Fracciones parciales

Fracciones parciales: Objetivos de aprendizaje

5.11.1  Integrar una función racional utilizando el método de fracciones parciales.
5.11.2  Reconocer factores lineales simples en una función racional.
5.11.3  Reconocer factores lineales repetidos en una función racional.
5.11.4  Reconocer factores cuadráticos en una función racional.

    Hemos visto algunas técnicas que nos permiten integrar funciones racionales específicas. Por ejemplo, sabemos que

Sin embargo, todavía no tenemos una técnica que nos permita abordar cocientes arbitrarios de este tipo. Por ejemplo, no es inmediatamente obvio cómo evaluar

Sin embargo, sabemos por material desarrollado previamente que

De hecho, al obtener un denominador común, vemos que

Por consiguiente,

En esta sección, examinamos el método de descomposición de fracciones parciales, que nos permite descomponer funciones racionales en sumas de funciones racionales más simples y más fáciles de integrar. Con este método, podemos reescribir una expresión como: 3x/(x² − x − 2) como una expresión como 1/(x + 1) + 2/(x − 2).

La clave del método de descomposición en fracciones parciales es poder anticipar la forma que tomará la descomposición de una función racional. Como veremos, esta forma es predecible y altamente dependiente de la factorización del denominador de la función racional. También es extremadamente importante tener en cuenta que la descomposición de fracciones parciales se puede aplicar a una función racional P(x)/Q(x) solo si grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). En el caso cuando grado (P(x)) ≥ grado (Q(x)), primero debemos realizar una división larga para reescribir el cociente P(x)/Q(x) en la forma A(x) + R(x)/Q(x), donde grado (R(x)) < grado (Q(x)). Luego hacemos una descomposición de fracciones parciales en R(x)/Q(x). El siguiente ejemplo, aunque no requiere descomposición de fracciones parciales, ilustra nuestro enfoque de las integrales de funciones racionales de la forma ∫P(x)/Q(x)dx, donde grado (P(x)) ≥ grado (Q(x)).

Ejemplo ilustrativo 5.11_1 Integrando ∫P(x)/Q(x)dx, donde grado (P(x)) ≥ grado (Q(x)).

Evalúe ∫(x² + 3x + 5)/(x + 1)dx.

Solución:
Como grado (x² + 3x + 5)  ≥ grado (x + 1), realizamos una división larga para obtener

de modo que,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-224.png

Para integrar ∫P(x)/Q(x)dx, donde grado (P(x)) < grado (Q(x)), debemos comenzar factorizando Q(x).

Factores lineales no repetidos

Si Q(x) puede factorizarse como

donde cada factor lineal es distinto, entonces es posible encontrar constantes

que satisfacen

La prueba de que tales constantes existen está más allá del alcance de este curso.

En el siguiente ejemplo, vemos cómo usar fracciones parciales para integrar una función racional de este tipo.

Ejemplo ilustrativo 5.11_2 Fracciones parciales con factores lineales no repetidos

Evaluar

Solución:
Como grado (3x + 2) < grado (x³ − x² − 2x), comenzamos factorizando el denominador de (3x + 2)/(x³ − x² − 2x). Podemos ver que x³ − x² − 2x = x(x − 2) (x + 1). Por lo tanto, hay constantes A, B y C que satisfacen

Ahora debemos encontrar el valor numérico de estas constantes. Para hacerlo, comenzamos obteniendo un denominador común a la derecha. Así,

Ahora, establecemos los numeradores iguales entre sí, obteniendo

Hay dos estrategias diferentes para encontrar los valores numéricos de los coeficientes A, B y C. Nos referimos a estos como el método de igualar coeficientes y el método de sustitución estratégica.

REGLA 1: MÉTODO DE IGUALACIÓN DE COEFICIENTES

Reescriba la ecuaciónEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-329.pngEn la formaEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-330.pngIgualar coeficientes produce el sistema de ecuacionesEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-331.pngPara resolver este sistema, primero observamos que −2A = 2 ⇒ A = −1. Sustituir este valor en las dos primeras ecuaciones nos da el sistemaEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-332.pngMultiplicar la segunda ecuación por −1 y sumar la ecuación resultante a la primera produceEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-333.pngque a su vez implica que C = −1/3.  Al sustituir este valor en la ecuación B + C = 1 se obtiene B = 4/3. Por lo tanto, al resolver estas ecuaciones se obtiene A = −1, B = 4/3 y C = −1/3.
Es importante tener en cuenta que el sistema producido por este método es consistente si y sólo si hemos configurado la descomposición correctamente. Si el sistema es inconsistente, hay un error en nuestra descomposición.

 
REGLA 2: MÉTODO DE SUSTITUCIÓN ESTRATÉGICA

El método de sustitución estratégica se basa en el supuesto de que hemos configurado la descomposición correctamente. Si la descomposición está configurada correctamente, entonces debe haber valores de A, B y C que satisfaganEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-329.pngpara todos los valores de x. Es decir, esta ecuación debe ser verdadera para cualquier valor de x que queramos sustituir. Por lo tanto, al elegir cuidadosamente los valores de x y sustituirlos en la ecuación, podemos encontrar fácilmente A, B y C. Por ejemplo, si sustituimos x = 0, la ecuación se reduce a 2 = A(−2)(1). Resolver para A produce A = −1. Luego, al sustituir x = 2, la ecuación se reduce a 8 = B(2)(3), o de manera equivalente B = 4/3. Por último, sustituimos x = −1 en la ecuación y obtenemos −1 = C(−1)(−3). Resolviendo, tenemos que C = −1/3.
Es importante tener en cuenta que si intentamos utilizar este método con una descomposición que no se ha configurado correctamente, aún podemos encontrar valores para las constantes, pero estas constantes no tienen sentido. Si optamos por utilizar el método de sustitución estratégica, es una buena idea verificar el resultado recombinando los términos algebraicamente.

Ahora que tenemos los valores de A, B y C, reescribimos la integral original:

Evaluar la integral nos daEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-336.png

En el siguiente ejemplo, integramos una función racional en la que el grado del numerador no es menor que el grado del denominador.

Ejemplo ilustrativo 5.11_3 Dividiendo antes de aplicar fracciones parciales

Evaluar

Dado que grado (x² + 3x + 1) ≥ grado (x² − 4), debemos realizar una división larga de polinomios. Esto resulta en

A continuación, realizamos descomposición de fracción parcial en

Tenemos que

De tal modo que

Resolviendo para A y B usando cualquier método, obtenemos A = 11/4 y B = 1/4.
Reescribiendo la integral original, tenemos

Evaluar la integral produce

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-345.png

Como veremos en el siguiente ejemplo, puede ser posible aplicar la técnica de descomposición de fracción parcial a una función no racional. El truco es convertir la función no racional en una función racional mediante una sustitución.

Ejemplo ilustrativo 5.11_4 Aplicar fracciones parciales después de una sustitución

Evaluar

Solución:
Comencemos dejando u = senx. En consecuencia, du = cosxdx. Después de hacer estas sustituciones, tenemos

La aplicación de la descomposición de fracción parcial a 1/u(u − 1) da

De tal manera que,

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-351.png

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