Ecuaciones de rectas y planos en el espacio

ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO: Objetivos de aprendizaje

10.5.1. Escriba el vector, paramétrico y simétrico de una recta a través de un punto dado en una dirección dada, y una recta a través de dos puntos dados.
10.5.2. Encuentra la distancia desde un punto a una recta dada.
10.5.3. Escribe las ecuaciones vectoriales y escalares de un plano a través de un punto dado con una normal dada.
10.5.4. Encuentra la distancia desde un punto a un plano dado.
10.5.5. Encuentra el ángulo entre dos planos.

Por ahora, estamos familiarizados con la escritura de ecuaciones que describen una recta en dos dimensiones. Para escribir una ecuación para una recta, debemos conocer dos puntos en la recta, o debemos conocer la dirección de la recta y al menos un punto a través del cual pasa la recta. En dos dimensiones, usamos el concepto de pendiente para describir la orientación o dirección de una recta. En tres dimensiones, describimos la dirección de una recta usando un vector paralelo a la recta. En esta sección, examinamos cómo usar ecuaciones para describir rectas y planos en el espacio.

Ecuaciones para una recta en el espacio

Primero exploremos lo que significa que dos vectores sean paralelos. Recuerde que los vectores paralelos deben tener la misma dirección o direcciones opuestas. Si dos vectores distintos de cero, u y v, son paralelos, afirmamos que debe haber un escalar, k, tal que u = kv. Si u y v tienen la misma dirección, simplemente elija k = ∥u∥/ ∥v∥. Si u y v tienen direcciones opuestas, elija k = −∥u∥/∥v∥. Tenga en cuenta que lo contrario se mantiene también. Si u = kv para algún escalar k, entonces u y v tienen la misma dirección (k > 0) o direcciones opuestas (k < 0), entonces u y v son paralelos. Por lo tanto, dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si y solo si u = kv para algún escalar k. Por convención, el vector cero 0 se considera paralelo a todos los vectores.

Como en dos dimensiones, podemos describir una recta en el espacio usando un punto en la recta y la dirección de la recta, o un vector paralelo, que llamamos el vector de dirección (Figura 10.5_1). Sea L una recta en el espacio que pasa por el punto P (x₀, y₀, z₀). Sea v = ⟨a, b, c⟩ un vector paralelo a L. Entonces,

Usando operaciones vectoriales, podemos reescribir la ecuación anterior como

Configurando r = ⟨x, y, z⟩ y r₀ = ⟨x₀, y₀, z₀⟩, ahora tenemos la ecuación vectorial de una recta:

La ecuación de componentes, 

La ecuación de componentes, 

muestra que las siguientes ecuaciones son simultáneamente verdaderas:

x − x₀ = ta,

y − y₀ = tb y

z − z₀ = tc.

Si resolvemos cada una de estas ecuaciones para las variables componentes x, y, y z, obtenemos un conjunto de ecuaciones en las que cada variable se define en términos del parámetro t y que, juntas, describen la recta. Este conjunto de tres ecuaciones forma un conjunto de ecuaciones paramétricas de una recta:

Si resolvemos cada una de las ecuaciones para t asumiendo que a, b y c no son cero, obtenemos una descripción diferente de la misma recta:

Como cada expresión es igual a t, todas tienen el mismo valor. Podemos establecerlos iguales entre sí para crear ecuaciones simétricas de una recta:

Resumimos los resultados anteriores en el siguiente teorema.

TEOREMA 10.5_1. Ecuaciones paramétricas y simétricas de una recta Las siguientes ecuaciones paramétricas pueden describir una recta L paralela al vector v = ⟨a, b, c⟩ y que pasa por el punto P (x0, y0, z0): Si las constantes a, b y c no son todas cero, entonces L puede describirse mediante la ecuación simétrica de la recta:

Las ecuaciones paramétricas de una recta no son únicas. El uso de un vector paralelo diferente o un punto diferente en la recta conduce a una representación equivalente diferente. Cada conjunto de ecuaciones paramétricas conduce a un conjunto relacionado de ecuaciones simétricas, por lo que se deduce que una ecuación simétrica de una recta tampoco es única.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.5_1. Ecuaciones de una recta en el espacio

Encuentre ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos (1, 4, −2) y (−3, 5, 0).

Solución:

Primero, identifique un vector paralelo a la recta:

v = ⟨− 3 − 1, 5 − 4, 0 – (- 2)⟩ = ⟨− 4, 1, 2⟩. 

Use cualquiera de los puntos dados en la recta para completar las ecuaciones paramétricas:

x = 1− 4t, y = 4 + t, y z = −2 + 2t.

Resuelve cada ecuación para t para crear la ecuación simétrica de la recta:

(x − 1)/(−4) = y − 4 = (z + 2)/2.

A veces no queremos la ecuación de una recta completa, solo un segmento de recta. En este caso, limitamos los valores de nuestro parámetro t. Por ejemplo, sean P (x₀, y₀, z₀) y Q (x₁, y₁, z₁) puntos en una recta, y sean p = ⟨x₀, y₀, z₀⟩ y q = ⟨x₁, y₁, z₁⟩ vectores de posición asociados. Además, sea r = ⟨x, y, z⟩. Queremos encontrar una ecuación vectorial para el segmento de recta entre P y Q. Usando P como nuestro punto conocido en la recta, y

como la ecuación del vector de dirección, la ecuación vectorial de una recta (r = r₀ + t v) da:

Usando propiedades de vectores, entonces

Por lo tanto, la ecuación vectorial de la recta que pasa por P y Q es

Recuerde que no queríamos la ecuación de la recta completa, solo el segmento de recta entre P y Q. Observe que cuando t = 0, tenemos r = p, y cuando t = 1, tenemos r = q. Por lo tanto, la ecuación vectorial del segmento de recta entre P y Q es

Volviendo a la ecuación vectorial de una recta (r = r₀ + t v), también podemos encontrar ecuaciones paramétricas para este segmento de recta. Tenemos

Entonces, las ecuaciones paramétricas son

EJEMPLO ILUSTRATIVO 10.5_2. Ecuaciones paramétricas de un segmento de recta

Halle ecuaciones paramétricas del segmento de recta entre los puntos P (2, 1, 4) y Q (3, −1, 3).

Solución:

Por la ecuación paramétrica anterior, tenemos

Trabajando con cada componente por separado, obtenemos

y

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas para el segmento de recta son