02}{n}\right)^{nt} = 1000 \lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{0.02}{0.02\mathit{m}}\right)^{0.02\mathit{m}t} = 1000 \left[\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m}\right]^{0.02t}\).

Reconocemos el límite dentro de los corchetes como el número e. Entonces, el saldo en nuestra cuenta bancaria después de t años está dado por \(1000e^{0.02t}\). Generalizando este concepto, vemos que si una cuenta bancaria con un saldo inicial de $P gana intereses a una tasa de r%, capitalizados continuamente, entonces el saldo de la cuenta después de t años es

Balance = \(P e^{rt}\).

Ejemplo ilustrativo 6.8.2: Interés Compuesto

A un estudiante de 25 años se le ofrece la oportunidad de invertir algo de dinero en una cuenta de jubilación que paga un interés anual del 5% compuesto continuamente. ¿Cuánto necesita invertir el estudiante hoy para tener $1 millón cuando se jubile a los 65 años? ¿Qué pasaría si pudiera ganar un interés anual del 6% compuesto continuamente en su lugar?

Solución:

Tenemos

\( 1,000,000 = Pe^{0.05(40)} \)

\( P = 135,335.28 \)

Ella debe invertir $135,335.28 al 5% de interés.

Si, en cambio, ella puede ganar un 6%, entonces la ecuación se convierte en

\( 1,000,000 = Pe^{0.06(40)} \)

\( P = 90,717.95 \)

En este caso, ella necesita invertir solo $90,717.95. Esto es aproximadamente dos tercios de la cantidad que necesita invertir al 5%. El hecho de que el interés se capitalice continuamente magnifica enormemente el efecto del aumento del 1% en la tasa de interés. ♦

Ejercicio de control 6.8.2

Supongamos que, en lugar de invertir a los 25 años, la estudiante espera hasta los 35 años. ¿Cuánto tendría que invertir al 5%? ¿Al 6%? ♦

Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse permanece constante. En otras palabras, toma la misma cantidad de tiempo para que una población de bacterias crezca de 100 a 200 bacterias que para crecer de 10,000 a 20,000 bacterias. Este tiempo se llama tiempo de duplicación. Para calcular el tiempo de duplicación, queremos saber cuándo la cantidad alcanza el doble de su tamaño original. Así que tenemos:

\( 2y_0 = y_0 e^{kt} \)

\( 2 = e^{kt} \)

\( \ln 2 = kt \)

\( t = \frac{\ln 2}{k} \)

Definición 6.8.1

Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es la cantidad de tiempo que tarda la cantidad en duplicarse. Está dado por:

\[\text{Tiempo de duplicación} = \frac{\ln 2}{k}.\]

♦

Ejemplo ilustrativo 6.8.3: Usando el Tiempo de Duplicación

Asuma que una población de peces crece exponencialmente. Un estanque se abastece inicialmente con 500 peces. Después de 6 meses, hay 1000 peces en el estanque. El propietario permitirá que sus amigos y vecinos pesquen en su estanque después de que la población de peces alcance los 10,000. ¿Cuándo se les permitirá pescar a los amigos del propietario?

Solución:

Sabemos que la población de peces tarda 6 meses en duplicarse. Entonces, si t representa el tiempo en meses, por la fórmula del tiempo de duplicación, tenemos \( 6 = \frac{\ln 2}{k} \). Entonces, \( k = \frac{\ln 2}{6} \). Por lo tanto, la población está dada por \( y = 500e^{\frac{\ln 2}{6}t} \). Para averiguar cuándo la población alcanza los 10,000 peces, debemos resolver la siguiente ecuación:

\( 10,000 = 500e^{\frac{\ln 2}{6}t} \)

\( 20 = e^{\frac{\ln 2}{6}t} \)

\( \ln 20 = \left( \frac{\ln 2}{6} \right) t \)

\( t = \frac{6 \ln 20}{\ln 2} \approx 25.93 \)

Los amigos del dueño tienen que esperar 25.93 meses (un poco más de 2 años) para pescar en el estanque. ♦

Ejercicio de control 6.8.3

Suponga que la población de peces en el Ejemplo 6.8.3 tarda 9 meses en alcanzar los 1000 peces. Bajo estas circunstancias, ¿cuánto tiempo tienen que esperar los amigos del propietario? ♦

Modelo de Decaimiento Exponencial

Las funciones exponenciales también se pueden usar para modelar poblaciones que disminuyen (por ejemplo, por enfermedad) o compuestos químicos que se descomponen con el tiempo. Decimos que tales sistemas exhiben decaimiento exponencial, en lugar de crecimiento exponencial. El modelo es casi el mismo, excepto que hay un signo negativo en el exponente. Por lo tanto, para alguna constante positiva k, tenemos \( y = y_0 e^{-kt} \).

Al igual que con el crecimiento exponencial, existe una ecuación diferencial asociada con el decaimiento exponencial. Tenemos

\( y’ = -ky_0 e^{-kt} = -ky \)

Regla 6.8.2: Modelo de Decaimiento Exponencial

Los sistemas que exhiben decaimiento exponencial se comportan de acuerdo con el modelo

\( y = y_0 e^{-kt}, \)

donde \( y_0 \) representa el estado inicial del sistema y \( k > 0 \) es una constante, llamada la constante de decaimiento. ♦

La siguiente figura muestra una gráfica de una función de decaimiento exponencial representativa.

Figura 6.8.2 Un ejemplo de decaimiento exponencial.

Veamos una aplicación física del decaimiento exponencial. La ley de enfriamiento de Newton dice que un objeto se enfría a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura de los alrededores. En otras palabras, si \( T \) representa la temperatura del objeto y \( T_a \) representa la temperatura ambiente en una habitación, entonces

\( T’ = -k(T – T_a). \)

Ten en cuenta que este no es exactamente el modelo correcto para el decaimiento exponencial. Queremos que la derivada sea proporcional a la función, y esta expresión tiene el término adicional \( T_a \). Afortunadamente, podemos hacer un cambio de variables que resuelva este problema. Sea \( y(t) = T(t) – T_a \). Entonces \( y'(t) = T'(t) – 0 = T'(t) \), y nuestra ecuación se convierte en

\( y’ = -ky. \)

A partir de nuestro trabajo anterior, sabemos que esta relación entre \( y \) y su derivada conduce al decaimiento exponencial. Por lo tanto,

\( y = y_0 e^{-kt}, \)

y vemos que

\( T – T_a = (T_0 – T_a) e^{-kt} \)

\( T = (T_0 – T_a) e^{-kt} + T_a \)

donde \( T_0 \) representa la temperatura inicial. Apliquemos esta fórmula en el siguiente ejemplo.

Ejemplo ilustrativo 6.8.4: Ley de Enfriamiento de Newton

Según los baristas experimentados, la temperatura óptima para servir el café es entre 155°F y 175°F. Supongamos que el café se sirve a una temperatura de 200°F, y después de 2 minutos en una habitación a 70°F se ha enfriado a 180°F. ¿Cuándo el café está lo suficientemente frío para servir? ¿Cuándo el café está demasiado frío para servir? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano.

Solución:

Tenemos

\( \begin{aligned} T &= (T_0 – T_a) e^{-kt} + T_a \\ 111 &= (200 – 70) e^{-k(2)} + 70 \\ 111 – 70 &= 130 e^{-2k} \\ 41 &= 130 e^{-2k} \\ \frac{41}{130} &= e^{-2k} \\ \ln\frac{41}{130} &= -2k \\ k &= \frac{\ln\frac{130}{41}}{2} \end{aligned} \)

Entonces, el modelo es

\( T = 130e^{\left( \frac{\ln 11 – \ln 41}{2} \right)t} + 70 \)

El café alcanza 175°F cuando

\( \begin{aligned} 175 &= 130e^{\left( \frac{\ln 41 – \ln 130}{2} \right)t} + 70 \\ 175 – 70 &= 130e^{\left( \frac{\ln 41 – \ln 130}{2} \right)t} \\ 105 &= 130e^{\left( \frac{\ln 41 – \ln 130}{2} \right)t} \\ \frac{105}{130} &= e^{\left( \frac{\ln 41 – \ln 130}{2} \right)t} \\ \ln \frac{105}{130} &= \left( \frac{\ln 41 – \ln 130}{2} \right)t \\ t &= \frac{2 \ln \frac{105}{130}}{\ln \frac{41}{130}} \approx 1.56 \end{aligned} \)

El café se puede servir aproximadamente 1.56 minutos después de ser vertido. El café alcanza 155°F a

\( \begin{aligned} 155 &= 130e^{\left( \frac{\ln 41 – \ln 130}{2} \right)t} + 70 \\ 155 – 70 &= 130e^{\left( \frac{\ln 41 – \ln 130}{2} \right)t} \\ 85 &= 130e^{\left( \frac{\ln 41 – \ln 130}{2} \right)t} \\ \frac{85}{130} &= e^{\left( \frac{\ln 41 – \ln 130}{2} \right)t} \\ \ln \frac{85}{130} &= \left( \frac{\ln 41 – \ln 130}{2} \right)t \\ t &= \frac{2 \ln \frac{85}{130}}{\ln \frac{41}{130}} \approx 2.56 \end{aligned} \)

El café está demasiado frío para ser servido aproximadamente 2.56 minutos después de ser vertido. ♦

Ejercicio de control 6.8.4

Supongamos que la habitación es más cálida (75°F) y, después de 2 minutos, el café se ha enfriado solo a 185°F. ¿Cuándo está el café lo suficientemente frío para servir? ¿Cuándo estará el café demasiado frío para servir? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano. ♦

Así como los sistemas que exhiben crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, los sistemas que exhiben decaimiento exponencial tienen una vida media constante. Para calcular la vida media, queremos saber cuándo la cantidad alcanza la mitad de su tamaño original. Por lo tanto, tenemos

\( \frac{y_0}{2} = y_0 e^{-kt} \)

\( \frac{1}{2} = e^{-kt} \)

\( -\ln 2 = -kt \)

\( t = \frac{\ln 2}{k}. \)

Nota: Esta es la misma expresión que obtuvimos para el tiempo de duplicación.

Definición 6.8.2

Si una cantidad decae exponencialmente, la vida media es la cantidad de tiempo que tarda la cantidad en reducirse a la mitad. Se da por

\( \text{Vida media} = \frac{\ln 2}{k}. \)

♦

Ejemplo ilustrativo 6.8.5: Datación por Radiocarbono

Una de las aplicaciones más comunes de un modelo de decaimiento exponencial es la datación por carbono. El carbono-14 se descompone (emite una partícula radiactiva) a una velocidad exponencial regular y constante. Por lo tanto, si sabemos cuánto carbono estaba originalmente presente en un objeto y cuánto carbono permanece, podemos determinar la edad del objeto. La vida media del carbono-14 es de aproximadamente 5730 años, lo que significa que, después de tantos años, la mitad del material se ha convertido del carbono-14 original al nuevo nitrógeno-14 no radiactivo. Si tenemos 100 g de carbono-14 hoy, ¿cuánto queda en 50 años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono ahora contiene 10 g de carbono, ¿qué edad tiene? Redondee la respuesta a los cien años más cercanos.

Solución:

Tenemos

\( \begin{aligned} 5730k &= \ln 2 \\ k &= \frac{\ln 2}{5730}. \end{aligned} \)

Entonces, el modelo dice

\( y = 100e^{-(\ln 2/5730)t}. \)

En 50 años, tenemos

\( y \approx 100e^{-(\ln 2/5730)(50)} \approx 99.40. \)

Por lo tanto, en 50 años, 99.40 g de carbono-14 permanece.

Para determinar la edad del artefacto, debemos resolver

\( \begin{aligned} 10 &= 100e^{-(\ln 2/5730)t} \\ \frac{1}{10} &= e^{-(\ln 2/5730)t} \\ t &\approx 19035. \end{aligned} \)

El artefacto tiene aproximadamente 19,000 años. ♦

Ejercicio de control 6.8.5

Si tenemos 100 g de carbono-14, ¿cuánto queda después de 500 años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono ahora contiene 20 g de carbono, ¿qué edad tiene? Redondee la respuesta a los cien años más cercanos. ♦