Fracciones parciales: Objetivos de aprendizaje
5.11.1 Integrar una función racional utilizando el método de fracciones parciales.
5.11.2 Reconocer factores lineales simples en una función racional.
5.11.3 Reconocer factores lineales repetidos en una función racional.
5.11.4 Reconocer factores cuadráticos en una función racional.
Hemos visto algunas técnicas que nos permiten integrar funciones racionales específicas. Por ejemplo, sabemos que


Sin embargo, todavía no tenemos una técnica que nos permita abordar cocientes arbitrarios de este tipo. Por ejemplo, no es inmediatamente obvio cómo evaluar


Sin embargo, sabemos por material desarrollado previamente que


De hecho, al obtener un denominador común, vemos que


Por consiguiente,


En esta sección, examinamos el método de descomposición de fracciones parciales, que nos permite descomponer funciones racionales en sumas de funciones racionales más simples y más fáciles de integrar. Con este método, podemos reescribir una expresión como: 3x/(x² − x − 2) como una expresión como 1/(x + 1) + 2/(x − 2).
La clave del método de descomposición en fracciones parciales es poder anticipar la forma que tomará la descomposición de una función racional. Como veremos, esta forma es predecible y altamente dependiente de la factorización del denominador de la función racional. También es extremadamente importante tener en cuenta que la descomposición de fracciones parciales se puede aplicar a una función racional P(x)/Q(x) solo si grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). En el caso cuando grado (P(x)) ≥ grado (Q(x)), primero debemos realizar una división larga para reescribir el cociente P(x)/Q(x) en la forma A(x) + R(x)/Q(x), donde grado (R(x)) < grado (Q(x)). Luego hacemos una descomposición de fracciones parciales en R(x)/Q(x). El siguiente ejemplo, aunque no requiere descomposición de fracciones parciales, ilustra nuestro enfoque de las integrales de funciones racionales de la forma ∫P(x)/Q(x)dx, donde grado (P(x)) ≥ grado (Q(x)).
Ejemplo ilustrativo 5.11_1 Integrando ∫P(x)/Q(x)dx, donde grado (P(x)) ≥ grado (Q(x)).
Evalúe ∫(x² + 3x + 5)/(x + 1)dx.
Solución:
Como grado (x² + 3x + 5) ≥ grado (x + 1), realizamos una división larga para obtener


de modo que,
Para integrar ∫P(x)/Q(x)dx, donde grado (P(x)) < grado (Q(x)), debemos comenzar factorizando Q(x).
Factores lineales no repetidos
Si Q(x) puede factorizarse como


donde cada factor lineal es distinto, entonces es posible encontrar constantes


que satisfacen


La prueba de que tales constantes existen está más allá del alcance de este curso.
En el siguiente ejemplo, vemos cómo usar fracciones parciales para integrar una función racional de este tipo.
Ejemplo ilustrativo 5.11_2 Fracciones parciales con factores lineales no repetidos
Evaluar


Solución:
Como grado (3x + 2) < grado (x³ − x² − 2x), comenzamos factorizando el denominador de (3x + 2)/(x³ − x² − 2x). Podemos ver que x³ − x² − 2x = x(x − 2) (x + 1). Por lo tanto, hay constantes A, B y C que satisfacen


Ahora debemos encontrar el valor numérico de estas constantes. Para hacerlo, comenzamos obteniendo un denominador común a la derecha. Así,


Ahora, establecemos los numeradores iguales entre sí, obteniendo


Hay dos estrategias diferentes para encontrar los valores numéricos de los coeficientes A, B y C. Nos referimos a estos como el método de igualar coeficientes y el método de sustitución estratégica.
REGLA 1: MÉTODO DE IGUALACIÓN DE COEFICIENTESReescriba la ecuación REGLA 2: MÉTODO DE SUSTITUCIÓN ESTRATÉGICAEl método de sustitución estratégica se basa en el supuesto de que hemos configurado la descomposición correctamente. Si la descomposición está configurada correctamente, entonces debe haber valores de A, B y C que satisfagan |
Ahora que tenemos los valores de A, B y C, reescribimos la integral original:


Evaluar la integral nos da
En el siguiente ejemplo, integramos una función racional en la que el grado del numerador no es menor que el grado del denominador.
Ejemplo ilustrativo 5.11_3 Dividiendo antes de aplicar fracciones parciales
Evaluar


Dado que grado (x² + 3x + 1) ≥ grado (x² − 4), debemos realizar una división larga de polinomios. Esto resulta en


A continuación, realizamos descomposición de fracción parcial en


Tenemos que


De tal modo que


Resolviendo para A y B usando cualquier método, obtenemos A = 11/4 y B = 1/4.
Reescribiendo la integral original, tenemos


Evaluar la integral produce
Como veremos en el siguiente ejemplo, puede ser posible aplicar la técnica de descomposición de fracción parcial a una función no racional. El truco es convertir la función no racional en una función racional mediante una sustitución.
Ejemplo ilustrativo 5.11_4 Aplicar fracciones parciales después de una sustitución
Evaluar


Solución:
Comencemos dejando u = senx. En consecuencia, du = cosxdx. Después de hacer estas sustituciones, tenemos


La aplicación de la descomposición de fracción parcial a 1/u(u − 1) da


De tal manera que,