Sucesiones y series

Bosquejo del capítulo

7.1 Sucesiones
7.2 Series infinitas
7.3 La divergencia y la prueba de la integral
7.4 Pruebas de comparación
7.5 Serie alterna
7.6 Pruebas de la razón y de la raíz

Figura 7.1  El copo de nieve de Koch se construye utilizando un proceso iterativo. Comenzando con un triángulo equilátero, en cada paso del proceso, el tercio medio de cada segmento de línea se elimina y se reemplaza con un triángulo equilátero que apunta hacia afuera.

El copo de nieve de Koch se construye a partir de un número infinito de triángulos equiláteros no superpuestos. En consecuencia, podemos expresar su área como una suma de infinitos términos. ¿Cómo agregamos un número infinito de términos? ¿Puede una suma de un número infinito de términos ser finita? Para responder a estas preguntas, necesitamos introducir el concepto de una serie infinita, una suma con infinitos términos. Una vez definidas las herramientas necesarias, podremos calcular el área del copo de nieve de Koch, por ejemplo.

El tema de las series infinitas puede parecer ajeno al cálculo diferencial e integral. De hecho, una serie infinita cuyos términos involucran potencias de una variable es una herramienta poderosa que podemos usar para expresar funciones como “polinomios infinitos”. Podemos usar series infinitas para evaluar funciones complicadas, aproximar integrales definidas y crear nuevas funciones. Además, se utilizan series infinitas para resolver ecuaciones diferenciales que modelan el comportamiento físico, desde pequeños circuitos electrónicos hasta satélites en órbita terrestre.

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