9. Ecuaciones diferenciales

Ejercicios resueltos del capítulo 9

9.8. La transformada de Laplace: Objetivos de aprendizaje

      EN ESTE CAPÍTULO estudiamos el método de la transformada de Laplace, que ilustra una de las técnicas básicas de resolución de problemas en matemáticas: transformar un problema difícil en uno más fácil, resolver este último y luego usar su solución para obtener una solución del problema original. El método discutido aquí transforma un problema de valor inicial para una ecuación diferencial de coeficientes constantes en una ecuación algebraica cuya solución se puede usar para resolver el problema de valor inicial. En algunos casos, este método es simplemente un procedimiento alternativo para resolver problemas que pueden resolverse igualmente bien mediante métodos que consideramos anteriormente; sin embargo, en otros casos, el método de la transformada de Laplace es más eficiente que los métodos discutidos anteriormente. Esto es especialmente cierto en los problemas físicos relacionados con funciones de forzamiento discontinuas.

La SECCIÓN 9.8.1 define la transformada de Laplace y desarrolla sus propiedades.
La SECCIÓN 9.8.2 trata el problema de encontrar una función que tenga una transformada de Laplace dada.
La SECCIÓN 9.8.3 aplica la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales de segundo orden de coeficientes constantes en (0, ∞).
La SECCIÓN 9.8.4 presenta la función escalón unitario.
La SECCIÓN 9.8.5 usa la función escalón unitario para resolver ecuaciones de coeficientes constantes con funciones de forzamiento continuo por partes.
La SECCIÓN 9.8.6 trata del teorema de convolución, una propiedad teórica importante de la transformada de Laplace.
La SECCIÓN 9.8.7 introduce la idea de fuerza impulsiva y trata las ecuaciones de coeficientes constantes con funciones de fuerza impulsiva.
La SECCIÓN 9.8.8 es una breve tabla de transformadas de Laplace.

9.8.1 INTRODUCCIÓN A LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

😺 Ejercicios propuestos para el Capítulo 9.8.1 👀

Definición de la transformada de Laplace

Para definir la transformada de Laplace, primero recordamos la definición de una integral impropia. Si g es una función integrable en el intervalo [a, T] para todo T > a, entonces la integral impropia de g sobre [a, ∞) se define como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image.png             (9.8.1.1)

Decimos que la integral impropia converge si existe el límite en (9.8.1.1); de lo contrario, decimos que la integral impropia diverge o no existe. A continuación presentamos la definición de la transformada de Laplace de una función f.

Definición 9.8.1.1

Sea f una función definida para t ≥ 0 y sea s un número real. Entonces la transformada de Laplace de f es la función F definida por

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-1.png              (9.8.1.2)

para aquellos valores de s para los que converge la integral impropia. 

 

      Es importante tener en cuenta que la variable de integración en (9.8.1.2) es t, mientras que s es un parámetro independiente de t. Usamos t como la variable independiente para f  debido a que en las aplicaciones la transformada de Laplace generalmente se aplica a funciones que varían en el tiempo.

      La transformada de Laplace puede verse como un operador Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-3.pngque transforma la función f = f (t) en la función F = F(s). Por tanto, (9.8.1.2) se puede expresar como

F = Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-3.png( f ).

Las funciones f  y F forman un par de transformadas, que a veces denotaremos por

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-4.png

Se puede demostrar que si F(s) se define para s = s0, entonces se define para todo s > s0 (Ejercicio 14 (b)).

Cálculo de algunas transformadas simples de Laplace

Ejemplo ilustrativo 9.8.1.1

Encuentre la transformada de Laplace de f (t) = 1.

Solución:

De (9.8.1.2) con f (t) = 1,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-5.png

Si s ≠ 0 entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-6.png        (9.8.1.3)

Por lo tanto

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-7.png         (9.8.1.4)

Si s = 0 el integrando se reduce a la constante 1, y

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-25.png

Por lo tanto, F(0) no está definido y

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-9.png

Este resultado se puede escribir en notación de operador como

(1) Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-10.png

o como el par de transformación

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-11.png

OBSERVACIÓN: Es conveniente combinar los pasos de integrar de 0 a T y dejar que T → ∞. Por lo tanto, en lugar de escribir (9.8.1.3) y (9.8.1.4) como pasos separados, escribimos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-12.png

Seguiremos esta práctica a lo largo de este capítulo.  

Ejemplo ilustrativo 9.8.1.2

Encuentre la transformada de Laplace de f (t) = t.

Solución:

De (9.8.1.2) con f (t) = t,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-13.png        (9.8.1.5)

Si s ≠ 0, la integración por partes da como resultado

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-14.png

Si s = 0, la integral en (9.8.1.5) se convierte en

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-15.png

Por lo tanto F(0) es indefinida y

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-16.png

Este resultado también se puede escribir como

(t)Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-17.png

o como el par de transformación

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-18.png

Ejemplo ilustrativo 9.8.1.3

Encuentre la transformada de Laplace de f (t) = eat, donde a es una constante.

Solución:

Desde (9.8.1.2) con f (t) = eat,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-19.png

Combinando las exponenciales, se obtiene

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-20.png

Sin embargo, sabemos por el Ejemplo ilustrativo 9.8.1.1 que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-21.png

Al sustituir s por sa, se obtiene

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-22.png

Esto también se puede escribir como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-24.png

Ejemplo ilustrativo 9.8.1.4

Encuentre las transformadas de Laplace de f (t) = sen ωt  y  g(t) = cos ωt, donde ω es una constante.

Solución:

Define

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-26.png      (9.8.1.6)

y

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-27.png      (9.8.1.7)

Si s > 0, integrando (9.8.1.6) por partes se obtiene

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-28.png

así que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-29.png        (9.8.1.8)

Si s > 0, integrando (9.8.1.7) por partes se obtiene

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-30.png

así que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-31.png

Ahora sustituya F(s) dada en (9.8.1.8) en la fórmula anterior para obtener

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-32.png

Resolviendo esto para G(s) se obtiene

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-33.png

Esto y (9.8.1.8) implican que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-34.png

Tablas de transformadas de Laplace

Se han compilado extensas tablas de transformadas de Laplace y se usan comúnmente en aplicaciones. La breve tabla de transformadas de Laplace en el Apéndice será adecuada para nuestros propósitos.

Ejemplo ilustrativo 9.8.1.5

Usa la tabla de transformadas de Laplace para encontrar (t3e4t).

Solución:

La tabla incluye el par de transformación

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-35.png

Establecer n = 3 y a = 4 aquí produce

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-36.png

 

A veces escribimos transformadas de Laplace de funciones específicas sin indicar explícitamente cómo se obtienen. En tales casos, debe consultar la tabla de transformadas de Laplace.

Linealidad de la transformada de Laplace

El siguiente teorema presenta una propiedad importante de la transformada de Laplace.

Teorema 9.8.1.2 Propiedad de linealidad

Suponga que ( fi) se define para s > si, 1 ≤ in). Sea s0 el mayor de los números s1, s2,. . . , sn, y sea c1, c2 ,. . . , cn constantes. Entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-37.png

para s > s0


Prueba:
Damos la prueba para el caso donde n = 2. Si s > s0 entonces

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-38.png


 

Ejemplo ilustrativo 9.8.1.6

Utilice el teorema 9.8.1.2 y la conocida transformada de Laplace 

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-39.png

para encontrar (cosh bt), (b ≠ 0).

Solución:

Por definición,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-40.png

Por lo tanto

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-41.png    (propiedad de linealidad)       (9.8.1.9)

donde la primera transformada a la derecha se define para s > b y la segunda para s > −b; por tanto, ambos se definen para s > | b |. Simplificar la última expresión en (9.8.1.9) produce

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-42.png

El primer teorema de traslación

El siguiente teorema nos permite comenzar con pares de transformadas conocidos y deducir otros. (Para otros resultados de este tipo, véanse los Ejercicios 6 y 13.)

Teorema 9.8.1.3 Primer teorema de traslación

Si

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-43.png      (9.8.1.10)

es la transformada de Laplace de f (t) para s > s0, entonces F(sa) es la transformada de Laplace de eat f (t) para s > s0 + a.


PRUEBA:
Reemplazando s por sa en (9.8.1.10) produce

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-51.png        (9.8.1.11)

si sa > s0; es decir, si s > s0 + a. Sin embargo, (9.8.1.11) se puede reescribir como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-52.png

lo que implica la conclusión del teorema.  


 

Ejemplo ilustrativo 9.8.1.7

Utilice el teorema 9.8.1.3 y las transformadas de Laplace conocidas de 1, t, cos ωt y sen ωt para hallar

y

Solución:
En la siguiente tabla, los pares de transformadas conocidas se enumeran a la izquierda y los pares de transformadas requeridos enumerados a la derecha se obtienen aplicando el teorema 9.8.1.3

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Existencia de transformadas de Laplace

No todas las funciones tienen una transformada de Laplace. Por ejemplo, se puede demostrar (Ejercicio 3) que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-54.png

por cada número real s. Por tanto, la función no tiene una transformada de Laplace.

      Nuestro próximo objetivo es establecer condiciones que aseguren la existencia de la transformada de Laplace de una función. Primero revisamos algunas definiciones relevantes del cálculo.

Recuerda que un límite

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existe si y solo si los límites unilaterales

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-56.pngEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-57.png

ambos existen y son iguales; en este caso,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-58.png

Recuerde también que f es continua en un punto t0 en un intervalo abierto (a, b) si y sólo si

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que es equivalente a

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-60.png        (9.8.1.12)

Por simplicidad, definimos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-61.png  y  Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-62.png

por lo que (9.8.1.12) se puede expresar como

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-63.png

Si Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-64.png y Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-65.png tienen valores finitos pero distintos, decimos que f tiene una discontinuidad de salto en t0, y

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-66.png

se llama salto en f en t0 (figura 9.8.1.1).

(Figura 9.8.1.1 Una discontinuidad de salto)

Si y son finitos e iguales, pero f no está definida en t0 o está definida pero

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-68.png

decimos que f tiene una discontinuidad removible en t0 (Figura 9.8.1.2).

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-69.png

(Figura 9.8.1.2)

Esta terminología es apropiada ya que una función f con una discontinuidad removible en t0 puede hacerse continua en t0 definiendo (o redefiniendo)

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-70.png

OBSERVACIÓN: Sabemos por cálculo que una integral definida no se ve afectada al cambiar los valores de su integrando en puntos aislados. Por lo tanto, redefinir una función f para hacerla continua en discontinuidades removibles no cambia ( f ).

Definición 9.8.1.4

(i) Se dice que una función f es continua por tramos en un intervalo cerrado finito [0, T] si f (0+) y f (T−) son finitas y f es continua en el intervalo abierto (0, T) excepto posiblemente en un número finito de puntos, donde f puede tener discontinuidades de salto o discontinuidades removibles.
(ii) Se dice que una función f es continua por tramos en el intervalo infinito [0, ∞) si es continua por partes en [0, T] para cada T > 0. 

 

La figura 9.8.1.3 muestra la gráfica de una función continua por tramos típica

(Figura 9.8.1.3 Una función continua por tramos en [a, b])

      En cálculo se muestra que si una función es continua por tramos en un intervalo cerrado finito, entonces es integrable en ese intervalo. Pero si  f  es continua por tramos en [0, ∞), entonces también lo es est f (t), y por lo tanto

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-72.png

existe para cada T > 0. Sin embargo, la continuidad por tramos por sí sola no garantiza que la integral impropia

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-73.png        (9.8.1.13)

converge para s en algún intervalo (s0, ∞). Por ejemplo, notamos anteriormente que (9.8.1.13) diverge para todos los s si . Dicho de manera informal, esto ocurre porque Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-74.png aumenta demasiado rápido cuando t → ∞. La siguiente definición proporciona una restricción sobre el crecimiento de una función que garantiza la convergencia de su transformada de Laplace para s en algún intervalo (s0, ∞).

Definición 9.8.1.5

Se dice que una función f es de orden exponencial s0 si hay constantes M y t0 tales que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-75.png        (9.8.1.14)

En situaciones donde el valor específico de s0 es irrelevante, decimos simplemente que f es de orden exponencial.

     

       El siguiente teorema proporciona condiciones suficientes útiles para que una función f tenga una transformada de Laplace. La demostración se bosqueja en el Ejercicio 10.

Teorema 9.8.1.6

Si f es continua por tramos en [0, ∞) y de orden exponencial s0, entonces ( f ) se define para s > s0

OBSERVACIÓN: Enfatizamos que las condiciones del Teorema 9.8.1.6 son suficientes, pero no necesarias, para que f tenga una transformada de Laplace. Por ejemplo, el Ejercicio 14 (c) muestra que f puede tener una transformada de Laplace aunque f no sea de orden exponencial.

Ejemplo ilustrativo 9.8.1.8

Si f está acotada en algún intervalo [t0, ∞), digamos

| f (t) | ≤  Mt  ≥  t0,

entonces (9.8.1.14) se cumple con s0 = 0, entonces f es de orden exponencial cero. Así, por ejemplo, sen ωt  y  cos ωt  son de orden exponencial cero, y el Teorema 9.8.1.6 implica que (sen ωt)  y  (cos ωt) existen para s > 0. Esto es consistente con la conclusión del Ejemplo 9.8.1. 4

Ejemplo ilustrativo 9.8.1.9

Se puede demostrar que si Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-76.png existe y es finito, entonces f es de orden exponencial s0 (Ejercicio 9). Si α es cualquier número real y s0 > 0 entonces f (t) = tα es de orden exponencial s0, ya que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-77.png

por la regla de L’Hôpital. Si α ≥ 0, f también es continua en [0, ∞). Por lo tanto, el Ejercicio 9 y el teorema 9.8.1.6 implican que (t α) existe para ss0. Sin embargo, dado que s0 es un número positivo arbitrario, esto realmente implica que (t α) existe para todo s > 0. Esto es consistente con los resultados del Ejemplo 9.8.1.2 y los Ejercicios 6 y 8.

Ejemplo ilustrativo 9.8.1.10

Encuentre la transformada de Laplace de la función continua por partes

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-78.png

Solución:

Dado que f está definida por diferentes fórmulas en [0, 1) y [1, ∞), escribimos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-79.png

Ya que

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y

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-81.png

resulta que

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Esto es consistente con el Teorema 9.8.1.6, ya que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-83.png

y por lo tanto f es de orden exponencial s0 = −1.

OBSERVACIÓN: En la Sección 9.8.4 desarrollaremos un método más eficiente para encontrar transformadas de Laplace de funciones continuas por partes.

Ejemplo ilustrativo 9.8.1.11

Nosotros dijimos anteriormente que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-84.png

Para todas las s, por lo que el teorema 9.8.1.6 implica que no es de orden exponencial, ya que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-85.png

así que

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-86.png

para valores suficientemente grandes de t, para cualquier elección de M y s0 (Ejercicio 3).

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