| 4.6 Límites en el infinito y asíntotas |

Ejercicios propuestos para el Capítulo 4.6

      Para los siguientes ejercicios, examine las gráficas. Identifique dónde se encuentran las asíntotas verticales:

251.

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252.

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253.

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254.

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255.

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        Para las siguientes funciones f (x), determine si hay una asíntota en x = a. Justifique su respuesta sin graficar en una calculadora.

  1. \(f(x) = \frac{x+1}{x^2+5x+4}\), \(a=-1\)

  2. \(f(x) = \frac{x}{x-2}\), \(a=2\)

  3. \(f(x) = (x+2)^{3/2}\), \(a=-2\)

  4. \(f(x) = (x-1)^{-1/3}\), \(a=1\)

  5. \(f(x) = 1 + x^{-2/5}\), \(a=1\)

      Para los siguientes ejercicios, evalúe el límite:

  1. \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{3x+6}\)

  2. \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x-5}{4x}\)

  3. \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}-2x+5}{x+2}\)

  4. \(\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{3x^{3}-2x}{x^{2}+2x+8}\)

  5. \(\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^{4}-4x^{3}+1}{2-2x^{2}-7x^{4}}\)

  6. \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+1}}\)

  7. \(\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{4x^{2}-1}}{x+2}\)

  8. \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{4x}{\sqrt{x^{2}-1}}\)

  9. \(\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{4x}{\sqrt{x^{2}-1}}\)

  10. \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\)

      Para los siguientes ejercicios, encuentre las asíntotas horizontales y verticales:

  1. \(f(x) = x – \frac{9}{x}\)

  2. \(f(x) = \frac{1}{1-x^2}\)

  3. \(f(x) = \frac{x^3}{4-x^2}\)

  4. \(f(x) = \frac{x^2+3}{x^2+1}\)

  5. \(f(x) = \sin(x)\sin(2x)\)

  6. \(f(x) = \cos x + \cos(3x) + \cos(5x)\)

  7. \(f(x) = \frac{x\sin(x)}{x^2-1}\)

  8. \(f(x) = \frac{x}{\sin(x)}\)

  9. \(f(x) = \frac{1}{x^3+x^2}\)

  10. \(f(x) = \frac{1}{x-1} – 2x\)

  11. \(f(x) = \frac{x^3+1}{x^3-1}\)

  12. \(f(x) = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x – \cos x}\)

  13. \(f(x) = x – \sin x\)

  14. \(f(x) = \frac{1}{x} – \sqrt{x}\)

        Para los siguientes ejercicios, construya una función f (x) que tenga las asíntotas dadas:

  1. \(x=1\) y \(y=2\)

  2. \(x=1\) y \(y=0\)

  3. \(y=4, x=-1\)

  4. \(x=0\)

      Para los siguientes ejercicios, grafique la función en una calculadora gráfica en la ventana x = [−5, 5] y estime la asíntota horizontal o límite. Luego, calcule la asíntota horizontal o límite real:

  1. [T] \(f(x)=\frac{1}{x+10}\)

  2. [T] \(f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+7x+6}\)

  3. [T] \(\lim_{x\rightarrow-\infty}x^{2}+10x+25\)

  4. [T] \(\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x+2}{x^{2}+7x+6}\)

  5. \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x+2}{x+5}\)

      Para los siguientes ejercicios, dibuje una gráfica de las funciones sin usar una calculadora. Asegúrese de notar todas las características importantes de la gráfica: máximos y mínimos locales, puntos de inflexión y comportamiento asintótico:

  1. \(y=3x^{2}+2x+4\)

  2. \(y=x^{3}-3x^{2}+4\)

  3. \(y=\frac{2x+1}{x^{2}+6x+5}\)

  4. \(y=\frac{x^{3}+4x^{2}+3x}{3x+9}\)

  5. \(y=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-3x-4}\)

  6. \(y=\sqrt{x^{2}-5x+4}\)

  7. \(y=2x\sqrt{16-x^{2}}\)

  8. \(y=\frac{\cos x}{x}\) on \(x=[-2\pi,2\pi]\)

  9. \(y=\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x+1}\)

  10. \(y=x\tan x\), \(x=[-\pi,\pi]\)

  11. \(y=x\ln(x)\), \(x>0\)

  12. \(y=x^{2}\sin(x)\), \(x=[-2\pi,2\pi]\)

  1. Para que \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) tenga una asíntota en \(y=2\), los polinomios \(P(x)\) y \(Q(x)\) deben tener ¿qué relación?

  2. Para que \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) tenga una asíntota en \(y=0\), los polinomios \(P(x)\) y \(Q(x)\) deben tener ¿qué relación?

  3. Si \(f'(x)\) tiene asíntotas en \(y=3\) y \(x=1\), entonces \(f(x)\) tiene ¿qué asíntotas?

  4. Tanto \(f(x)=\frac{1}{(x-1)}\) como \(g(x)=\frac{1}{(x-1)^2}\) tienen asíntotas en \(x=1\) e \(y=0\). ¿Cuál es la diferencia más obvia entre estas dos funciones?

  5. Verdadero o falso: Cada proporción de polinomios tiene asíntotas verticales.

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7 comentarios en “Límites en el infinito y asíntotas”

  1. Martin

    Hola tengo el siguiente ejercicio
    Lim. (1+a/x)^x
    x-> ∞
    Dónde a> 1
    Debo calcular el límite por aproximación a la izquierda el límite me da e^a ahora mi pregunta es si cambio los valores de a el límite cambia según el enunciado, si tomo arbitrariamente un calor para a el límite por decir a= 4 la tabla si se puede calcular, la pregunta es sí puedo hacer eso??

  2. Marcela Alfaro

    Hola, me puede explicar de manera sencilla cual es la relaciona entre los límites al infinito y limites infinitos con las asíntotas verticales y horizontales de las funciones. Por favor

    1. Juan Beltran

      Hola Marcela. Existen tres tipos de asíntotas: Horizontales, verticales y oblicuas.
      Asíntotas horizontales: Si el límite de una función cuando la variable independiente x tiende al infinito es un valor constante se dice que la función tiene una asíntota horizontal. Por ejemplo, en la función f(x) = 1/x, cuando x tiende a más infinito, la función la función f tiende a 0; por lo tanto, y = 0 es una asíntota horizontal de f.
      Asíntotas verticales: Si una función tiende a infinito cuando la variable independiente tiende a un valor constante, x = a, se dice que la función tiene una asíntota vertical. Por ejemplo, en la función f(x) = 1/(x+1), cuando x tiende a −1 por la derecha la función tiende a +∞; por lo tanto, x = –1 es una asíntota vertical de f.
      Asíntotas oblicuas: En las funciones racionales impropias, donde el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, ocurren asíntotas oblicuas. Estas asíntotas se obtienen efectuando la división de los polinomios, el cociente, que es una función lineal, es la asíntota oblicua. Por ejemplo, en la función f(x) = (x³ + x + 1)/(x² + 1) = x + 1/(x² + 1), y = x es una asíntota oblicua.

  4. Roberto Luis

    Hola a todos, los contenidos proporcionados en este sitio web son realmente impresionantes para el aprendizaje de las personas interesadas en el Cálculo infinitesimal, sigan con el buen trabajo compañeros.

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