| 5. La integral y Técnicas de integración | Ejercicios propuestos para el Capítulo 5.3 |

5.3 El teorema fundamental del cálculo

Objetivos de aprendizaje:

5.3.1. Describa el significado del teorema del valor medio para integrales.
5.3.2. Indique el significado del teorema fundamental del cálculo, parte 1.
5.3.3. Use el Teorema fundamental del cálculo, Parte 1, para evaluar derivadas de integrales.
5.3.4. Indique el significado del teorema fundamental del cálculo, parte 2.
5.3.5. Use el Teorema fundamental del cálculo, Parte 2, para evaluar integrales definidas.
5.3.6. Explicar la relación entre diferenciación e integración.

   En las dos secciones anteriores, observamos la integral definida y su relación con el área bajo la curva de una función. Desafortunadamente, hasta ahora, las únicas herramientas que tenemos disponibles para calcular el valor de una integral definida son las fórmulas de área geométrica y los límites de las sumas de Riemann, y ambos enfoques son extremadamente engorrosos. En esta sección veremos algunas técnicas más potentes y útiles para evaluar integrales definidas.

Estas nuevas técnicas se basan en la relación entre diferenciación e integración. Esta relación fue descubierta y explorada por Sir Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz (entre otros) a fines del siglo XVII y principios del 1700, y está codificada en lo que ahora llamamos el Teorema fundamental del cálculo, que tiene dos partes que examinamos en esta sección. Su mismo nombre indica cuán central es este teorema para todo el desarrollo del cálculo.

Sin embargo, antes de llegar a este teorema crucial, examinemos otro teorema importante, el Teorema del valor medio para integrales, que es necesario para probar el Teorema fundamental del cálculo.

El teorema del valor medio para integrales

El teorema del valor medio para integrales establece que una función continua en un intervalo cerrado toma su valor promedio en algún punto de ese intervalo. El teorema garantiza que si f (x) es continua, existe un punto c en un intervalo [a, b] tal que el valor de la función en c es igual al valor promedio de f (x) sobre [a, b]. Establecemos este teorema matemáticamente con la ayuda de la fórmula para el valor promedio de una función que presentamos al final de la sección anterior.

Teorema 5.3.1. Teorema del valor medio para integrales

Si \( f(x) \) es continua en un intervalo \( [a, b] \), entonces hay al menos un punto \( c \in [a, b] \) tal que

\[ f(c) = \frac{1}{b \, – a} \int_a^b f(x) \, dx. \]

Esta fórmula también se puede indicar como

\[ \int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b \, – \, a). \]

♦

Prueba

Como f (x) es continua en [a, b], según el teorema del valor extremo (ver Máximos y mínimos), asume valores mínimos y máximos, m y M, respectivamente, en [a, b]. Entonces, para todo x en [a, b], tenemos m ≤ f (x) ≤ M. Por lo tanto, según el teorema de comparación (ver La integral definida), tenemos queDividir por b − a nos daYa quees un número entre m y M, y dado que f (x) es continua y asume los valores m y M sobre [a, b], según el Teorema del valor intermedio (ver Continuidad), hay un número c sobre [a, b ] tal queY la prueba está completa. ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_1. Encontrar el valor promedio de una función

Halle el valor promedio de la función f (x) = 8 − 2x en el intervalo [0, 4] y encuentre el valor de c tal que f (c) sea igual al valor promedio de la función sobre [0, 4].

Solución:
La fórmula establece que el valor medio de f (x) viene dado por

Podemos ver en la Figura 5.3_1 que la función representa una línea recta y forma un triángulo rectángulo delimitado por los ejes x e y. El área del triángulo es A = (base)⋅(altura)/2. Tenemos

El valor promedio se encuentra multiplicando el área por 1/(4 − 0). Por lo tanto, el valor promedio de la función es

Establezca el valor promedio igual a f (c) y resuelva para c.

En c = 2, f (2) = 4.

Figura 5.3_1 Por el teorema del valor medio, la función continua f (x) adquiere su valor promedio en c al menos una vez durante un intervalo cerrado. ♦

Ejercicio de control 5.3.1

Encuentre el valor promedio de la función \( f(x) = \frac{x}{2} \) sobre el intervalo \( [0, 6] \) y encuentre un \( c \) tal que \( f(c) \) sea igual al valor promedio de la función sobre \( [0, 6] \). ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_2. Encontrar el punto donde una función toma su valor promedio

Dada

encuentre c tal que f (x) sea igual al valor promedio de f (x) = x² sobre [0, 3].

Solución:
Estamos buscando el valor de c tal que

Reemplazando f (c) con c², tenemos

Como −√3 está fuera del intervalo, tome solo el valor positivo. Por lo tanto, c = √3 (Figura 5.3_2).

Figura 5.3_2 Durante el intervalo [0, 3], la función f (x) = x² toma su valor promedio en c = √3. ♦

Ejercicio de control 5.3.2

Dado que \( \int_0^3 (2x^2 – 1) \, dx = 15 \), encuentre \( c \) tal que \( f(c) \) sea igual al valor promedio de \( f(x) = 2x^2 – 1 \) sobre \( [0, 3] \). ♦

Teorema fundamental del cálculo Parte 1: integrales y antiderivadas

Como se mencionó anteriormente, el Teorema fundamental del cálculo es un teorema extremadamente poderoso que establece la relación entre diferenciación e integración, y nos brinda una forma de evaluar integrales definidas sin usar sumas de Riemann o calcular áreas. El teorema se compone de dos partes, la primera de las cuales, el Teorema fundamental del cálculo, Parte 1, se expone aquí. La parte 1 establece la relación entre diferenciación e integración.

Teorema 5.3.2. Teorema fundamental del cálculo Parte 1

Si \( f(x) \) es continua en un intervalo \( [a, b] \), y la función \( F(x) \) se define por

\[ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt, \]

entonces \( F'(x) = f(x) \) sobre \( [a, b] \). ♦

Antes de profundizar en la prueba, vale la pena mencionar algunas sutilezas aquí. Primero, un comentario sobre la notación. Tenga en cuenta que hemos definido una función, F(x), como la integral definida de otra función, f (t), desde el punto a hasta el punto x. A primera vista, esto es confuso, porque hemos dicho varias veces que una integral definida es un número, y aquí parece que es una función. La clave aquí es notar que para cualquier valor particular de x, la integral definida es un número. Entonces, la función F(x) devuelve un número (el valor de la integral definida) para cada valor de x.

En segundo lugar, vale la pena comentar algunas de las implicaciones clave de este teorema. Hay una razón por la que se llama Teorema fundamental del cálculo. No solo establece una relación entre integración y diferenciación, sino que también garantiza que cualquier función integrable tenga una antiderivada. Específicamente, garantiza que cualquier función continua tenga una antiderivada.

Prueba Aplicando la definición de la derivada, tenemos Observando cuidadosamente esta última expresión, vemos quees solo el valor promedio de la función f (x) en el intervalo [x, x + h]. Por lo tanto, según el Teorema del valor medio para integrales, hay algún número c en [x, x + h] tal queAdemás, dado que c está entre x y x + h, c tiende a x cuando h tiende a cero. Además, dado que f (x) es continua, tenemos limh → 0 f (x) = limc →x f (c) = f (x). Poniendo todas estas piezas juntas, tenemosy la prueba está completa. ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_3. Encontrar una derivada aplicando el teorema fundamental del cálculo

Usa el teorema fundamental del cálculo, parte 1, para encontrar la derivada de

Solución:
Según el teorema fundamental del cálculo, la derivada viene dada por

♦

Ejercicio de control 5.3.3

Use el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 1, para encontrar la derivada de \( g(r) = \int_0^r \sqrt{x^2 + 4} \, dx \). ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_4. Usando el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena para calcular derivadas

Sea

Encuentre F′(x).

Solución:
Dejando u(x) = √x, tenemos que

Por lo tanto, según el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena,

♦

Ejercicio de control 5.3.4

Evaluar

\[ \frac{d}{dx} \int_0^{x^2} \cos(t^2) \, dt. \]

♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_5. Uso del teorema fundamental del cálculo con dos límites variables de integración

Sea

Halle F′(x).

Solución:

Tenemos que

Ambos límites de integración son variables, por lo que debemos expresar F(x) como la suma de dos integrales. Tenemos que

Diferenciando el primer término, obtenemos

Diferenciando el segundo término, primero dejamos u(x) = 2x. Entonces,

Así,

♦

Ejercicio de control 5.3.5

Sea \( F(x) = \int_x^{x^2} \cos t \, dt \). Encuentre \( F'(x) \). ♦

Teorema fundamental del cálculo, Parte 2: El teorema de la evaluación

El teorema fundamental del cálculo, Parte 2, es quizás el teorema más importante en el cálculo. Después de los incansables esfuerzos de los matemáticos durante aproximadamente 500 años, surgieron nuevas técnicas que proporcionaron a los científicos las herramientas necesarias para explicar muchos fenómenos. Utilizando el cálculo, los astrónomos finalmente podrían determinar distancias en el espacio y mapear órbitas planetarias. Los problemas financieros cotidianos, como el cálculo de los costos marginales o la predicción de las ganancias totales, ahora se pueden manejar con simplicidad y precisión. Los ingenieros pueden calcular la resistencia a la flexión de los materiales o el movimiento tridimensional de los objetos. Nuestra visión del mundo cambió para siempre con el cálculo.

Después de encontrar áreas aproximadas al sumar las áreas de n rectángulos, la aplicación de este teorema es sencilla en comparación. Casi parece demasiado simple que el área de una región curva completa se pueda calcular simplemente evaluando una antiderivada en el primer y último punto final de un intervalo.

TEOREMA 5.3.3. Teorema fundamental del cálculo Parte 2

Si \( f \) es continua en el intervalo \( [a, b] \) y \( F(x) \) es cualquier antiderivada de \( f(x) \), entonces

\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a). \]

♦

A menudo vemos la notación

para denotar la expresión F(b) − F(a). Utilizamos esta barra vertical y los límites asociados a y b para indicar que debemos evaluar la función F(x) en el límite superior (en este caso, b), y restar el valor de la función F(x) evaluada en el límite inferior (en este caso, a).

El teorema fundamental del cálculo, Parte 2 (también conocido como teorema de evaluación) establece que si podemos encontrar una antiderivada para el integrando, entonces podemos evaluar la integral definida evaluando la antiderivada en los puntos finales del intervalo y restando.

Prueba Sea P = {xᵢ}, i = 0, 1, …, n una partición regular de [a, b]. Entonces, podemos escribirAhora, sabemos que F es una antiderivada de f sobre [a, b], así que por el Teorema del valor medio (ver El teorema del valor medio) para i = 0, 1, …, n podemos encontrar cᵢ en [xᵢ₋₁, xᵢ] tal queLuego, sustituyendo en la ecuación anterior, tenemosTomando el límite de ambos lados cuando n → ∞, obtenemos♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_6. Evaluación de una integral con el teorema fundamental del cálculo

Utilice el teorema fundamental del cálculo, parte 2 para evaluar

Solución:
Recordemos la regla de la potencia para las antiderivadas:

Use esta regla para encontrar la antiderivada de la función y luego aplique el teorema. Tenemos

Análisis

Tenga en cuenta que no incluimos el término “+ C” cuando escribimos la antiderivada. La razón es que, de acuerdo con el Teorema fundamental del cálculo, Parte 2, cualquiera sirve como antiderivada. Entonces, por conveniencia, elegimos la antiderivada con C = 0. Si hubiéramos elegido otro antiderivada, para cualquier otro valor de C distinto de 0, el término constante se habría cancelado. Esto siempre sucede al evaluar una integral definida.

La región del área que acabamos de calcular se representa en la figura 5.3_3. Tenga en cuenta que la región entre la curva y el eje x está debajo del eje x. El área siempre es positiva, pero una integral definida aún puede producir un número negativo (un área neta con signo). Por ejemplo, si esta fuera una función de ganancias, un número negativo indica que la compañía está operando con pérdidas durante el intervalo dado.

Figura 5.3_3 La evaluación de una integral definida puede producir un valor negativo, aunque el área siempre es positiva. ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_7. Evaluación de una integral definida utilizando el teorema fundamental del cálculo,  parte 2

Evalúe la siguiente integral utilizando el Teorema fundamental del cálculo, Parte 2:

Solución:

Primero, elimine el radical reescribiendo la integral usando exponentes racionales. Luego, separe los términos del numerador escribiendo cada uno sobre el denominador:

Usa las propiedades de los exponentes para simplificar:

Ahora, integre usando la regla de la potencia:

Figura 5.3_4 El área bajo la curva de x = 1 a x = 9 se puede calcular evaluando una integral definida. ♦

Ejercicio de control 5.3.6

Use el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte 2, para evaluar \( \int_1^2 x^{-4} \, dx \). ♦

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_8. Una carrera de patinaje

James y Kathy corren en patines. Corren a lo largo de una pista larga y recta, y quien haya llegado más lejos después de 5 segundos gana un premio. Si James puede patinar a una velocidad de f (t) = 5 + 2t pies/seg y Kathy puede patinar a una velocidad de g(t) = 10 + cos (πt/2) pies/seg, ¿quién ganará la carrera?

Solución:
Necesitamos integrar ambas funciones durante el intervalo [0, 5] y ver qué valor es mayor. Para James, queremos calcular

Usando la regla de la potencia, tenemos

Por lo tanto, James ha patinado 50 pies después de 5 segundos. Volviendo ahora a Kathy, queremos calcular

Sabemos que sent es una antiderivada de cost, por lo que es razonable esperar que una antiderivada de cos(πt/2) implique sen(πt/2). Sin embargo, cuando diferenciamos sen(πt/2), obtenemos (π/2)cos(πt/2) como resultado de la regla de la cadena, por lo que tenemos que tener en cuenta este coeficiente adicional cuando integramos. Obtenemos

Kathy ha patinado aproximadamente 50.6 pies después de 5 segundos. ¡Kathy gana, pero no por mucho! ♦

Ejercicio de control 5.3.7

Supongamos que James y Kathy tienen una revancha, pero esta vez el oficial detiene el combate después de solo 3 segundos. ¿Cambia esto el resultado? ♦