La derivada como función: Objetivos de aprendizaje 3.2.1. Definir la función derivada de una función dada.3.2.2. Graficar una función derivada de la gráfica de una función dada.3.2.3. Indicar la conexión entre derivadas y continuidad.3.2.4. Describir tres condiciones para cuando una función no tiene una derivada.3.2.5. Explicar el significado de una derivada de orden superior. Como hemos visto, la derivada de una función en un punto dado nos da la tasa de cambio o pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Si diferenciamos una función de posición en un momento dado, obtenemos la velocidad en ese momento. Parece razonable concluir que conocer la derivada de la función…
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Antiderivadas
ANTIDERIVADAS: Objetivos de aprendizaje 4.10.1. Encontrar la antiderivada general de una función dada.4.10.2. Explicar los términos y la notación utilizados para una integral indefinida.4.10.3. Indicar la regla dela potencia para integrales.4.10.4. Usar la antidiferenciación para resolver problemas simples de valor inicial. En este punto, hemos visto cómo calcular derivadas de muchas funciones y se nos ha presentado una variedad de sus aplicaciones. Ahora hacemos una pregunta que da vuelta a este proceso: Dada una función f, ¿cómo encontramos una función con la derivada f y por qué estaríamos interesados en tal función? Respondemos la primera parte de esta pregunta definiendo Antiderivadas. La antiderivada de una función f es una función…
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Método de Newton
MÉTODO DE NEWTON: Objetivos de aprendizaje 4.9.1. Describir los pasos del método de Newton.4.9.2. Explicar qué significa un proceso iterativo.4.9.3. Reconocer cuándo el método de Newton no funciona.4.9.4. Aplicar procesos iterativos a diversas situaciones. En muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas, estamos interesados en encontrar soluciones a una ecuación de la forma f (x) = 0. Para la mayoría de las funciones, sin embargo, es difícil, si no imposible, calcular sus ceros explícitamente. En esta sección, veremos una técnica que proporciona una forma muy eficiente de aproximar los ceros de las funciones. Esta técnica hace uso de aproximaciones de rectas tangentes y está detrás del método utilizado a…
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La regla de L’Hôpital
LA REGLA DE L’HÔPITAL: Objetivos de aprendizaje 4.8.1. Reconocer cuándo aplicar la regla de L’Hôpital.4.8.2. Identificar formas indeterminadas producidas por cocientes, productos, sustracciones y potencias, y aplicar la regla de L’Hôpital en cada caso.4.8.3. Describir las tasas de crecimiento relativo de las funciones. En esta sección, examinamos una herramienta poderosa para evaluar límites. Esta herramienta, conocida como la regla de L’Hôpital, utiliza derivadas para calcular los límites. Con esta regla, podremos evaluar muchos límites que aún no hemos podido determinar. En lugar de confiar en la evidencia numérica para conjeturar que existe un límite, podremos demostrar definitivamente que existe un límite y determinar su valor exacto. Aplicando la regla de…
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Problemas de optimización
Problemas de optimización: Objetivos de aprendizaje 4.7.1. Configurar y resolver problemas de optimización en varios campos de aplicación. Una aplicación común en cálculo es hallar el valor mínimo o máximo de una función. Por ejemplo, las empresas a menudo quieren minimizar los costos de producción o maximizar los ingresos. En la fabricación, a menudo es deseable minimizar la cantidad de material utilizado para empaquetar un producto con un cierto volumen. En esta sección, mostramos cómo configurar estos tipos de problemas de minimización y maximización y resolverlos utilizando las herramientas desarrolladas en este capítulo. Solución de problemas de optimización en un intervalo cerrado y acotado La idea básica que siguen los…
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Límites en el infinito y asíntotas
LÍMITES EN EL INFINITO Y ASÍNTOTAS : Objetivos de aprendizaje 4.6.1. Calcular el límite de una función a medida que x aumenta o disminuye sin límite.4.6.2. Reconocer una asíntota horizontal en la gráfica de una función.4.6.3. Estimar el comportamiento final de una función a medida que x aumenta o disminuye sin límite.4.6.4. Reconocer una asíntota oblicua en la gráfica de una función.4.6.5. Analizar una función y sus derivados para dibujar su gráfica. Hemos mostrado cómo usar las derivadas primera y segunda de una función para describir la forma de su gráfica. Para graficar una función f definida en un dominio ilimitado, también necesitamos conocer el comportamiento de f cuando x…
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Derivadas y la forma de una gráfica
DERIVADAS Y LA FORMA DE UNA GRÁFICA: Objetivos de aprendizaje 4.5.1 Explicar cómo el signo de la primera derivada afecta la forma de la gráfica de una función. 4.5.2. Mostrar la primera prueba de la derivada para puntos críticos. 4.5.3. Utilizar los puntos de concavidad e inflexión para explicar cómo el signo de la segunda derivada afecta la forma de la gráfica de una función. 4.5.4. Explicar la prueba de concavidad para una función durante un intervalo abierto. 4.5.5. Explicar la relación entre una función y su primera y segunda derivada. 4.5.6. Mostrar la prueba de la segunda derivada para extremos locales. Anteriormente en este capítulo declaramos que si una…
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El teorema del valor medio
EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO: Objetivos de aprendizaje 4.4.1. Explicar el significado del teorema de Rolle.4.4.2. Describir la importancia del teorema del valor medio.4.4.3. Indicar tres consecuencias importantes del teorema del valor medio. El teorema del valor medio es uno de los teoremas más importantes en el cálculo. Vemos algunas de sus implicaciones al final de esta sección. Primero, comencemos con un caso especial del teorema del valor medio, llamado teorema de Rolle. El teorema de Rolle Informalmente, el teorema de Rolle establece que si las salidas de una función diferenciable f son iguales en los puntos finales de un intervalo, entonces debe haber un punto interior c donde f…
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Máximos y mínimos
MÁXIMOS Y MÍNIMOS: Objetivos de aprendizaje 4.3.1. Definir extremos absolutos. 4.3.2. Definir extremos locales. 4.3.3. Explicar cómo encontrar los puntos críticos de una función en un intervalo cerrado. 4.3.4. Describa cómo usar puntos críticos para localizar extremos absolutos en un intervalo cerrado. Dada una función particular, a menudo nos interesa determinar los valores más grandes y más pequeños de la función. Esta información es importante para crear gráficos precisos. Encontrar los valores máximos y mínimos de una función también tiene un significado práctico porque podemos usar este método para resolver problemas de optimización, como maximizar el beneficio, minimizar la cantidad de material utilizado en la fabricación de una lata de…
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Aproximaciones lineales y diferenciales
APROXIMACIONES LINEALES Y DIFERENCIALES : Objetivos de aprendizaje 4.2.1 Describir la aproximación lineal a una función en un punto.4.2.2 Escribir la linealización de una función dada.4.2.3 Dibujar una gráfica que ilustre el uso de diferenciales para aproximar el cambio en una cantidad.4.2.4 Calcular el error relativo y el error porcentual al usar una aproximación diferencial. Acabamos de ver cómo las derivadas nos permiten comparar cantidades relacionadas que están cambiando con el tiempo. En esta sección, examinamos otra aplicación de las derivadas: la capacidad de aproximar funciones localmente mediante funciones lineales. Las funciones lineales son las funciones más fáciles con las que trabajar, por lo que proporcionan una herramienta útil para…