También podemos usar la regla de L’Hôpital para evaluar los límites de los cocientes f (x) / g (x) en los que f (x) → ± ∞ y g (x) → ± ∞. Los límites de esta forma se clasifican como formas indeterminadas de tipo ∞ / ∞. Nuevamente, tenga en cuenta que en realidad no estamos dividiendo ∞ por ∞. Como ∞ no es un número real, eso es imposible; más bien, ∞ / ∞. se usa para representar un cociente de límites, cada uno de los cuales es ∞ o −∞.
Teorema 4.8.2. Regla de L’Hôpital (caso ∞ / ∞)
Suponga que f y g son funciones diferenciables en un intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en a. Supongamos que lim x → a f (x) = ∞ (o −∞) y lim x → a g (x) = ∞ (o −∞). Luego,
suponiendo que el límite a la derecha existe o es ∞ o −∞. Este resultado también se cumple si el límite es infinito, si a = ∞ o −∞, o si el límite es unilateral.
Como se mencionó, la regla de L’Hôpital es una herramienta extremadamente útil para evaluar límites. Sin embargo, es importante recordar que para aplicar la regla de L’Hôpital a un cociente f (x) / g (x), es esencial que el límite de f (x) / g (x) sea de la forma 0/0 o ∞ / ∞.
supongamos que sabemos que f'(x) es una función continua. Use la regla de Lhopital para mostrar que:
log_(x→0)〖(f(x+h)-f(x-h))/2h〗=f'(x)