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9.5.3  Ecuaciones lineales no homogéneas

Ahora consideraremos la ecuación lineal no homogénea de segundo orden

y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x),        (9.5.3.1)

donde la función de forzamiento f no es idénticamente cero. El siguiente teorema, una extensión del Teorema 9.5.1.1, da condiciones suficientes para la existencia y unicidad de soluciones de problemas de valor inicial para (9.5.3.1). Omitimos la prueba, que está más allá del alcance de este libro.

Teorema 9.5.3.1

Suponga que p, q y f son continuas en un intervalo abierto (a, b), sea x0 cualquier punto en (a, b), y sean k0 y k1 números reales arbitrarios. Entonces el problema de valor inicial

y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x),   y(x0) = k0, y′(x0) = k1

tiene solución única en (a, b).

      Para encontrar la solución general de (9.5.3.1) en un intervalo (a, b) donde p, q y f son continuas, es necesario encontrar la solución general de la ecuación homogénea asociada

y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0,        (9.5.3.2)

en (a, b). Llamamos a (9.5.3.2) la ecuación complementaria de (9.5.3.1).

      El siguiente teorema muestra cómo encontrar la solución general de (9.5.3.1) si conocemos una solución yp de (9.5.3.1) y un conjunto fundamental de soluciones de (9.5.3.2). Llamamos yp a una solución particular de (9.5.3.1); puede ser cualquier solución que podamos encontrar, de una forma u otra.

Teorema 9.5.3.2

Suponga que p, q y f son continuas en (a, b). Sea yp una solución particular de

y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x),        (9.5.3.3)

en (a, b), y sea {y1, y2} un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria

y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0,        (9.5.3.4)

en (a, b). Entonces y es una solución de (9.5.3.3) en (a, b) si y solo si

y = yp + c1y1 + c2y2,        (9.5.3.5)

donde c1 y c2 son constantes.

Prueba:

Primero mostramos que y en (9.5.3.5) es una solución de (9.5.3.3) para cualquier elección de las constantes c1 y c2.

Derivando (9.5.3.5) dos veces se obtiene

y′ = yp′ + c1y1′ + c2y2′   y   y′′ = yp′′ + c1y1′′ + c2y2′′,

así que

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ya que yp satisface (9.5.3.3) y y1 e y2 satisfacen (9.5.3.4).

      Ahora mostraremos que cada solución de (9.5.3.3) tiene la forma (9.5.3.5) para alguna elección de las constantes c1 y c2. Suponga que y es una solución de (9.5.3.3). Mostraremos que yyp  es una solución de (9.5.3.4), y por lo tanto de la forma yyp = c1y1 + c2y2, lo que implica (9.5.3.5). Para ver esto, calculamos

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ya que y e yp satisfacen (9.5.3.3).  ♦

      Decimos que (9.5.3.5) es la solución general de (9.5.3.3) sobre (a, b).

      Si P0, P1 y F son continuas y P0 no tiene ceros en (a, b), entonces el teorema 9.5.3.2 implica que la solución general de

P0(x)y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = F(x)         (9.5.3.6)

en (a, b) es y = yp + c1y1 + c2y2, donde yp es una solución particular de (9.5.3.6) en (a, b) y {y1, y2} es un conjunto fundamental de soluciones de

P0(x)y′′ + P1(x)y′ + P2(x)y = 0

en (a, b). Para ver esto, reescribimos (9.5.3.6) como

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y aplique el Teorema 9.5.3.2 con p = P1/P0, q = P2/P0  y  f = F/P0.

      Para evitar una redacción incómoda en ejemplos y ejercicios, no especificaremos el intervalo (a, b) cuando preguntemos por la solución general de una ecuación lineal de segundo orden específica, o por un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación lineal homogénea de segundo orden. Acordemos que esto siempre significa que queremos la solución general (o un conjunto fundamental de soluciones, según sea el caso) en cada intervalo abierto en el que p, q y f son continuas si la ecuación es de la forma (9.5. 3.3), o en el que P0, P1, P2 y F son continuos y P0 no tiene ceros, si la ecuación es de la forma (9.5.3.6). Le dejamos a usted identificar estos intervalos en ejemplos y ejercicios específicos.

      Para completar, señalamos que si P0, P1, P2 y F son todos continuos en un intervalo abierto (a, b), pero P0 tiene un cero en (a, b), entonces (9.5.3.6) puede fallar en tener una solución general en (a, b) en el sentido recién definido. Los ejercicios 42 a 44 ilustran este punto para una ecuación homogénea.

      En esta sección nos limitaremos a las aplicaciones del Teorema 9.5.3.2 donde podemos adivinar la forma de la solución particular.

Ejemplo ilustrativo 9.5.3.1

(a) Encuentre la solución general de

y″ + y = 1.        (9.5.3.7)

(b) Resuelva el problema de valor inicial

y″ + y = 1,  y(0) = 2,  y′(0) = 7.         (9.5.3.8)

Solución:

(a) Podemos aplicar el Teorema 9.5.3.2 con (a, b) = (−∞, ∞), ya que las funciones p ≡ 0, q ≡ 1 y f ≡ 1 en (9.5.3.7) son continuas en (−∞, ∞ ). Por inspección vemos que yp ≡ 1 es una solución particular de (9.5.3.7). Como y1 = cosx e y2 = senx forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria y″ + y = 0, la solución general de (9.5.3.7) es

y = 1 + c1cosx + c2senx.        (9.5.3.9)

(b) Al imponer la condición inicial y(0) = 2 en (9.5.3.9) se obtiene 2 = 1 + c1, por lo que c1 = 1. Derivando (9.5.3.9) se obtiene

y′ = − c1senxc2cosx.

Al imponer la condición inicial y′(0) = 7 aquí se obtiene c2 = 7, por lo que la solución de (9.5.3.8) es

y = 1 + cosx + 7senx.

La Figura 9.5.3.1 es un gráfico de esta función.

Figura 9.5.3.1 y = 1 + cosx + 7senx.

Ejemplo ilustrativo 9.5.3.2

(a) Encuentre la solución general de

y″ − 2y′ + y = −3 − x + x2.        (9.5.3.10)

(b) Resuelva el problema de valor inicial

y″ − 2y′ + y = −3 − x + x2,     y(0) = −2, y′(0) = 1.        (9.5.3.11)

Solución:

(a) El polinomio característico de la ecuación complementaria

y″ − 2y′ + y = 0

es r2 − 2r + 1 = (r − 1)2, por lo que y1 = ex  y  y2 = xex   forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria. Para adivinar una forma para una solución particular de (9.5.3.10), observamos que al sustituir un polinomio de segundo grado yp = A + Bx + Cx2 en el lado izquierdo de (9.5.3.10) se producirá otro polinomio de segundo grado con coeficientes que dependen sobre A, B y C. El truco consiste en elegir A, B y C. de modo que los polinomios de los dos lados de (9.5.3.10) tengan los mismos coeficientes; por lo tanto, si

yp = A + Bx + Cx entonces  yp′ = B + 2Cx  y  yp″ = 2C,

así que

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Igualando coeficientes de potencias iguales de x en los dos lados de la última igualdad se obtiene

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entonces C = 1, B = −1 + 4C = 3  y  A = −3 − 2C + 2B = 1. Por lo tanto, yp = 1 + 3x + x2 es una solución particular de (9.5.3.10) y el Teorema 9.5.3.2 implica que

y = 1 + 3x + x2 + ex(c1 + c2x)        (9.5.3.12)

es la solución general de (9.5.3.10).

(b) Al imponer la condición inicial y(0) = −2 en (9.5.3.12) se obtiene −2 = 1 + c1, por lo que c1 = −3. Diferenciando (9.5.3.12) obtenemos

y= 3 + 2x + ex(c1 + c2x) + c2ex,

e imponiendo la condición inicial y0) = 1 aquí se obtiene 1 = 3 + c1+ c2, por lo que c2 = 1. Por lo tanto, la solución de (9.5.3.11) es

y = 1 + 3x + x2ex(3 − x).

La Figura 9.5.3.2 es un gráfico de esta solución.

Figura 9.5.3.1 y = 1 + 3x + x2 − ex(3 − x).

Ejemplo ilustrativo 9.5.3.3

(Encuentre la solución general de

x2y″ + xy′ − 4y = 2x4        (9.5.3.13)

en (−∞, 0)  y  (0, ∞)

Solución:

En el Ejemplo 9.5.1.3, verificamos que y1 = x2  e  y2 = 1/x2 forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria

x2y″ + xy′ − 4y = 0

en (−∞, 0)  y  (0, ∞). Para encontrar una solución particular de (9.5.3.13), observamos que si yp = Ax4, donde A es una constante, ambos lados de (9.5.3.13) serán múltiplos constantes de x4 y podemos elegir A de modo que los dos lados sean iguales. Esto es cierto en este ejemplo, ya que si yp = Ax4 entonces

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si A = 1/6; por lo tanto, yp = x4/6 es una solución particular de (9.5.3.13) sobre (−∞, ∞). El teorema 9.5.3.2 implica que la solución general de (9.5.3.13) en (−∞, 0) y (0, ∞) es

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