| 1. Funciones y sus gráficas |
Ejercicios de repaso del capítulo 1
¿Verdadero o falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.
310. Una función es siempre uno a uno.
311. f ∘ g = g ∘ f, asumiendo que f y g son funciones.
312. Una relación que pasa las pruebas de línea horizontal y vertical es una función uno a uno.
313. Una relación que pasa la prueba de la línea horizontal es una función.
Para los siguientes problemas, indique el dominio y rango de las funciones dadas:
f = x2 + 2x − 3, g = ln(x − 5), h = 1/(x + 4)
314. h
315. g
316. h ∘ f
317. g ∘ f
Encuentra el grado, la intersección con el eje y y los ceros de las siguientes funciones polinomiales.
318. f (x) = 2x2 + 9x − 5
319. f (x) = x3 + 2x2 − 2x
Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas.
320. tan2x/sec2x + cos2x
321. cos2x − sen2x
Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo θ = [−2π, 2π] exactamente.
322. 6cos2x − 3 = 0
323. sec2x − 2secx + 1 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales logarítmicas.
324. 5x = 16
325. log2(x + 4) = 3
¿Son las siguientes funciones uno a uno sobre su dominio de existencia? ¿Tiene la función una inversa? Si es así, encuentre la inversa f − 1(x) de la función. Justifica tu respuesta.
326. f (x) = x2 + 2x + 1
327. f (x) = 1/x
Para los siguientes problemas, determine el dominio más grande en el que la función es uno a uno y encuentre la inversa en ese dominio.
328. f (x) = √(9 − x)
329. f (x) = x2 + 3x + 4
330. Un automóvil corre a lo largo de una pista circular con un diámetro de 1 mi. Un entrenador parado en el centro del círculo marca su progreso cada 5 segundos. Después de 5 segundos, el entrenador debe girar 55° para seguir el ritmo del automóvil. ¿Qué tan rápido viaja el auto?
Para los siguientes problemas, considere el propietario de un restaurante que quiere vender camisetas que publiciten su marca. Recuerda que hay un costo fijo y un costo variable, aunque no recuerda los valores. Sabe que la empresa de impresión de camisetas cobra 440 dólares por 20 camisetas y 1000 dólares por 100 camisetas.
331. a. Encuentre la ecuación C = f (x) que describe el costo total en función del número de camisetas y b. determine cuántas camisetas debe vender para alcanzar el equilibrio si vende las camisetas a $10 cada una.
332. a. Encuentre la función inversa x = f − 1(C) y describa el significado de esta función. b. Determina cuántas camisetas puede comprar el propietario si tiene $8000 para gastar.
Para los siguientes problemas, considere la población de Ocean City, Nueva Jersey, que es cíclica por temporada.
333. La población puede ser modelada por P (t) = 82.5 − 67.5cos [(π/6) t], donde t es el tiempo en meses (t = 0 representa el 1 de enero) y P es la población (en miles). Durante un año, ¿en qué intervalos la población es inferior a 20.000? ¿Durante qué intervalos la población supera los 140.000?
334. En realidad, es muy probable que la población en general aumente o disminuya a lo largo de cada año. Reformulemos el modelo como P (t) = 82.5 − 67.5cos [(π/6) t] + t, donde t es el tiempo en meses (t = 0 representa el 1 de enero) y P es la población (en miles). ¿Cuándo es la primera vez que la población llega a 200.000?
Para los siguientes problemas, considere la datación radiactiva. Un esqueleto humano se encuentra en una excavación arqueológica. La datación por carbono se implementa para determinar la edad del esqueleto usando la ecuación y = ert, donde y es la proporción de radiocarbono todavía presente en el material, t es el número de años transcurridos y r = −0.0001210 es la tasa de desintegración de radiocarbono.
335. Si se espera que el esqueleto tenga 2000 años, ¿qué porcentaje de radiocarbono debería estar presente?
336. Encuentre la inversa de la ecuación de datación por carbono. ¿Qué significa? Si hay un 25% de radiocarbono, ¿qué edad tiene el esqueleto?