El teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo: Objetivos de aprendizaje

5.3.1. Describa el significado del teorema del valor medio para integrales.
5.3.2. Indique el significado del teorema fundamental del cálculo, parte 1.
5.3.3. Use el Teorema fundamental del cálculo, Parte 1, para evaluar derivadas de integrales.
5.3.4. Indique el significado del teorema fundamental del cálculo, parte 2.
5.3.5. Use el Teorema fundamental del cálculo, Parte 2, para evaluar integrales definidas.
5.3.6. Explicar la relación entre diferenciación e integración.

   En las dos secciones anteriores, observamos la integral definida y su relación con el área bajo la curva de una función. Desafortunadamente, hasta ahora, las únicas herramientas que tenemos disponibles para calcular el valor de una integral definida son las fórmulas de área geométrica y los límites de las sumas de Riemann, y ambos enfoques son extremadamente engorrosos. En esta sección veremos algunas técnicas más potentes y útiles para evaluar integrales definidas.

Estas nuevas técnicas se basan en la relación entre diferenciación e integración. Esta relación fue descubierta y explorada por Sir Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz (entre otros) a fines del siglo XVII y principios del 1700, y está codificada en lo que ahora llamamos el Teorema fundamental del cálculo, que tiene dos partes que examinamos en esta sección. Su mismo nombre indica cuán central es este teorema para todo el desarrollo del cálculo.

Sin embargo, antes de llegar a este teorema crucial, examinemos otro teorema importante, el Teorema del valor medio para integrales, que es necesario para probar el Teorema fundamental del cálculo.

El teorema del valor medio para integrales

El teorema del valor medio para integrales establece que una función continua en un intervalo cerrado toma su valor promedio en algún punto de ese intervalo. El teorema garantiza que si f (x) es continua, existe un punto c en un intervalo [a, b] tal que el valor de la función en c es igual al valor promedio de f (x) sobre [a, b] . Establecemos este teorema matemáticamente con la ayuda de la fórmula para el valor promedio de una función que presentamos al final de la sección anterior.

Teorema 5.3.1. Teorema del valor medio para integrales

Si f (x) es continua en un intervalo [a, b], entonces hay al menos un punto c∈ [a, b] tal que

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Esta fórmula también se puede indicar como

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Prueba

Como f (x) es continua en [a, b], según el teorema del valor extremo (ver Máximos y mínimos), asume valores mínimos y máximos, m y M, respectivamente, en [a, b]. Entonces, para todo x en [a, b], tenemos mf (x) ≤ M. Por lo tanto, según el teorema de comparación (ver La integral definida), tenemos queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-632.pngDividir por ba nos daEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-633.pngYa queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-634.pnges un número entre m y M, y dado que f (x) es continua y asume los valores m y M sobre [a, b], según el Teorema del valor intermedio (ver Continuidad), hay un número c sobre [a, b ] tal queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-635.pngY la prueba está completa. □

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_1. Encontrar el valor promedio de una función

Halle el valor promedio de la función f (x) = 8 − 2x en el intervalo [0, 4] y encuentre el valor de c tal que f (c) sea igual al valor promedio de la función sobre [0, 4].

Solución:
La fórmula establece que el valor medio de f (x) viene dado por

Podemos ver en la Figura 5.3_1 que la función representa una línea recta y forma un triángulo rectángulo delimitado por los ejes x e y. El área del triángulo es A = (base)⋅(altura)/2. Tenemos

El valor promedio se encuentra multiplicando el área por 1/(4 − 0). Por lo tanto, el valor promedio de la función es

Establezca el valor promedio igual a f (c) y resuelva para c.

En c = 2, f (2) = 4.

Figura 5.3_1 Por el teorema del valor medio, la función continua f (x) adquiere su valor promedio en c al menos una vez durante un intervalo cerrado. ◊

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_2. Encontrar el punto donde una función toma su valor promedio

Dada

encuentre c tal que f (x) sea igual al valor promedio de f (x) = x² sobre [0, 3].

Solución:
Estamos buscando el valor de c tal que

Reemplazando f (c) con c², tenemos

Como −√3 está fuera del intervalo, tome solo el valor positivo. Por lo tanto, c = √3 (Figura 5.3_2).

Figura 5.3_2 Durante el intervalo [0, 3], la función f (x) = x² toma su valor promedio en c = √3. ◊

Teorema fundamental del cálculo Parte 1: integrales y antiderivadas

Como se mencionó anteriormente, el Teorema fundamental del cálculo es un teorema extremadamente poderoso que establece la relación entre diferenciación e integración, y nos brinda una forma de evaluar integrales definidas sin usar sumas de Riemann o calcular áreas. El teorema se compone de dos partes, la primera de las cuales, el Teorema fundamental del cálculo, Parte 1, se expone aquí. La parte 1 establece la relación entre diferenciación e integración.

Teorema 5.3.2. Teorema fundamental del cálculo Parte 1

Si f (x) es continua en un intervalo [a, b], y la función F(x) se define por

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entonces F′(x) = f (x) sobre [a, b].

Antes de profundizar en la prueba, vale la pena mencionar algunas sutilezas aquí. Primero, un comentario sobre la notación. Tenga en cuenta que hemos definido una función, F(x), como la integral definida de otra función, f (t), desde el punto a hasta el punto x. A primera vista, esto es confuso, porque hemos dicho varias veces que una integral definida es un número, y aquí parece que es una función. La clave aquí es notar que para cualquier valor particular de x, la integral definida es un número. Entonces, la función F(x) devuelve un número (el valor de la integral definida) para cada valor de x.

En segundo lugar, vale la pena comentar algunas de las implicaciones clave de este teorema. Hay una razón por la que se llama Teorema fundamental del cálculo. No solo establece una relación entre integración y diferenciación, sino que también garantiza que cualquier función integrable tenga una antiderivada. Específicamente, garantiza que cualquier función continua tenga una antiderivada.

Prueba

Aplicando la definición de la derivada, tenemos

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-648.pngObservando cuidadosamente esta última expresión, vemos queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-649.pnges solo el valor promedio de la función f (x) en el intervalo [x, x + h]. Por lo tanto, según el Teorema del valor medio para integrales, hay algún número c en [x, x + h] tal queEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-650.pngAdemás, dado que c está entre x y x + h, c tiende a x cuando h tiende a cero. Además, dado que f (x) es continua, tenemos limh → 0 f (x) = limcx f (c) = f (x). Poniendo todas estas piezas juntas, tenemosEsta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-651.pngy la prueba está completa. □

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_3. Encontrar una derivada aplicando el teorema fundamental del cálculo

Usa el teorema fundamental del cálculo, parte 1, para encontrar la derivada de

Solución:
Según el teorema fundamental del cálculo, la derivada viene dada por

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_4. Usando el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena para calcular derivadas

Sea

Encuentre F′(x).

Solución:
Dejando u(x) = √x, tenemos que

Por lo tanto, según el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena,

EJEMPLO ILUSTRATIVO 5.3_5. Uso del teorema fundamental del cálculo con dos límites variables de integración

Sea

Halle F′(x).

Solución:

Tenemos que

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Ambos límites de integración son variables, por lo que debemos expresar F(x) como la suma de dos integrales. Tenemos que

Diferenciando el primer término, obtenemos

Diferenciando el segundo término, primero dejamos u(x) = 2x. Entonces,

Así,

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