11. Diferenciación de funciones de varias variables

11. Diferenciación de funciones de varias variables

  • 11.5 La regla de la cadena
  • 11.6 Derivadas direccionales y el gradiente
  • 11.7 Problemas de máximos / mínimos
  • 11.8 Multiplicadores de Lagrange

Una foto de muchas pelotas de golf.
Figura 11.1 Los estadounidenses usan (y pierden) millones de pelotas de golf al año, lo que mantiene a los fabricantes de pelotas de golf en el negocio. En este capítulo, estudiamos un modelo de ganancias y aprendemos métodos para calcular los niveles óptimos de producción para una empresa típica de fabricación de pelotas de golf. (crédito: modificación del trabajo por oatsy40, Flickr)

En Introducción a las aplicaciones de las derivadas, estudiamos cómo determinar el máximo y el mínimo de una función de una variable en un intervalo cerrado. Esta función podría representar la temperatura durante un intervalo de tiempo dado, la posición de un automóvil en función del tiempo o la altitud de un avión a reacción en su viaje de Nueva York a San Francisco. En cada uno de estos ejemplos, la función tiene una variable independiente.

Sin embargo, suponga que tenemos una cantidad que depende de más de una variable. Por ejemplo, la temperatura puede depender de la ubicación y la hora del día, o el modelo de ganancias de una empresa puede depender de la cantidad de unidades vendidas y la cantidad de dinero gastada en publicidad. En este capítulo, analizamos una empresa que produce pelotas de golf. Desarrollamos un modelo de ganancias y, bajo varias restricciones, encontramos que el nivel óptimo de producción y dólares gastados en publicidad determina la máxima ganancia posible. Dependiendo de la naturaleza de las restricciones, tanto el método de solución como la solución en sí cambian (vea el Ejemplo 4.41 ).

Cuando se trata de una función de más de una variable independiente, naturalmente surgen varias preguntas. Por ejemplo, ¿cómo calculamos los límites de funciones de más de una variable? La definición de derivada que usamos antes implicaba un límite. ¿La nueva definición de derivada también implica límites? ¿Se aplican las reglas de diferenciación en este contexto? ¿Podemos encontrar extremos relativos de funciones usando derivadas? Todas estas preguntas se responden en este capítulo.