9.9.4 Variación de parámetros para ecuaciones de orden superior

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9.9.4 Variación de parámetros para ecuaciones de orden superior

Derivación del método

Asumimos a lo largo de esta sección que la ecuación lineal no homogénea

P₀(x)y⁽ⁿ⁾ + P₁(x)y^{(n − 1)} + · · · + P_n(x)y = F(x) (9.9.4.1)

es normal en un intervalo (a, b). Abreviaremos esta ecuación como Ly = F, donde

Ly = P₀(x)y⁽ⁿ⁾ + P₁(x)y^{(n − 1)} + · · · + P_n(x)y.

Cuando hablamos de soluciones de esta ecuación y su ecuación complementaria Ly = 0, nos referimos a soluciones de (a, b). Mostraremos cómo utilizar el método de variación de parámetros para encontrar una solución particular de Ly = F, siempre que conozcamos un conjunto fundamental de soluciones {y₁, y₂, . . ., y_n} de Ly = 0.

Buscamos una solución particular de Ly = F en la forma

y_p = u₁y₁ + u₂y₂ + · · · + u_ny_n (9.9.4.2)

donde {y₁, y₂, . . ., y_n} es un conjunto fundamental conocido de soluciones de la ecuación complementaria

P₀(x)y⁽ⁿ⁾ + P₁(x)y^{(n − 1)} + · · · + P_n(x)y = 0

y u₁, u₂, . . . , u_n son funciones por determinar. Comenzamos imponiendo las siguientes n − 1 condiciones a u₁, u₂, . . . , u_n:

(9.9.4.3)

Estas condiciones conducen a fórmulas simples para las primeras n − 1 derivadas de y_p:

y_p^(r) = u₁y₁^(r) + u₂y₂^(r) · · · + u_ny_n^(r), 0 ≤ r ≤ n − 1. (9.9.4.4)

Estas fórmulas son fáciles de recordar, ya que parece que las obtuvimos derivando (9.9.4.2) n − 1 veces mientras tratamos u₁, u₂, . . . , u_n como constantes. Para ver que (9.9.4.3) implica (9.9.4.4), primero derivamos (9.9.4.2) para obtener

y_p′ = u₁y₁′ + u₂y₂′ + · · · + u_ny_n′ + u₁′y₁ + u₂′y₂ + · · · + u_n′y_n,

lo que se reduce a

y_p′ = u₁y₁′ + u₂y₂′ + · · · + u_ny_n′

debido a la primera ecuación en (9.9.4.3). Diferenciando la ecuación anterior, se obtiene

lo que se reduce a

debido a la segunda ecuación en (9.9.4.3). Continuando de esta manera se llega a (9.9.4.4).

La última ecuación en (9.9.4.4) es

Diferenciando, se obtiene

Sustituyendo la ecuación anterior y (9.9.4.4) en (9.9.4.1), se obtiene

Dado que Ly_i = 0 (1 ≤ i ≤ n), esto se reduce a

Combinando esta ecuación con (9.9.4.3) se muestra que

y_p = u₁y₁ + u₂y₂ + · · · + u_ny_n

es una solución de (9.9.4.1) si

que se puede escribir en forma matricial como

(9.9.4.5)

El determinante de este sistema es el Wronskiana W del conjunto fundamental de soluciones {y₁, y₂, . . ., y_n}, que no tiene ceros en (a, b), según el Teorema 9.9.1.4. Resolviendo (9.9.4.5) según la regla de Cramer, se obtiene

(9.9.4.6)

donde W_j es el Wronskiano del conjunto de funciones obtenidas eliminando y_j de {y₁, y₂, . . ., y_n} y manteniendo el resto de funciones en el mismo orden. De manera equivalente, W_j es el determinante obtenido al eliminar la última fila y la j-ésima columna de W.

Habiendo obtenido u₁′, u₂′, . . ., u_n′, podemos integrar para obtener u₁, u₂, . . ., u_n. Como en la Sección 9.5.7, tomamos las constantes de integración como cero y eliminamos cualquier combinación lineal de {y₁, y₂, . . ., y_n} que puede aparecer en y_p.

COMENTARIO: Para lograr eficiencia, es mejor calcular W₁, W₂, . . . , W_n primero y luego calcular W expandiendo los cofactores de la última fila; de este modo,

Ecuaciones de tercer orden

Si n = 3, entonces

Por lo tanto

y (9.9.4.6) se convierte en

(9.9.4.7)

Ejemplo ilustrativo 9.9.4.1

Encuentre una solución particular de

xy′′′ − y′′ − xy′ + y = 8x²e^x, (9.9.4.8)

dado que y₁ = x, y₂ = e^x e y₃ = e^−x forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria. Luego encuentre la solución general de (9.9.4.8).

Solución:

Buscamos una solución particular de (9.9.4.8) de la forma

y_p = u₁x + u₂e^x + u₃e^−x.

El wronskiano de {y₁, y₂, y₃} es

por lo que

Al expandir W por los cofactores de la última fila, se obtiene

Dado que F(x) = 8x²e^x y P₀(x) = x,

Por lo tanto, de (9.9.4.7)

Al integrar y tomar las constantes de integración como cero, se obtiene

u₁ = −8e^x, u₂ = 2(x + 1)², u₃ = e^2x(2x − 3).

Por eso,

Como −e^x es una solución de la ecuación complementaria, redefinimos

y_p = 2xe^x(x − 1).

Por tanto la solución general de (9.9.4.8) es

y = 2xe^x(x − 1) + c₁x + c₂e^x + c₃e^−x. ♦

Ecuaciones de cuarto orden

Si n = 4, entonces

Por lo tanto

y (9.9.4.6) se convierte en

(9.9.4.9)

Ejemplo ilustrativo 9.9.4.2

Encuentre una solución particular de

x⁴y⁽⁴⁾ + 6x³y′′′ + 2x²y′′ − 4xy′ + 4y = 12x², (9.9.4.10)

dado que y₁ = x, y₂ = x², y₃ = 1/x e y₄ = 1/x² forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria. Luego encuentre la solución general de (9.9.4.10) sobre (−∞, 0) y (0, ∞).