9.4.2 Enfriamiento y mezclas

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9.4.2 ENFRIAMIENTO Y MEZCLAS

Ley de enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton establece que si un objeto con temperatura T(t) en el tiempo t está en un medio con temperatura T_m(t), la tasa de cambio de T en el tiempo t es proporcional a T(t) − T_m(t); por tanto, T satisface una ecuación diferencial de la forma

T′ = −k(T − T_m). (9.4.2.1)

Aquí k > 0, ya que la temperatura del objeto debe disminuir si T > T_m, o aumentar si T < T_m. Llamaremos k a la constante de decaimiento de la temperatura del medio.

Para simplificar, en esta sección supondremos que el medio se mantiene a una temperatura constante T_m. Este es otro ejemplo de construcción de un modelo matemático simple para un fenómeno físico. Como la mayoría de los modelos matemáticos, tiene sus limitaciones. Por ejemplo, es razonable suponer que la temperatura de una habitación se mantiene aproximadamente constante si el objeto que se enfría es una taza de café, pero tal vez no si se trata de un enorme caldero de metal fundido. (Para obtener más información sobre esto, consulte el ejercicio 17).

Para resolver (9.4.2.1), lo reescribimos como

T′ + kT = kT_m.

Dado que e^−kt es una solución de la ecuación complementaria, las soluciones de esta ecuación son de la forma T = ue^−kt, donde u′e^−kt = kT_m, entonces u′ = kT_me^kt. Por eso,

u = T_me^kt + c,

así que

T = ue^−kt = T_m + ce^−kt.

Si T(0) = T₀, establecer t = 0 aquí produce c = T₀ − T_m, entonces

T = T_m + (T₀ − T_m)e^−kt. (9.4.2.2)

Tenga en cuenta que T − T_m decae exponencialmente, con constante de decaimiento k.

Ejemplo ilustrativo 9.4.2.1

Un aislador cerámico se hornea a 400°C y se enfría en un cuarto en el que la temperatura es de 25°C. Después de 4 minutos la temperatura del aislador es de 200°C. ¿Cuál es su temperatura después de 8 minutos?

Solución:

Aquí T₀ = 400 y T_m = 25, entonces (9.4.2.2) se convierte en

T = 25 + 375e^−kt. (9.4.2.3)

Determinamos k a partir de la condición establecida de que T(4) = 200; es decir,

200 = 25 + 375e⁻⁴^k

por lo que,

Tomando logaritmos y resolviendo para k se obtiene

Sustituyendo esto en (9.4.2.3) se obtiene

(Figura 9.4.2.1). Por lo tanto, la temperatura del aislador después de 8 minutos es

♦

Figura 9.4.2.1 T = 25 + 375e^{−(t/4)ln 15/7}

Ejemplo ilustrativo 9.4.2.2

Un objeto con una temperatura de 72°F se coloca afuera, donde la temperatura es de −20°F. A las 11:05 la temperatura del objeto es de 60°F y a las 11:07 su temperatura es de 50°F. ¿A qué hora se colocó el objeto afuera?

Solución:

Sea T(t) la temperatura del objeto en el tiempo t. Por conveniencia, elegimos que el origen t₀ = 0 de la escala de tiempo sea 11:05 para que T₀ = 60. Debemos determinar el tiempo τ cuando T(τ) = 72. Sustituyendo T₀ = 60 y T_m = −20 en T = T_m + (T₀ − T_m)e^−kt (9.4.2.2) obtenemos

T = −20 + (60 − (−20))e^−kt

esto es

T = −20 + 80e^−kt. (9.4.2.4)

Obtenemos k de la condición establecida de que la temperatura del objeto es de 50°F a las 11:07. Como 11:07 es t = 2 en nuestra escala de tiempo, podemos determinar k sustituyendo T = 50 y t = 2 en (9.4.2.4) para obtener

50 = −20 + 80e^−2k

(Figura 9.4.2.2); entonces,

Tomando logaritmos y resolviendo para k se obtiene

Sustituyendo esto en (9.4.2.4) se obtiene

y la condición T(τ) = 72 implica que

esto es,

Tomando logaritmos y resolviendo para τ se obtiene

Figura 9.4.2.2

Por lo tanto, el objeto se colocó afuera unos 2 minutos y 5 segundos antes de las 11:05; es decir, a las 11:02:55. ♦

Problemas de mezclas

En los siguientes dos ejemplos, una solución de agua salina con una concentración dada (peso de sal por unidad de volumen de solución) se agrega a una velocidad específica a un tanque que inicialmente contiene agua salada con una concentración diferente. El problema es determinar la cantidad de sal en el tanque en función del tiempo. Este es un ejemplo de un problema de mezclas. Para construir un modelo matemático manejable para problemas de mezclas, asumimos en nuestros ejemplos (y en la mayoría de los ejercicios) que la mezcla se agita instantáneamente para que la sal siempre se distribuya uniformemente por toda la mezcla. Los ejercicios 22 y 23 tratan situaciones en las que esto no es así, pero la distribución de la sal se vuelve aproximadamente uniforme cuando t → ∞.

Ejemplo ilustrativo 9.4.2.3

Un tanque inicialmente contiene 40 libras de sal disueltas en 600 galones de agua. Comenzando en t₀ = 0, se vierte agua que contiene 1/2 libra de sal por galón en el tanque a una tasa de 4 gal/min y la mezcla se drena del tanque a la misma tasa (Figura 9.4.2.3).

Figura 9.4.2.3 Un problema de mezclas

(a) Encuentre una ecuación diferencial para la cantidad Q(t) de sal en el tanque en el tiempo t > 0, y resuelva la ecuación para determinar Q(t).

(b) Encuentre lím_t→∞ Q(t).

Solución:

(a) Para encontrar una ecuación diferencial para Q, debemos usar la información dada para derivar una expresión para Q′. Pero Q′ es la tasa de cambio de la cantidad de sal en el tanque cambia con respecto al tiempo; por lo tanto, si la tasa de entrada denota la tasa a la que entra la sal en el tanque y la tasa de salida denota la tasa a la que sale, entonces

Q′ = tasa de entrada − tasa de salida. (9.4.2.5)

La tasa de entrada es

Determinar la tasa de salida requiere un poco más de reflexión. Estamos removiendo 4 galones de la mezcla por minuto y siempre hay 600 galones en el tanque; es decir, estamos removiendo 1/150 de la mezcla por minuto. Dado que la sal se distribuye uniformemente en la mezcla, también estamos eliminando 1/150 de la sal por minuto. Por lo tanto, si hay Q(t) libras de sal en el tanque en el momento t, la tasa de salida en cualquier momento t es Q(t)/150. Alternativamente, podemos llegar a esta conclusión argumentando que

tasa de salida = (concentración) × (tasa de flujo de salida)

Ahora podemos escribir (9.4.2.5) como

Esta ecuación de primer orden se puede reescribir como

Dado que e^−t/150 es una solución de la ecuación complementaria, las soluciones de esta ecuación son de la forma
Q = ue^−t/150, donde u′e^−t/150 = 2, entonces u′ = 2e^t/150. Por eso,

u = 300e^t/150 + c,

entonces

Q = ue^−t/150 = 300ce^−t/150 (9.4.2.6)

(Figura 9.4.2.4). Como Q(0) = 40, c = −260; por lo tanto,

Q = 300 − 260e^−t/150.

Figura 9.4.2.4 Q = 300 − 260e^−t/150

(b) De (9.4.2.6), vemos que lim_t→∞ Q(t) = 300 para cualquier valor de Q(0). Esto es intuitivamente razonable, ya que la solución entrante contiene 1/2 libra de sal por galón y siempre hay 600 galones de agua en el tanque. ♦

Ejemplo ilustrativo 9.4.2.4

Un tanque de 500 litros contiene inicialmente 10 g de sal disueltos en 200 litros de agua. A partir de t₀ = 0, se vierte en el tanque agua que contiene 1/4 g de sal por litro a razón de 4 litros/min y se drena la mezcla del tanque a razón de 2 litros/min (Figura 9.4.2. 5). Encuentre una ecuación diferencial para la cantidad Q(t) de sal en el tanque en el momento t antes del momento en que el tanque se desborda y encuentre la concentración K(t) (g/litro) de sal en el tanque en cualquier momento.

Figura 9.4.2.5 Otro problema de mezclas

Solución:

Primero determinamos la cantidad W(t) de solución en el tanque en cualquier momento t antes del desbordamiento. Dado que W(0) = 200 y estamos agregando 4 litros/min mientras eliminamos solo 2 litros/min, hay una ganancia neta de 2 litros/min en el tanque; por lo tanto,

W(t) = 2t + 200.

Como W(150) = 500 litros (capacidad del tanque), esta fórmula es válida para 0 ≤ t ≤ 150.

Ahora sea Q(t) el número de gramos de sal en el tanque en el tiempo t, donde 0 ≤ t ≤ 150. Como en el Ejemplo 9.4.2.3,

Q′ = tasa de entrada − tasa de salida. (9.4.2.7)

La tasa de entrada es

(9.4.2.8)

Para determinar la tasa de salida, observamos que dado que la mezcla se retira del tanque a una tasa constante de 2 litros/min y hay 2t + 200 litros en el tanque en el tiempo t, la fracción de la mezcla que se retira por minuto en el tiempo t es